Exponentialfunktion

Bei der Exponentialfunktion steht die Variable x oder manchmal auch n im Exponenten. Die allgemeine Form einer Exponentialfunktion lautet:

    \[f\left(x\right)=c\cdot a^x\]

oder

    \[f\left(n\right)=c\cdot a^n\]

Eine Exponentialfunktion kann sowohl einen Wachstums- als auch Abnahmeprozess beschreiben. Die folgenden Zusammenhänge tauchen beim Thema Exponentialfunktion immer wieder auf:

  • Bakterienwachstum
  • Bevölkerungswachstum
  • Halbwertszeiten von radioaktiven Stoffen

 

Exponentielles Wachstum

Wir werden uns jetzt am folgenden Beispiel klar machen, welche Bedeutung die einzelnen Variablen innerhalb einer Exponentialfunktion haben. Dazu wollen wir uns das folgende Beispiel angucken:

Zu Beginn einer Beobachtung befinden sich 100 Bakterien in einer Bakterienkultur. Diese Bakterien vermehren sich stündlich um 5%. Wie viele Bakterien sind nach fünf Stunden in der Bakterienkultur vorhanden?

Wir betrachten noch einmal unsere allgemeine Funktionsgleichung und ordnen die einzelnen Werte zu.

Das f(x) steht für die Anzahl nach x Stunden, Minuten, Tagen, Jahren oder was auch immer gerade in der Aufgabe für eine Zeiteinheit angegeben ist. Bei unserer Aufgabe handelt es sich um Stunden, da wir wissen, dass sich die Bakterien stündlich vermehren.

Das  ist der sogenannte Anfangsbestand oder manchmal auch Startwert. In unserem Beispiel befinden sich zu Anfang 100 Bakterien in der Bakterienkultur, also gilt c=100. Das a ist unser Wachstums- oder Abnahmefaktor. Bei unserem Beispiel vermehren sich die Bakterien, also handelt es sich um ein exponentielles Wachstum. Wir müssen also noch den Wachstumsfaktor berechnen.  Grundsätzlich gilt bei exponentiellem Wachstum:

    \[a=1+\frac{p}{100}\]

In unserem Fall gilt p=5, da sich unsere Bakterien stündlich um 5\% vermehren. Also ist unser Wachstumsfaktor a=1+\frac{5}{100}=1,05. Zum Schluss benötigen wir noch unser x. Wir sollen berechnen wie viele Bakterien nach fünf Stunden vorhanden sind, also gilt x=5. Abschließend setzen wir alles in unsere Funktionsgleichung ein und erhalten:

    \[f\left(5\right)=100\cdot {1,05}^5\approx 127,63\]

In unserer Bakterienkultur befinden sich fünf Stunden nach Beobachtungsbeginn circa 127 Bakterien. Da es nur Bakterien (oder auch Menschen und andere Lebewesen) im Ganzen geben kann, wird das Ergebnis nicht wie sonst üblich aufgerundet, sondern man lässt die Nachkommastellen einfach weg.

Eine weitere Frage in diesem Zusammenhang könnte lauten: Nach wie vielen Stunden sind erstmalig 200 Bakterien in der Bakterienkultur vorhanden?

Unser Startwert ist wieder c=100. Unser Wachstumsfaktor bleibt ebenfalls gleich, nämlich a=1,05. Für unser f(x) gilt: f\left(x\right)=200. Wir suchen also nach unserem x. In diesem Fall müsst ihr ausprobieren, wann erstmalig die Grenze von 200 Bakterien überschritten wird. Wir überprüfen die Bakterienanzahl zu Beginn für x=8, also nach 8 Stunden:

    \[f\left(8\right)=100\cdot {1,05}^8\approx 147,75\]

Wir haben also noch nicht die erforderliche Anzahl erreicht. Als nächstes überprüfen wir einen weiteren Wert:

    \[f\left(14\right)=100\cdot {1,05}^{14}\approx 197,99\]

Nach 14 Stunden befinden sich also noch nicht ganz 200 Bakterien in unserer Kultur.

Deswegen überprüfen wir jetzt noch f(15):

    \[f\left(15\right)=100\cdot {1,05}^{15}\approx 207,89\]

Wir sehen, dass sich zwischen 14 und 15 Stunden erstmalig mehr als 200 Bakterien in der Bakterienkultur befinden.

 

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Lineares und Exponentielles Wachstum, Übersicht, Unterschiede, Exponentialfunktionen

 

Exponentielle Abnahme

Als nächstes betrachten wir eine Aufgabe, bei welcher es sich um eine exponentielle Abnahme handelt. Dazu gucken wir uns das folgende Beispiel an:

Der radioaktive Stoff Illusorium halbiert seinen Anfangsbestand jährlich. Wie viel Gramm sind nach sieben Jahren noch vorhanden, wenn zu Beginn 200 g vorhanden sind?

Es handelt sich jetzt also um eine exponentielle Abnahme. Hier müssen wir bei der Berechnung unseres Abnahmefaktors wie folgt vorgehen:

    \[a=1-\frac{p}{100}\]

Wenn ein bestimmter Stoff seinen Anfangsbestand in einem gewissen Zeitraum halbiert, bedeutet das, dass hinterher noch 50% vorhanden sind. Deswegen rechnen wir:

    \[a=1-\frac{50}{100}=0,5\]

Unser Abnahmefaktor beträgt also a=0,5. Wir setzen wieder alle uns bekannten Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein und erhalten:

    \[f\left(7\right)=200\cdot {0,5}^7\approx 1,5625\]

Nach sieben Jahren sind also noch 1,5625 g vorhanden.

Macht euch, bevor ihr anfangt zu rechnen, also klar, ob es sich um eine exponentielle Abnahme oder um exponentielles Wachstum handelt.

Exponentieller Zerfall, exponentielle Abnahme, Zerfallsfaktor, Exponentialfunktionen

 

Zinsenszinsen als Sonderfall des exponentiellen Wachstums

Bei der Berechnung von Zinseszinsen handelt es sich ebenfalls um exponentielles Wachstum. In der Schule wird häufig die folgende allgemeine Funktionsgleichung verwendet:

    \[K\left(n\right)=K_0\cdot q^n\]

Grundsätzlich verhält sich alles genau so wie bei anderen Aufgaben zum exponentiellen Wachstum auch. Das K\left(n\right) ist gleichbedeutend mit f(x). K_0 repräsentiert unseren Startwert c und q ist unser Wachstumsfaktor a. Das n steht für die Anzahl der Jahre, da wir es bei den Zinseszinsen mit Laufzeiten zu tun haben, welche größer als ein Jahr sind.

Man kann die Zinseszinsformel sowohl nach K_0 als auch nach q umstellen und erhält dann:

K_0=\frac{K(n)}{q^n} und q=\sqrt[n]{\frac{K(n)}{K_0}}

Dazu wollen wir uns die folgende Aufgabe angucken:

Frau Meyer legt 2000 € zu einem Zinssatz von 2\% an.

  1. Wie hoch ist ihr Kapital nach drei Jahren?Das Anfangskapital beträgt K_0=2000 € und der Wachstumsfaktor lautet q=1+\frac{2}{100}=1,02. Außerdem ist die Laufzeit n=3. Wir setzen ein und erhalten:

        \[K\left(3\right)=2000\cdot {1,02}^3\approx 2122,42 \]

    Das Kapital von Frau Meyer beträgt nach drei Jahren 2122,42 €.

  2. Wie viel Euro müsste sie anlegen um bei gleichem Zinssatz nach fünf Jahren über 3000 € verfügen zu können?Wir suchen also bei dieser Aufgabe unser K_0 und benutzen die entsprechende Formel:

        \[K_0=\frac{K(n)}{q^n}=\frac{3000}{{1,02}^5}\approx 2717,19\]

    Sie mü}sste also circa 2717,19 €anlegen, um nach 5 Jahren 3000 €€ auf dem Konto zu haben.

  3. Bei welchem Zinssatz würde ihr Kapital von 2000 € innerhalb von zehn Jahren auf 2500 € anwachsen?

In diesem Fall suchen wir unseren Zinssatz und nehmen zuerst die Formel zur Berechnung von q:

    \[q=\sqrt[n]{\frac{K(n)}{K_0}}=\sqrt[{10}]{\frac{2500}{2000}}\approx 1,023\]

Für den Wachstumsfaktor gilt also q\approx 1,023. Das ist jedoch noch nicht unser Zinssatz. Um diesen herauszufinden, müssen wir die Formel zur Bestimmung des Wachstumsfaktors nach dem Zinssatz p umstellen.

    \[p=(q-1)\cdot 100\]

Wir setzen ein und erhalten abschließend:

    \[p=\left(q-1\right)\cdot 100=\left(1,023-1\right)\cdot 100=2,3\%\]

Der Zinssatz beträgt 2,3\%.

 

Zinsrechnung nochmal verständlich von Daniel erklärt.

Zinseszins, Grundlagen Basics, Wachstumsfaktor, Mathehilfe online | Mathe by Daniel Jung

 

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