Potenzen und Potenzgesetze

Potenzten bestehen aus einer Basis und aus einem Exponenten (Hochzahl), z.B.: {\mathrm{2}}^{\mathrm{4}}\mathrm{=2}\mathrm{\bullet }\mathrm{2}\mathrm{\bullet }\mathrm{2}\mathrm{\bullet }\mathrm{2}. Der Exponent 4 gibt an, wie oft die Basis 2 mit sich selbst multipliziert werden muss.

Daniels Einführungsvideo zum Thema Potenz, Basis und Exponent

Potenz, Potenzen, Basis, Exponent, Grundlagen, Nachhilfe online | Mathe by Daniel Jung

 

Potenzgesetze

Potenzen mit gleicher Basis

Zwei Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Basis beibehält und die Exponenten addiert:

    \[{\mathrm{a}}^{\mathrm{m}}\mathrm{\cdot }{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}\mathrm{=}{\mathrm{a}}^{\mathrm{m+n}}\]

Beispiel:  {\mathrm{x}}^{\mathrm{3}}\mathrm{\cdot }{\mathrm{x}}^{\mathrm{4}}\mathrm{=}{\mathrm{x}}^{\mathrm{3+4}}\mathrm{=}{\mathrm{x}}^{\mathrm{7}}

Zwei Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Basis beibehält und die Exponenten subtrahiert:

    \[{\mathrm{a}}^{\mathrm{m}}\mathrm{\ :}{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}\mathrm{=}\frac{a^m}{a^n}\mathrm{=}{\mathrm{a}}^{\mathrm{m-n}}\]

Beispiel: {\mathrm{x}}^{\mathrm{5}}\mathrm{:}{\mathrm{x}}^{\mathrm{3}}\mathrm{=}{\mathrm{x}}^{\mathrm{5-3}}\mathrm{=}{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}

Schau dir vertiefend das Lernvideo zum Thema Potenzgesetze an!

Potenzgesetze, multiplizieren, dividieren, gleiche Basis, potenzieren | Mathe by Daniel Jung

 

Potenzen mit gleichem Exponenten

Zwei Potenzen mit unterschiedlicher Basis und mit gleichem Exponenten dürfen nach folgender Regel multipliziert werden:

    \[{\mathrm{a}}^{\mathrm{m}}\mathrm{\cdot }{\mathrm{b}}^{\mathrm{m}}\mathrm{=}{\left(\mathrm{a}\mathrm{\cdot }\mathrm{b}\right)}^{\mathrm{m}}\]

Beispiel: {\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}\mathrm{\cdot }{\mathrm{3}}^{\mathrm{3}}\mathrm{=}{\left(\mathrm{2}\mathrm{\cdot }\mathrm{3}\right)}^{\mathrm{3}}\mathrm{=}{\mathrm{6}}^{\mathrm{3}}\mathrm{=216}

Zwei Potenzen mit unterschiedlicher Basis und mit gleichem Exponenten dürfen nach folgender Regel dividiert werden:

{\mathrm{a}}^{\mathrm{m}}\mathrm{:}{\mathrm{b}}^{\mathrm{m}}\mathrm{=}{\left(\mathrm{a\ :b}\right)}^{\mathrm{m}} bzw. \frac{a^m}{b^m}\mathrm{=}{\left(\frac{a}{b}\right)}^m

Beispiel: {\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}\mathrm{:}{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}{\mathrm{(6:3)}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=4}

 

Außerdem gilt:

Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert:

    \[{\left({\mathrm{a}}^{\mathrm{m}}\right)}^{\mathrm{n}}\mathrm{=}{\mathrm{a}}^{\mathrm{m}\mathrm{\cdot }\mathrm{n}}\]

Beispiel: {\left({\mathrm{2}}^2\right)}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}\mathrm{\cdot }\mathrm{2}}\mathrm{=}{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}}\mathrm{=16\ }

Potenzen mit negativen Exponenten können auch als Bruch dargestellt werden:

    \[{\mathrm{a}}^{\mathrm{-}\mathrm{n}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}}\]

Beispiel: {\mathrm{2}}^{\mathrm{-}\mathrm{3}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}

 

Hier findest du verschiedene Lernvideos zum Thema Potenzen

Playlist: Potenzen, Potenzgesetze