Brüche rechnen

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Grundlagen Bruchrechnung, Brüche addieren, erweitern, kürzen | Mathe by Daniel Jung

 

Beim Brüche Rechnen gibt der Nenner (unten) an, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes zerlegt wird. Der Zähler (oben) gibt an, wie viele Teile davon genommen werden. Beispiel: \frac{4\ }{5\ }\ \frac{(Z\textrm{\"{a}}hler)}{(Nenner)}

Brüche rechnen

In der Bruchrechnung gelten die folgenden Regeln:

  • Erweitern: Ein Bruch wird erweitert, indem man sowohl den Zähler (oben) als auch den Nenner (unten) des Bruchs mit der gleichen Zahl multipliziert. Die Zahl über dem Pfeil gibt an, dass der Bruch mit 2 erweitert wird:

    \[\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{7}}\ \ {{\stackrel{\mathrm{2}}{\longrightarrow}}}\ \ \frac{\mathrm{3}\mathrm{\cdot }\mathrm{2}}{\mathrm{7}\mathrm{\cdot }\mathrm{2}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{14}}\]

  • Kürzen: Ein Bruch wird gekürzt, indem man sowohl den Zähler (oben) als auch den Nenner (unten) durch die gleiche Zahl teilt. Die Zahl unter dem Pfeil gibt an, dass der Bruch mit 9 gekürzt wird:

    \[\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{27}}\ \ {{\mathop{\longrightarrow}\limits_{\mathrm{9}}}}\ \ \frac{\mathrm{9\div 9}}{\mathrm{27\div 9}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\]

  • Gemischte Zahl oder Unechter Bruch: Eine gemischte Zahl (Ganze Zahl und Bruch z.B. \mathrm{2}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}) kann man nach dem folgendem Schema in einen unechten Bruch (\mathrm{Z\textrm{\"{a}}hler\ >Nenner)} umwandeln:

    \[\mathrm{2}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{=\ }\frac{\mathrm{2}\mathrm{\cdot }\mathrm{4+1}}{\mathrm{4}}\mathrm{=\ }\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}}\]

  • Addition: Zwei Brüche kann man addieren, indem man den Nenner (unten) gleichnamig macht und anschließend die beiden Zähler (oben) der Brüche addiert. Das kgV von 7 und 5 ist 35.

    \[\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{7}}\mathrm{+}\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}}=\frac{\mathrm{3}\mathrm{\cdot }\mathrm{5}}{\mathrm{7}\mathrm{\cdot }\mathrm{5}}\mathrm{+}\frac{\mathrm{4}\mathrm{\cdot }\mathrm{7}}{\mathrm{5}\mathrm{\cdot }\mathrm{7}}=\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{35}}\mathrm{+}\frac{\mathrm{28}}{\mathrm{35}}\mathrm{=\ }\frac{\mathrm{15+28}}{\mathrm{35}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{43}}{\mathrm{35}}\]

  • Subtraktion: Zwei Brüche werden subtrahiert, indem man den Nenner (unten) beider Brüche gleichnamig macht und anschließend die beiden Zähler (oben) voneinander subtrahiert:

    \[\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}}\mathrm{-}\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{7}}\mathrm{=\ }\frac{\mathrm{28}}{\mathrm{35}}\mathrm{-}\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{35}}\mathrm{=\ }\frac{\mathrm{28-15}}{\mathrm{35}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{35}}\]

  • Multiplikation: Zwei Brüche werden multipliziert, indem man den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multipliziert:

    \[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{\cdot }\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}\mathrm{\cdot }\mathrm{3}}{\mathrm{2}\mathrm{\cdot }\mathrm{4}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}\]

Man sollte, falls möglich, die Brüche vor der Multiplikation über kreuz kürzen:

    \[\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{7}}\mathrm{\cdot }\frac{\mathrm{14}}{\mathrm{27}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{3}\mathrm{\ 1}\mathrm{\cdot }\mathrm{14}\mathrm{\ 2}}{\mathrm{7}\mathrm{\ 1}\mathrm{\cdot }\mathrm{27}\mathrm{\ 9}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}\mathrm{\cdot }\mathrm{2}}{\mathrm{1}\mathrm{\cdot }\mathrm{9}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{9}}\]

  • Division: Zwei Brüche werden dividiert, indem man bei dem Bruch durch den geteilt wird, den Zähler und den Nenner vertauscht (Kehrwert bildet) und danach die beiden Brüche miteinander multipliziert: 

        \[\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{7}}\mathrm{\div }\frac{\mathrm{27}}{\mathrm{14}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{7}}\mathrm{\cdot }\frac{\mathrm{14}}{\mathrm{27}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{3}\mathrm{\ 1}\mathrm{\cdot }\mathrm{14}\mathrm{\ 2}}{\mathrm{7}\mathrm{\ 1}\mathrm{\cdot }\mathrm{27}\mathrm{\ 9}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}\mathrm{\cdot }\mathrm{2}}{\mathrm{1}\mathrm{\cdot }\mathrm{9}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{9}}\]

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