Dreisatz

Beim Thema Dreisatz unterscheiden wir zwei auftretende Fälle:

  • Dreisatz (auch proportionale Zuordnung genannt) und
  • umgekehrten Dreisatz (antiproportionale Zuordnung)

Aber was ist der Dreisatz überhaupt?

Beim Dreisatz wird einer bestimmten Menge oder Größe, z.B. Anzahl der Äpfel, eine weitere Menge oder Größe zugeordnet, z.B. Preis der Äpfel. In diesem Fall handelt es sich um eine proportionale Zuordnung, denn, je mehr Äpfel ich kaufe, desto mehr muss ich bezahlen und umgekehrt, je weniger Äpfel ich kaufe, desto weniger muss ich bezahlen.

Beim umgekehrten Dreisatz wird ebenfalls einer Ausgangsgröße, z.B. die Anzahl der Maurer die benötigt werden, um eine Hauswand zu mauern, die erforderliche Arbeitszeit zugeordnet. Hierbei gilt, je mehr Maurer arbeiten, desto weniger Arbeitszeit wird benötigt und umgekehrt, je weniger Maurer arbeiten, desto mehr Arbeitszeit wird benötigt.

Ihr müsst euch die Aufgabe also sehr gut durchlesen und dann im Einzelfall entscheiden, ob es sich um den umgekehrten- oder normalen Dreisatz handelt. Dazu wollen wir uns ein paar Beispiele angucken:

Durchschnittliche Geschwindigkeit Fahrtdauer

Hierbei handelt es sich um den umgekehrter Dreisatz, denn es gilt, je höher die durchschnittliche Geschwindigkeit, desto geringer die Fahrtdauer bis zur Ankunft an einem bestimmten Ziel.

Fahrtstrecke  Taxipreis

Hierbei handelt es sich um den klassischen Dreisatz, denn, je länger die zu fahrende Strecke, desto höher wird der Preis den der Taxifahrer am Ende der Fahrt erhebt.

Lebensalter  Körperlänge

Im ersten Moment könnten wir denken, dass es sich um eine proportionale Zuordnung handelt, denn, je älter wir werden, desto größer werden wir. Aber manche Menschen wachsen bis zum 14. Lebensjahr vielleicht viel und wiederrum andere wenig. Genau so kann es sein, dass manche Menschen schon ab dem 65. Lebensjahr an Körperlänge verlieren, wiederrum andere erst mit dem 80. Lebensjahr. Es gibt für diese Zuordnung also kein eindeutiges Muster, nach dem wir die Körperlänge für ein bestimmtes Lebensalter bestimmen können. Passt also gut auf, denn hin und wieder kommt es vor, dass man euch eine Falle stellt, indem die ausgesuchte Zuordnung weder proportional noch antiproportional ist.

Noch nicht ganz verstanden? Lass es dir nochmal von Daniel erklären!

Proportional, Antiproportional, Dreisatz, Zuordnung, Hilfe in Mathe | Mathe by Daniel Jung

 

Dreisatz Beispielaufgabe

Als nächstes wollen wir uns angucken, wie man Aufgaben zu proportionalen Zuordnungen mit Hilfe des Dreisatz’ lösen kann. Dazu schauen wir uns die folgende Aufgabe an.

Aufgabenstellung:
3 kg feinstes Rinderfilet kosten 147 €. Peter und Susanne brauchen, weil sie die ganze Familie zum Essen einladen wollen, 7 kg Fleisch. Wie teuer sind 7 kg feinstes Rinderfilet?

Herangehensweise:
Wir werden uns jetzt verschieden Wege und Schreibweisen angucken, mit denen es möglich ist, eine solche Aufgabe zu lösen. Ihr könnt euch dann den Lösungsweg heraussuchen, welcher für euch am besten geeignet ist.

Die wohl am häufigsten vorkommende Methode ist der Dreisatz innerhalb einer Tabelle.

Wir erstellen also eine Tabelle mit zwei Spalten und tragen links das Gewicht und rechts den Preis ein. Direkt in der Zeile da drunter unsere bekannten Werte:

Als nächstes überlegen wir uns, wie wir jetzt den Preis für 7 kg berechnen können. Wir kommen nicht durch eine einfache Multiplikation direkt von den 3 kg zu den 7 kg. Aber wir könnten ja in einem Zwischenschritt den Preis für 1 kg Rinderfilet berechnen. Dazu teilen wir auf beiden Seiten unserer Tabelle durch 3.

Dreisatz erster Schritt

Jetzt wissen wir also, dass 1 kg Rinderfilet 49 € kostet.

Wir möchten aber wissen, wie teuer 7 kg Rinderfilet sind. Dazu multiplizieren wir auf beiden Seiten mit 7:

Weitere Schritte

Lösung:
7 kg feinstes Rinderfilet kosten also 343 €.

 

 

Rechnen wir ein weiteres Beispiel

Aufgabenstellung:
15 kg feinstes Schweinefilet kosten 70 € und Susanne benötigt 9 kg. Wie teuer sind die 9 kg feinstes Schweinefilet?

 

Herangehensweise:
Ihr müsst nicht immer die Zahl 1 als Zwischenschritt wählen, unter Umständen kann man mit anderen Werten einfacher rechnen:

Rechentabelle

In diesem Beispiel ist der Wert 3 also ein besser geeigneter Zwischenschritt. Hätten wir hier die 1 als Zwischenschritt gewählt, würde die Division auf der rechten Seite \mathrm{70:15=}\frac{\mathrm{14}}{\mathrm{3}} ergeben. 9 kg Schweinefilet kosten also 42 €.

Es ist ebenfalls möglich, eine solche Aufgabe durch die Zuhilfenahme einer Bruchgleichung zu lösen:

    \[\frac{15\ kg}{70\ \textrm{€}}=\frac{9\ kg}{x\ \textrm{€}}\]

Damit unsere Gleichung möglichst einfach aussieht und ihr nicht auf Grund der Einheiten durcheinander kommt, lassen wir die Einheiten ab dem nächsten Schritt weg. Wir können jetzt unseren vorhin erwähnten Trick anwenden und bilden auf beiden Seiten unserer Gleichung den jeweiligen Kehrwert. Im Anschluss multiplizieren wir direkt mit 9:

    \[\frac{70\ }{15\ }=\frac{x\ }{9\ } |\cdot 9\]

    \[\frac{70\ \ \cdot \ 9\ }{15\ }\ =x\]

Jetzt müssen wir den Term auf der linken Seite nur noch ausrechnen und erhalten:

    \[42=x\]

 

Lösung:
Es kommt das gleiche Ergebnis wie oben raus. 9 kg Schweinefilet kosten 42 €.

 

Hilfreiche Tipps:
Manchmal ist es hilfreich zu wissen, ob es sich bei einer Zuordnung tatsächlich um eine proportionale Zuordnung (Dreisatz) handelt. Zur Überprüfung kann man die sogenannte Quotientengleichheit zu Rate ziehen. Dabei wird zeilenweise der Quotient gebildet und hinterher geguckt, ob alle Rechnungen denselben Wert ergeben haben. Wir wollen das jetzt anhand unserer vorherigen Aufgabe überprüfen:

Hilfreiche Tipps

Wir sehen, dass unsere Berechnungen immer das Ergebnis 49 liefern. Es handelt sich also um eine proportionale Zuordnung. Es spielt übrigens keine Rolle, ob ich die linke Seite durch die rechte Seite oder die rechte Seite durch die linke Seite teile.

Schau dir zur Vertriefung direkt nochmal Daniels Video an!

Proportionale Zuordnung, Wertetabelle und Zuordungsgraph | Mathe by Daniel Jung

 

Umgekehrter Dreisatz

Im folgenden Kapitel wollen wir uns angucken, worauf man achten muss, wenn Aufgaben zu antiproportionalen Zuordnungen mit Hilfe des umgekehrten Dreisatz’ gelöst werden sollen. Dazu werfen wir einen Blick auf die folgende

Aufgabenstellung:
10 Bagger benötigen 20 Stunden um eine bestimmte Menge Erde abzutransportieren. Es stehen jetzt aber lediglich 5 Bagger zur Verfügung. Wie viele Stunden brauchen diese 5 Bagger um die gleiche Menge Erde abzutransportieren?

Herangehensweise:
Wir stellen fest, dass es sich um den umgekehrter Dreisatz handelt, denn je weniger Bagger zur Verfügung stehen, desto mehr Stunden werden zum Abtransport benötigt.

Hier benutzen wir eine Tabelle und den umgekehrten Dreisatz, um unsere Aufgabe zu lösen:

Stunden berechnen mit Dreisatz

Wir möchten wissen, wie viele Stunden 5 Bagger zum Abtransport benötigen. Also teilen wir auf der linken Seite unserer Tabelle durch 2, denn 10\div 2=5. Auf der rechten Seite unserer Tabelle müssen wir, da es sich um eine antiproportionale Zuordnung handelt, mit 2 multiplizieren:

Tabelle 2, Vorgehensweise

Lösung:
Wir sehen, dass 5 Bagger, also halb so viele Bagger wie ursprünglich, die doppelte Zeit brauchen, um das Erdreich abzutransportieren. Wir merken uns also, dass wir bei antiproportionalen Zuordnungen auf der gegenüberliegenden Seite immer mit dem Gegenteil rechnen müssen.

Hilfreiche Tipps:
Auch antiproportionale Zuordnungen können auf ihre Richtigkeit überprüft werden. Dazu wird die sogenannte Produktgleichheit zu Rate gezogen. Dabei wird zeilenweise multipliziert und anschließend kontrolliert, ob die berechneten Ergebnisse übereinstimmen:

Endrechnung

Wir sehen, dass unsere Produkte jeweils den Wert 200 annehmen, es handelt sich also um eine antiproportionale Zuordnung. Auf diese Art und Weise kann jede beliebige antiproportionale Zuordnung auf ihre Richtigkeit hin untersucht werden.

 

Beispielaufgabe 1)

Eine Bürofachangestellte benötigt für das Schreiben eines Briefes 12 Minuten und schreibt dabei durchschnittlich 250 Zeichen pro Minute. Wie lange benötigt eine andere Bürofachangestellte für denselben Brief, wenn sie durchschnittlich 300 Zeichen pro Minute schreibt?

Beispielaufgabe 2)

Carlo fährt mit seinem Motorrad von Paderborn nach Beckum. Er benötigt für die 80 km lange Strecke normalerweise 64 Minuten. Heute hat er nach 20 km eine Panne. Wie viel Zeit ist bis dahin vergangen? Notiere Deine Rechnung.

Mathe ZAP Vorbereitung Aufgaben + Lösungen

 

Schau dir am Ende zur Vertiefung die Playlist von Daniel zum Thema Dreisatz an.

Zuordnung, Dreisatz, Proportional, Antiproportional, Übersicht | Mathe by Daniel Jung