Lineare Gleichungssysteme

Was sind lineare Gleichungssysteme (LGS)?

Bei linearen Gleichungssystemen befinden sich die Graphen von zwei linearen Funktionen (also Geraden) innerhalb eines Koordinatensystems. In diesem Zusammenhang stellen wir fest, dass zwei Geraden zueinander entweder:

  • parallel oder
  • identisch sind bzw.
  • einen gemeinsamen Schnittpunkt

Es geht also darum, herauszufinden, welcher dieser drei Fälle vorliegt. Das kann auf zwei verschiedene Arten geschehen:

  • zeichnerisch oder
  • rechnerisch

 

In diesem Zusammenhang betrachten wir die zwei folgenden Funktionen:

  1. y=-x+2
  2. y=2x-1

Die Darstellung im Koordinatensystem sieht aus wie folgt:

bil_lgszeichnerisch

Wir können hier sehr gut erkennen, dass die beiden Geraden sich im Punkt (1|1) schneiden. Des Weiteren fällt uns auf, dass unsere beiden Geraden unterschiedliche Steigungen haben, nämlich -1 und 2. In diesem Zusammenhang halten wir also fest, dass Geraden mit unterschiedlicher Steigung immer einen gemeinsamen Schnittpunkt haben. Im Umkehrschluss bedeutet das, dass Geraden mit identischer Steigung parallel zueinander verlaufen oder sogar identisch sind. Identisch sind sie aber nur dann, wenn sie ebenfalls den gleichen Schnittpunkt mit der y-Achse haben. Wir halten also fest:

  1. m_1\neq m_2 \Longrightarrow gemeinsamer Schnittpunkt
  2.  m_1=m_2\wedge b_1\neq b_2 \Longrightarrow parallel
  3.  m_1=m_2\wedge b_1=b_2 \Longrightarrow identisch
[m_1= Steigung der ersten Geraden; m_2= Steigung der zweiten Geraden; b_1= Schnittpunkt mit der y-Achse der ersten Geraden; b_2= Schnittpunkt mit der y-Achse der zweiten Geraden] Vertiefungsvideo zum Thema Lineare Gleichungssysteme

Lineares Gleichungssystem (LGS) zeichnerisch lösen, zeichnerische Lösung | Mathe by Daniel Jung

Rechnerisches Lösen linearer Gleichungssysteme

Beim rechnerischen Lösen von linearen Gleichungssystemen gibt es drei verschiedene Verfahren:

  • Gleichsetzungsverfahren
  • Einsetzungsverfahren
  • Additionsverfahren

Es ist grundsätzlich mögliche jedes lineare Gleichungssystem mit allen drei Verfahren zu lösen. Jedoch bietet sich häufig ein bestimmtes Verfahren besonders gut an.

 

Gleichsetzungsverfahren

Wir gucken uns erneut die beiden linearen Funktionen aus der vorherigen Aufgabe an:

y=-x+2

y=2x-1

Sollten eure beiden Funktionen die oben zu sehende Gestalt haben, dann wendet ihr das Gleichsetzungsverfahren an. Der Name des Verfahrens sagt euch schon was passieren muss. Wir müssen nämlich die beiden Terme unserer Funktionen miteinander gleichsetzen. Das dürfen wir, weil y=-x+2 ist, aber eben auch y=2x-1 ist. Auf den Punkt gebracht bedeutet das, dass ihr die beiden Terme, welche auf der rechten Seite eurer Gleichungen auftauchen, miteinander gleichsetzt.

Wenn wir das machen, erhalten wir die folgende Gleichung:

    \[-x+2=2x-1\]

Diese Gleichung lösen wir jetzt nach x auf:

    \[-x+2=2x-1 |+x\]

    \[2=3x-1 |+1\]

    \[3=3x |\div 3\]

    \[1=x\]

Damit hätten wir die x-Koordinate unseres Schnittpunkts gefunden. Des Weiteren wollen und müssen wir aber ebenfalls die y-Koordinate unseres Schnittpunkts finden. Diese erhalten wir, indem wir unsere gerade gefundene x-Koordinate in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzen. Dabei spielt es keine Rolle, für welche der beiden ihr euch entscheidet. Wir überprüfen es zur Veranschaulichung mit beiden Funktionsgleichungen:

1. y=-x+2: y=-\left(1\right)+2=-1+2=1

2. y=2x-1y=2\cdot 1-1=2-1=1

Beide Einsetzungen haben ergeben, dass für unsere y-Koordinate y=1 gilt. Unser Schnittpunkt, welchen wir einfach S nennen können, hat die Koordinaten S\ (1|1).

Solltet ihr das Ergebnis mittels einer Lösungsmengenklammer angeben müssen empfiehlt sich die folgende Schreibweise:

    \[\mathbb{L}=\left\{(1\right.|\left.1)\right\}\]

An dieser Stelle noch ein wichtiger Hinweis. Viele Schüler glauben, dass es nur dann möglich ist das Gleichsetzungsverfahren anzuwenden, wenn auf der einen Seite beider Gleichungen ein  steht. Das ist nicht korrekt. Das Gleichsetzungsverfahren ist ebenfalls anwendbar, falls die beiden Funktionsgleichungen eine andere Gestalt haben sollten, z.B.:

    \[2x=5y+7\]

    \[2x=-3y-2\]

Entscheidend ist lediglich die Tatsache, dass die beiden Terme auf einer Seite der jeweiligen Gleichungen identisch sind. Das Gleichsetzen ergibt:

    \[5y+7=\ -3y-2\]

An dieser Stelle rechnen wir weiter wie gewohnt und erhalten für y=- \frac{9}{8}.
Daniel erklärt es euch nochmals genau in diesem Video

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Einsetzungsverfahren

Beim Einsetzungsverfahren sagt euch ebenfalls der Name was passieren sollte. Wir müssen nämlich etwas einsetzen. Dazu gucken wir uns die beiden folgenden Funktionsgleichungen an:

    \[y=2x-3\]

    \[5=7x+2y\]

Wir können sehen, dass folgendes gilt: y=2x-3. Also nehmen wir uns die rechte Seite dieser Gleichung, nämlich 2x-3 und ersetzen das y in unserer zweiten Gleichung genau dadurch. Anschließend ergibt sich die folgende Gleichung:

    \[5=7x+2\cdot (2x-3)\]

    \[5=7x+4x-6\]

    \[5=11x-6 |+6\]

    \[11=11x |\div 11\]

    \[1=x\]

An dieser Stelle setzen wir erneut unsere x-Koordinate in eine der beiden Funktionen ein, um die y-Koordinate zu berechnen.

    \[y=2\cdot 1-3=2-3=-1\]

Unsere Lösungsmenge lautet also: \mathbb{L}=\left\{(1\right.|\left.-1)\right\}.
Schau dir das Einsetzungverfahren Vertiefungsvideo an!

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Additionsverfahren

Beim Additionsverfahren werden die beiden vorhandenen Gleichungen miteinander addiert, um eine der zwei Variablen zu eliminieren. Dazu gucken wir uns das folgende lineare Gleichungssystem an:

I 2x-2y=5

II 3x+2y=10

Als erstes werden jetzt die beiden Gleichungen komponentenweise addiert:

I 2x -2y =5

II \ 3x +2y = 10

I + II 2x+3x-2y+2y =5+10

Diese Gleichung fassen wir jetzt zusammen und erhalten:

    \[5x=15 |\div 5\]

    \[x=3\]

Die x-Koordinate unseres Schnittpunkts lautet x=3.

Jetzt setzen wir unsere gefundene x-Koordinate wieder in eine der beiden Ausgangsgleichungen ein, um die y-Koordinate unseres Schnittpunkts zu bestimmen:

    \[2\cdot 3-2y=5\]

    \[6-2y=5 |-6\]

    \[-2y=5-6\]

    \[-2y=-1 |\div (-2)\]

    \[y=0,5\]

Unsere Lösungsmenge lautet also: \mathbb{L}=\left\{(3\right.|\left.0,5)\right\}

Hinweis: Die Ausgangsfunktionen können immer so modifiziert (angepasst) werden, dass ihr jedes Lösungsverfahren anwenden könnt.
Das Additionsverfahren nochmal von Daniel erklärt

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Sonderfälle

Wie am Anfang schon kurz beschrieben, ist es möglich, dass sich unsere beiden Geraden nicht schneiden, sondern parallel oder sogar identisch sind. Wenn dieser Fall eintritt, bekommen wir natürlich bei unserer Berechnung auch keine Schnittpunktkoordinaten. Wir gucken uns jetzt zu beiden Fällen jeweils eine Aufgabe an, damit ihr nicht verwirrt seid, falls so ein Fall in der Prüfung auftauchen sollte.

Parallele Geraden

Zwei parallele Geraden haben die gleiche Steigung, aber nicht den gleichen Schnittpunkt mit der y-Achse. Dazu betrachten wir das folgende lineare Gleichungssystem:

I y=2x-2

II y=2x-5

Wir sehen auf den ersten Blick, dass unsere beiden Steigungen identisch sind. Das gilt hier aber nicht für die Schnittpunkte mit der y-Achse. Wir wenden jetzt das Gleichsetzungsverfahren an und gucken was passiert:

    \[2x-2=2x-5 |-2x\]

    \[-2=-5\]

Wir erhalten eine falsche Aussage, denn -2 ist eben nicht gleich -5. Damit hätten wir gezeigt, dass es keine Lösung gibt, also dass sich die Geraden nicht schneiden und dass unsere Geraden daher parallel zueinander verlaufen.

Identische Geraden

Zwei identische Geraden lassen sich nicht immer gleich auf den ersten Blick erkennen. Dazu das folgende Beispiel:

I 4x=5-y

II 8x=10-2y

Im ersten Moment sieht es nicht so aus, als wären diese beiden Geraden identisch, denn sowohl die Steigungen als auch die Schnittpunkte mit der y-Achse scheinen unterschiedliche Werte zu haben. Doch nehmen wir an, dass wir jetzt das Gleichsetzungsverfahren anwenden wollen würden, müssten wir unsere zweite Gleichung vorher noch durch 2 teilen. Unsere beiden Gleichungen hätten dann die folgende Gestalt:

I 4x=5-y

II 8x=10-2y |\div 2

I 4x=5-y

II 4x=5-y

Nun sehen wir, dass unsere beiden Gleichungen identisch sind. Trotzdem wollen wir gucken was passiert, wenn wir die Terme gleichsetzen und einfach weiter rechnen:

    \[5-y=5-y |-5\]

    \[-y=-y |+y\]

    \[0=0\]

Wir erhalten also eine wahre Aussage, denn 0 ist gleich 0. Falls unsere beiden Geraden identisch sein sollten, muss eine wahre Aussage herauskommen.

 

Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen

Zum Thema lineare Gleichungssysteme wollen wir uns die folgende Textaufgabe angucken:

Auf einem Bauernhof leben Schweine und Hühner. Insgesamt gibt es 180 Tiere, welche zusammen 520 Beine haben. Wie viele Schweine bzw. Hühner leben auf dem Bauernhof?

Als erstes machen wir uns klar, dass unsere beiden Variablen x und y eindeutig zugeordnet werden müssen. In diesem Beispiel ist die folgende Zuordnung hilfreich:

  1. x: Anzahl der Schweine auf dem Bauernhof
  2. y: Anzahl der Hühner auf dem Bauernhof

Durch diese Zuordnung ergibt sich auch schon die erste Gleichung für unser lineares Gleichungssystem, nämlich:

    \[x+y=180\]

Zur Erklärung, die Anzahl der Schweine x addiert mit der Anzahl der Hühner y müssen zusammen 180 ergeben, also die Anzahl aller Tiere auf dem Bauernhof.

Des Weiteren stellen wir fest, dass Schweine Vierbeiner und Hühner Zweibeiner sind. Also ist die Anzahl der Schweine multipliziert mit 4 und die Anzahl der Hühner multipliziert mit 2 unsere Gesamtanzahl aller Beine auf dem Bauernhof, nämlich 520. Unsere zweite Gleichung lautet also:

    \[4x+2y=520\]

Unsere beiden Gleichungen schreiben wir jetzt noch einmal geordnet direkt untereinander und lösen das lineare Gleichungssystem dann mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens:

I x+y=180

II 4x+2y=520

Wir stellen die erste Gleichung nach y um und setzen den entstandenen Term in die zweite Gleichung ein:

I x+y=180 |-x

II 4x+2y=520

I y=180-x

II 4x+2y=520

Jetzt können wir das y aus Gleichung I in Gleichung II einsetzen:

    \[4x+2\cdot (180-x)=520\]

    \[4x+360-2x=520\]

    \[2x+360=520 |-360\]

    \[2x=160 |\div 2\]

    \[x=80\]

Jetzt wissen wir also schon einmal, dass 80 Schweine auf dem Bauernhof leben. Als nächstes setzen wir x=80 in die obere Gleichung (Gleichung I) ein, um unsere Anzahl der Hühner zu berechnen:

    \[y=180-80=100\]

Es leben demnach 80 Schweine und 100 Hühner auf dem Bauernhof.

Wir kontrollieren unsere Lösung mit Gleichung II:

4x+2y=4\cdot 80+2\cdot 100=320+200=520 \mathrm{\checkmark}

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Playlist: Gleichungssysteme/LGS lösen, Gaußalgorithmus, Ränge, Determinanten