Flächen und Flächenberechnung

Übersicht zur Flächenberechnung

Flächen, Umfang, Quadrat, Rechteck, Raute, Trapez, Drachen, Parallelogramm, Übersicht

Nachfolgend seht ihr die wichtigsten Figuren mit ihren Eigenschaften und den dazugehörigen Formeln. Hinweis: Der Umfang U ist die Summe aller außen liegenden Seiten.

Quadrat

bil_quadratEigenschaften:

  • Alle Seiten sind gleich lang
  • \mathrm{\alpha}\mathrm{=}\mathrm{\beta}\mathrm{=}\mathrm{\gamma }\mathrm{=}\mathrm{\delta}\mathrm{=90{}^\circ }
  • Winkelsumme: \mathrm{\alpha}\mathrm{+}\mathrm{\beta}\mathrm{+}\mathrm{\gamma}\mathrm{+}\mathrm{\delta}\mathrm{=360{}^\circ }

Formeln:

  • Umfang: \mathrm{U=4}\mathrm{\cdot }\mathrm{a}
  • Flächeninhalt: \mathrm{A=a}\mathrm{\cdot }\mathrm{a=}{\mathrm{a}}^{\mathrm{2}}
  • Diagonale: \mathrm{d=a}\mathrm{\cdot }\sqrt{\mathrm{2}}

Rechteck

bil_rechteckEigenschaften:

  • Die jeweils gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang
  • \mathrm{\alpha}\mathrm{=}\mathrm{\beta}\mathrm{=}\mathrm{\gamma }\mathrm{=}\mathrm{\delta}\mathrm{=90{}^\circ }
  • Winkelsumme: \mathrm{\alpha}\mathrm{+}\mathrm{\beta }\mathrm{+}\mathrm{\gamma}\mathrm{+}\mathrm{\delta}\mathrm{=360{}^\circ }

Formeln:

  • Umfang: \mathrm{U=2}\mathrm{\cdot }\mathrm{a+2}\mathrm{\cdot }\mathrm{b}
  • Flächeninhalt: \mathrm{A=a}\mathrm{\cdot }\mathrm{b}
  • Diagonale: \mathrm{d=}\sqrt{{\mathrm{a}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}{\mathrm{b}}^{\mathrm{2}}}

Trapez

bil_trapezEigenschaften:

  • \mathrm{a}\mathrm{\parallel }c
  • Winkelsumme: \alpha \mathrm{+}\beta \mathrm{+}\gamma \mathrm{+}\delta \mathrm{=360{}^\circ }

Formeln:

  • Umfang: U\mathrm{=a+}b\mathrm{+}c\mathrm{+}d
  • Flächeninhalt: A\mathrm{=}\frac{\mathrm{(}a\mathrm{+}c\mathrm{)}\mathrm{\cdot }h}{\mathrm{2}}\mathrm{\ } oder \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{\cdot }\mathrm{(}a\mathrm{+}c\mathrm{)}\mathrm{\cdot }h

Parallelogramm

bil_parallelogrammEigenschaften:

  • \mathrm{a}\mathrm{\parallel }\mathrm{c}
  • \mathrm{b}\mathrm{\parallel }\mathrm{d}
  • Winkelsumme: \mathrm{\alpha}\mathrm{+}\mathrm{\beta }\mathrm{+}\mathrm{\gamma}\mathrm{+}\mathrm{\delta}\mathrm{=360{}^\circ }

Formeln:

  • Umfang: U=a+b+c+d
  • Flächeninhalt: A=g\cdot h

Dreieck

Eigenschaften:

  • Winkelsumme: \alpha +\beta +\gamma =180{}^\circ

Formeln:

  • Umfang: U=a+b+c
  • Flächeninhalt: A=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h

Die Grundseite und die Höhe müssen senkrecht zueinander liegen. In unserem Fall wäre die Grundseite die Seite c.

Kreis

bil_kreis

Formeln:

  • Radius: r
  • Durchmesser: d=2\cdot r
  • Umfang: U=2 \cdot \pi \cdot r=\pi \cdot d
  • Flächeninhalt: A=\pi \cdot r^2

Zusammengesetzte Flächen

Natürlich kann es auch passieren, dass unterschiedliche Flächen miteinander kombiniert werden. Eure Aufgabe ist es in diesem Fall, selbstständig eine sinnvolle Unterteilung in euch bekannte Flächen durchzuführen. Dazu wollen wir uns das folgende Beispiel einmal angucken:bil_flaeche

Um eine solche Fläche berechnen zu können, ist es nötig, diese vorher zu unterteilen. Hier kann das auf zwei verschieden Arten passieren:

bil_flaeche1

Wie auf dem Bild oben zu sehen ist, haben wir die Fläche in uns zwei bekannte Flächen unterteilt, zum einen in ein Dreieck und zum anderen in ein Rechteck. Für diese beiden Flächen können wir nun die uns bekannten Formeln zur Berechnung anwenden.

Es gibt auch noch eine weitere Möglichkeit der Unterteilung:

bil_flaeche2

In diesem Fall haben wir die Fläche in zwei gleich große Trapeze unterteilt, deren Flächeninhalt wir nun wieder mit der uns bekannten Formel berechnen können.

Schau dir zur Vertiefung Daniels Playlist zum Thema Flächen und Umfang an!

Flächen, Umfang, Quadrat, Rechteck, Raute, Trapez, Drachen, Parallelogramm, Übersicht