Gleichungen

Lineare Gleichungen werden immer nach dem gleichen Schema gelöst. Zu diesem Zweck wollen wir uns verschiedene Gleichungen angucken und diese lösen.

Die Themen auf dieser Seite sind:

Bevor wir mit dem Thema anfangen solltest du dir dieses Video zu den Grundlagen „Gleichungen lösen“ anschauen.

Gleichung, Gleichungen lösen, Hilfe in Mathe, einfach erklärt | Mathe by Daniel Jung

Jetzt können wir direkt einsteigen. Schauen wir uns folgende Gleichung an:

    \[x+7=5\]

Wir bringen die 7 von der linken auf die rechte Seite, indem wir auf beiden Seiten der Gleichung 7 subtrahieren:

    \[x+7=5 |-7\]

    \[x+7-7=5-7\]

Nach dem wir zusammengefasst haben erhalten wir:

    \[x=-2\]

Weiteres Beispiel:

    \[2x+3=5x-12\]

Beim Gleichungen lösen müssen wir uns überlegen, auf welcher Seite der Gleichung wir unsere x und auf welcher Seite wir unsere Zahlen sammeln wollen. Es spielt grundsätzlich keine Rolle, ob das x am Ende auf der linken oder auf der rechten Seite der Gleichung steht. Wir entscheiden uns dafür, dass wir die x auf der linken Seite sammeln und bringen jetzt die 5x mit -5x auf die linke Seite der Gleichung:

    \[2x+3=5x-12 |-5x\]

    \[2x+3-5x=5x-12-5x\]

Wir fassen zusammen und erhalten:

    \[-3x+3=-12\]

Als nächstes bringen wir die 3 mit -3 auf die rechte Seite der Gleichung:

    \[-3x+3=-12 |-3\]

    \[-3x+3-3=-12-3\]

Wir fassen zusammen und erhalten:

    \[-3x=-15\]

Zum Schluss wollen wir noch die -3 vor unserem x beseitigen. Wir teilen also auf beiden Seiten der Gleichung durch -3:

    \[-3x=-15 |\div (-3)\]

    \[x=5\]

Weiteres Beispiel:

Selbstverständlich kann es auch vorkommen, dass unsere Gleichung zu Beginn Klammern enthält, welche wir vorher auflösen müssen:

    \[2x-\left(3x+5\right)=2\cdot (x+3)\]

Ein Minus vor der Klammer bewirkt, dass sich die Vorzeichen in der Klammer umkehren und die Klammer anschließend verschwindet. Auf der rechten Seite unserer Gleichung wird die Klammer ausmultipliziert. Insgesamt erhalten wir also:

    \[2x-3x-5=2x+6\]

Wir fassen zusammen und erhalten:

    \[-x-5=2x+6\]

Merkt euch: -x=-1\cdot x

Wir bringen jetzt unsere 2x auf die linke Seite der Gleichung, indem wir -2x rechnen und erhalten:

    \[-x-5=2x+6 |-2x\]

    \[-3x-5=6\]

Anschließend bringen wir die -5 auf die rechte Seite der Gleichung, indem wir +5 rechnen:

    \[-3x-5=6 |+5\]

    \[-3x=11\]

Abschließend teilen wir auf beiden Seiten der Gleichung durch -3:

    \[-3x=11 |\div (-3)\]

    \[x=-\frac{11}{3}\]

 

Terme lösen

  • Ein Term kann eine Summe, eine Differenz, ein Produkt oder ein Quotient sein, z.B. x+7 oder 2\cdot x-4.
  • Terme dürfen nach bestimmten Regeln vereinfacht und zusammengefasst werden.

Wir gucken uns als Beispiel den folgenden Term an:

    \[$2x+4+3x-2+5y$\]

Grundsätzlich dürfen gleichartige Glieder zusammengefasst werden. Damit ihr die gleichartigen Glieder erkennt, wollen wir den Term ordnen und schreiben:

    \[2x+3x+4-2+5y\]

Wir fassen zusammen und erhalten:

    \[$5x+2+5y$\]

 

Was ist ein Term? Hilfe in Mathe, einfach erklärt, Nachhilfe online | Mathe by Daniel Jung

 

 

Bruchgleichungen lösen

Beim Bruchgleichungen Lösen geht ihr am besten nach dem folgenden Schema vor. Zuerst werden die Nenner auf beiden Seiten der Gleichung eliminiert, indem ihr mit genau diesen beiden Nennern multipliziert. Anschließend verfahrt ihr genau so wie beim Lösen von linearen Gleichungen. Dazu gucken wir uns die folgende Gleichung an:

    \[\frac{\mathrm{2x+2}}{\mathrm{3}} \mathrm{=} \frac{\mathrm{x-3}}{\mathrm{2}} \mathrm{|}\mathrm{\cdot }\mathrm{2}\]

\frac{\left(\mathrm{2x+2}\right)\mathrm{\ }\mathrm{\cdot }\mathrm{\ 2}}{\mathrm{3}} \mathrm{=} \frac{\left(\mathrm{x-3}\right)\mathrm{\ }\mathrm{\cdot }\mathrm{\ 2}}{\mathrm{2}} \mathrm{|} | Ausmultiplizieren bzw. Kürzen

    \[\frac{\left(\mathrm{2x+2}\right)\mathrm{\ }\mathrm{\cdot }\mathrm{\ 2}}{\mathrm{3}} \mathrm{=} \frac{\left(\mathrm{x-3}\right)\mathrm{\ }\mathrm{\cdot }\mathrm{\ }\mathrm{2}}{\mathrm{2}}\]

    \[\frac{\mathrm{4x+4}}{\mathrm{3}} \mathrm{=x-3} \mathrm{|}\mathrm{\cdot }\mathrm{3}\]

\frac{\left(\mathrm{4x+4}\right)\mathrm{\ }\mathrm{\cdot }\mathrm{\ 3}}{\mathrm{3}} \mathrm{=(x-3)}\mathrm{\cdot }\mathrm{3} \mathrm{|} | Kürzen bzw. Ausmultiplizieren

    \[\frac{\left(\mathrm{4x+4}\right)\mathrm{\ }\mathrm{\cdot }\mathrm{\ }\mathrm{3}}{\mathrm{3}} \mathrm{=(x-3)}\mathrm{\cdot }\mathrm{3}\]

    \[\mathrm{4x+4=3x-9} \mathrm{|-3x}\]

    \[\mathrm{x+4=-9} \mathrm{|-4}\]

    \[\mathrm{x=-13}\]

Der folgende Trick kann beim Lösen von Bruchgleichungen besonders hilfreich sein. Sollte euer x im Nenner stehen, so dürft ihr auf beiden Seiten der Gleichung den Kehrwert bilden und könnt anschließend wieder mit dem jeweiligen Nenner multiplizieren:

\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{32}}{\mathrm{7}} \mathrm{|} | Kehrwert

    \[\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{32}} \mathrm{|}\mathrm{\cdot }\mathrm{2}\]

\frac{\mathrm{x}\mathrm{\cdot }\mathrm{2}}{\mathrm{2}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{7}\mathrm{\cdot }\mathrm{2}}{\mathrm{32}} \mathrm{|} | Kürzen bzw. Multiplizieren

    \[\mathrm{x=}\frac{\mathrm{14}}{\mathrm{32}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{16}}\mathrm{=0,4375}\]

Bruchgleichung lösen, Nachhilfe online, Hilfe in Mathe, einfach erklärt | Mathe by Daniel Jung

Ungleichungen lösen

Das Thema Ungleichungen wird häufig nicht in der Schule behandelt. Wir wollen uns dieses Thema jedoch kurz angucken und die wichtigsten Regeln festhalten. Grundsätzlich dürfen Ungleichungen nach denselben Regeln wie Gleichungen gelöst werden.

Es gibt eine Ausnahme. Sobald ihr die Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine negative Zahl teilt, muss das Ungleichzeichen seine Richtung ändern. Beispiel:

    \[\mathrm{-}\mathrm{3x+7<-6x-5} \mathrm{|+3x}\]

    \[\mathrm{7<-3x-5} \mathrm{|+}\mathrm{5}\]

Bis jetzt sind wir genau so verfahren, als würde es sich um eine lineare Gleichung handeln. Aber jetzt kommt die vorhin erwähnte Ausnahme. Wir teilen unsere Ungleichung durch -3 und müssen nun also unser Ungleichzeichen umdrehen:

    \[\mathrm{12<-3x} \mathrm{|\div (-3)}\]

    \[\mathrm{-}\mathrm{4>x}\]

Beachte: \mathrm{\ -4>x} ist das gleiche wie \mathrm{\ x<-4}.

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Schaut euch auch auf jeden Fall die Playlist zum Thema Gleichungen lösen an.

Playlist: Terme und Gleichungen, Bruchgleichungen, Ungleichungen