Binomische Formeln

Das Thema binomische Formeln bereitet vielen Schülern und Studenten extrem große Schwierigkeiten. Dabei sollen die binomischen Formeln beim Rechnen eine Unterstützung und keine Verkomplizierung der Herangehensweise an eine Aufgabe sein.

Damit ihr in Zukunft keine Probleme mehr mit den 3 binomischen Formeln habt, zeigen wir euch, wie ihr die Muster dieser Formeln erkennen könnt. Es ist wichtig, dass ihr die binomischen Formeln versteht und diese nicht einfach auswendig lernt. Am besten schaut ihr euch für den Einstieg in das Thema folgendes Video von Daniel zum Thema binomische Formeln an:

Binomische Formel anschaulich zum Verstehen, viel einfacher als Lernen;) | Mathe by Daniel Jung

Ihr seht, dass die binomischen Formeln durch einfaches Ausklammern leicht auflösen lassen. Wer sich nochmal zum Thema Ausklammern die Grundlagen anschauen möchte, findet diese Hier.

Erste binomische Formel

Die erste binomische Formel lautet: \left(a+b\right)}^2=a^2+2\cdot a\cdot b+b^2

Wer sich mit dem Thema Ausklammern befasst hat, kann hier getrost zur 2. binomischen Formel springen. Für alle anderen macht es Sinn sich die Herleitung genauer anzuschauen:

\left(a+b\right)}^2=\left(a+b\right)\cdot \left(a+b\right)=a^2+a\cdot b+b\cdot a+ b^2=a^2+2\cdot a\cdot b+b^2

Der genaue Beobachter sieht, dass es sich schlicht um das Ausklammern des linken Ausdrucks handelt. Da die ganzen Buchstaben viele Leser verwirren, zeigen wir euch das Ganze nochmal anhand von Beipsielen.

Beipsiel 1: \left(2+3\right)}^2=2^2+2\cdot 2\cdot 3+3^2=25

Wie ihr sicher schon erkannt habt, ist das Ergebnis nichts anderes als 5^2. Doch so einfach machen es euch dann die Lehrer doch nicht, wenn es um binomische Formeln geht. Oftmals werden dann Buchstaben in die Formel eingefügt, wie ihr im Beispiel 2 jetzt sehen werdet.

Beispiel 2: \left(2x+3\right)}^2={\left(2x\right)}^2+2\cdot 2x\cdot 3+3^2={4x}^2+12x+9

Die Vorgehensweise ist also recht einfach. Setzt für a und b einfach die entsprechenden Zahlen oder Buchstaben ein und rechnet den oben gezeigten Weg durch.

 

Zweite binomische Formel

Die zweite binomische Folge sieht auf den ersten Blick viel komplizierter aus, als sie eigentlich ist. Im Gegensatz zur ersten binomischen Formel ändert sich hier nur das Vorzeichen in der Klammer.

\left(a-b\right)}^2=a^2-2\cdot a\cdot b+b^2

Die Herleitung der zweiten binomischen Formel zeigt den Unterschied zur Ersten nochmals deutlicher.

\left(a-b\right)}^2=\left(a-b\right)\cdot \left(a-b\right)=a^2-2\cdot a\cdot b+b^2

Auch hier geben wir euch nochmal ein Beispiel zur Vertiefung:

Beispiel: \left(2x-3\right)}^2={\left(2x\right)}^2-2\cdot 2x\cdot 3+3^2={4x}^2-12x+9

Daniel erklärt euch die zweite binomische Formel nochmal in einem seiner Videos.

Binomische Formeln, 2. Binom, Hilfe in Mathe, einfach erklärt | Mathe by Daniel Jung

 

Dritte binomische Formel

Die letzte binomische Formel zeigt euch, wie ihr zwei Klammern miteinander multipliziert – sprich, hier passiert nicht anderes als einfache Klammerrechnung. Beim Hinschauen fällt direkt auf, dass in der ersten Klammer ein + und in der zweiten Klammer ein – steht.

\left(a+b\right)\cdot \left(a-b\right)=a^2-a\cdot b+b\cdot a-b^2=a^2-b^2

Zum Abschluss habt ihr hier noch einmal ein Beispiel zur dritten binomischen Formel.

Beispiel: \left(2x+3\right)\cdot \left(2x-3\right)={\left(2x\right)}^2-3^2={4x}^2-9

 

Zur Wiederholung könnt ihr euch dieses Video zur dritten binomischen Formel anschauen.

Binomische Formeln, 3. Binom, Hilfe in Mathe, einfach erklärt | Mathe by Daniel Jung