Nullstellen berechnen / Gleichungen lösen

Wie schon angesprochen, müssen wir zur Berechnung der Nullstellen, unseren Funktionsterm gleich 0 setzen. Dieser Schritt ist in jedem Fall notwendig und es spielt keine Rolle, ob es sich bei unserer Funktion um eine lineare oder quadratische Funktion handelt.

 

Nullstellen Linearer Funktionen

Wir gehen davon aus, dass uns die folgende Funktionsvorschrift vorliegt:

y=2\cdot x-4. Wir setzen unseren Funktionsterm also gleich 0 und erhalten:

    \[0=2\cdot x-4\]

Selbstverständlich dürfen wir auch die beiden Seiten unserer Gleichung vertauschen:

    \[2\cdot x-4=0 |+4\]

    \[2\cdot x=4 |\div 2\]

    \[x=2\]

Daniel erklärt das Ganze nochmal in seinem Video

Gleichungen lösen, Übersicht, Terme, Lösungsverfahren | Mathe by Daniel Jung

 

 

Nullstellen Quadratischer Funktionen

Daniel erklärt dir nochmal die Grundlagen zu quadratischen Grundlagen

Was heißt quadratisch, quadratische Gleichung, quadratische Funktion? | Mathe by Daniel Jung

 

Funktionen der Form y=a\cdot x^2+c

    \[y=2\cdot x^2-8\]

    \[2\cdot x^2-8=0 |+8\]

    \[2\cdot x^2=8 |\div 2\]

    \[x^2=4 |\sqrt{}\]

    \[x=\pm 2 \Longrightarrow x_1=2\vee x_2=-2\]

Merkt euch, dass wir beim Wurzelziehen immer zwei Lösungen erhalten. Eine ist positiv und die andere ist negativ.

 

Funktionen der Form y=a\cdot x^2+b\cdot x

    \[y={2\cdot x}^2+2\cdot x\]

    \[{2\cdot x}^2+2\cdot x=0\]

Zuerst müsst ihr einen gemeinsamen Faktor ausklammern. Das ist in den meisten Fällen immer ein x:

    \[x\cdot \left(2x+2\right)=0\]

Jetzt gilt der folgende Satz: Ein Produkt ist immer genau dann gleich 0, wenn mindestens ein Faktor gleich 0 ist. Das bedeutet, dass das Ergebnis einer Multiplikation nur dann gleich 0 sein kann, wenn wir auch mit 0 multiplizieren. Denn nur 0 multipliziert mit irgendwas oder irgendwas multipliziert mit 0 ergibt auch 0. Wir dürfen also unsere beiden Faktoren unabhängig voneinander gleich 0 setzen:

    \[x=0\ \vee \ 2x+2=0\]

Auf diesem Wege erhalten wir direkt auch schon unsere erste Lösung, nämlich x=0. Um unsere zweite Lösung zu bestimmen, lösen wir den Term, welcher in der Klammer steht, separat auf:

    \[2x+2=0 |-2\]

    \[2x=-2 |\div 2\]

    \[x=-1\]

Unsere beiden Lösungen lauten also: x=0\vee x=-1.

 

Funktionen der Form y=a\cdot x^2+b\cdot x+c können ausschließlich mit der pq-Formel gelöst werden. Diese lautet:

    \[x_{1/2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{{\left.\left(\ \frac{p}{2}\ \right.\right)}^2-q}\]

Beispiel: Berechne die Nullstellen zu der Funktion y=2\cdot x^2-4\cdot x-6.

In diesem Fall ist es besonders wichtig, dass ihr die Gleichung vorher normiert. Ihr müsst lediglich die gesamte Gleichung durch den Faktor teilen, welcher vor dem x^2 auftaucht:

    \[2\cdot x^2-4\cdot x-6=0 |\div 2\]

    \[x^2-2\cdot x-3=0\]

Jetzt können wir unsere beiden Werte sowohl für p als auch für q bestimmen. Das p findet ihr immer direkt vor dem einfachen x, also p=-2. Das q ist immer die konstante Zahl in unserer Gleichung, also q=-3. Merkt euch, dass die Vorzeichen eine wichtige Rolle spielen und ihr diese auf jeden Fall berücksichtigen müsst. Jetzt setzen wir unsere beiden Werte in die pq-Formel ein:

    \[x_{1/2}=-\frac{-2}{2}\pm \sqrt{{\left.\left(\ \frac{-2}{2}\ \right.\right)}^2-(-3)}\]

    \[x_{1/2}=1\pm \sqrt{({1)}^2+3}\]

    \[x_{1/2}=1\pm \sqrt{1+3}\]

    \[x_{1/2}=1\pm \sqrt{4}\]

    \[x_{1/2}=1\pm 2\]

    \[x_1=1+2=3\ \vee \ x_2=1-2=-1\]

Bei solchen Gleichungen bestimmt der Term unter der Wurzel, wie viele Lösungen ihr erhaltet. Er nennt sich Diskriminante und es gelten die folgenden Regeln:

  1.  D>0\Longrightarrow 2 Lösungen
  2.  D=0\Longrightarrow 1 Lösung
  3. D<0\Longrightarrow keine Lösung

Schau dir in dem Video weitere PQ-Formel Beispiele an

PQ Formel zum Lösen quadratischer Gleichungen, Nullstellen | Mathe by Daniel Jung

 

Sonderfall

Sollte eine quadratische Funktion in der Scheitelpunktform y=a\cdot {\left(x-d\right)}^2+e auftreten, müsst ihr die Nullstellen wie folgt berechnen:

    \[y=2\cdot {\left(x-2\right)}^2-8\mathrm{\ }\]

    \[2\cdot {\left(x-2\right)}^2-8=0 |+8\]

    \[2\cdot {\left(x-2\right)}^2=8 |\div 2\]

    \[{\left(x-2\right)}^2=4 |\sqrt{}\]

    \[x-2=\pm 2\]

    \[x_1-2=2 |+2 \vee x_2-2=-2 |+2\]

    \[x_1=4 \vee x_2=0\]

Sollte e positiv sein, so ist es nicht möglich, eine Lösung zu berechnen, da wir aus negativen Zahlen nicht die Wurzel ziehen können. Beispiel:

    \[y=2\cdot {\left(x-2\right)}^2+8\mathrm{\ }\]

    \[2\cdot {\left(x-2\right)}^2+8=0 |-8\]

    \[2\cdot {\left(x-2\right)}^2=-8 |\div 2\]

    \[{\left(x-2\right)}^2=-4 |\sqrt{}\]

\sqrt{-4} ist nicht existent. Es gibt keine Lösung und demnach gibt es auch keine Nullstellen. Die Funktion schneidet die x-Achse also nicht.

 

Beispiel

Die Flugbahn eines Golfballs kann annähernd durch die folgende Funktion beschrieben werden:

    \[f\left(x\right)=-0,125x^2+7x\]

1. Zeige, dass der Golfball 56\ m weit fliegt.

Zuerst wollen wir uns den Graphen der Funktion im Koordinatensystem angucken:

Nullstellen berechnen

Wir können sehen, dass sich der Abschlagpunkt im Punkt (0|0) befindet. Der Golfball landet irgendwo zwischen der 50\ m– und der 60\ m-Markierung. Sowohl der Abschlagpunkt als auch der Landepunkt des Golfballs werden durch die Nullstellen unserer Funktion repräsentiert. Um die Frage zu beantworten, bzw. um zu bestätigen, dass Golfball auf der 56\ m-Markierung landet, müssen wir die Nullstellen unserer Funktion bestimmen.

Wir setzen also den Funktionsterm gleich 0 und erhalten:

    \[-0,125x^2+7x=0\]

Im nächsten Schritt klammern wir ein x aus und benutzen den Satz vom Nullprodukt:

    \[x\cdot \left(-0,125x+7\right)=0\]

    \[x=0 \wedge -0,125x+7=0 |-7\]

    \[-0,125x=-7 |\div (-0,125)\]

    \[x=56\]

2. Welche maximale Höhe erreicht der Golfball?

Bei der Berechnung der maximalen Höhe muss der Scheitelpunkt der Parabel bestimmt werden, denn bei dem Scheitelpunkt handelt es sich entweder um den höchsten oder um den tiefsten Punkt der Parabel. Wir wenden also die quadratische Ergänzung an und bestimmen den Scheitelpunkt:

    \[f\left(x\right)=-0,125x^2+7x\]

Zuerst klammern wir den Faktor -0,125 aus und erhalten:

    \[f\left(x\right)=-0,125(x^2-56x)\]

Im nächsten Schritt ergänzen wir quadratisch:

    \[f\left(x\right)=-0,125(x^2-56x+{28}^2-{28}^2)\]

Auf die ersten drei Summanden in der Klammer wenden wir die zweite binomische Formel an:

    \[f\left(x\right)=-0,125[{\left(x-28\right)}^2]-784\]

Zum Schluss multiplizieren wir noch -784 mit -0,125:

    \[f\left(x\right)=-0,125{\left(x-28\right)}^2+98\]

Die Koordinaten unseres Scheitelpunkts lauten S\ (28|98). Der Golfball erreicht eine maximale Höhe von 98\ m. Es gibt zu dieser Fragestellung noch einen weiteren, kürzeren Lösungsweg. Grundsätzlich dürfen wir davon ausgehen, vorausgesetzt wir kennen die Nullstellen der Parabel, dass sich die x-Koordinate des Scheitelpunkts genau in der Mitte befindet. Unsere beiden Nullstellen waren x_1=0\ \wedge x_2=56. Also muss der Scheitelpunkt genau in der Mitte bei x=28 liegen. Diesen Wert können wir dann einfach in unsere Ausgangsfunktion einsetzen, um die y-Koordinate und damit auch die Höhe zu bestimmen:

    \[f\left(28\right)=-0,125\cdot {28}^2+7\cdot 28=98\]

Wir sehen, dass wir auf diesem Wege auf den exakt gleichen Wert kommen.
Schaut euch die PLaylist zum Thema Gleichungen lösen an!

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