Prozentrechnung

Die meisten Schüler bekommen die Prozentrechnung unter Anwendung von drei verschiedenen Formeln vermittelt. Im Rahmen dieser Formeln spielen die drei folgenden Begriffe, einschließlich ihrer Abkürzungen, in der Prozentrechnung eine zentrale Rolle:

  • Grundwert G
  • Prozentwert W
  • Prozentsatz p

Dazu gehören außerdem die drei folgenden Formeln:

\textrm{Grundwert} (G)&=\frac{\textrm{Prozentwert} (W)\ \cdot \ 100}{\textrm{Prozentsatz} (p)} \\ \\ \textrm{Prozentwert} (W)&=\frac{\textrm{Grundwert} (G)\ \cdot \ \textrm{Prozentsatz} (p)}{100} \\ \\ \textrm{Prozentsatz} (p)&=\frac{\textrm{Prozentwert} (W)\ \cdot \ 100}{\textrm{Grundwert} (G)}

Die folgenden Aufgaben sollen die obenstehenden Formeln verdeutlichen und kurz zeigen, wie diese angewendet werden. Denkt bei eurem Antwortsatz immer an die Einheiten!
 

Beispielaufgabe – Prozentwert berechnen

1. Berechne 10 Prozent von 500 kg. Bei dieser Aufgabe ist der Prozentwert W gesucht. Wir verwenden also unsere Formel für den Prozentwert und erhalten:

    \[\textrm{Prozentwert} (W)=\frac{\textrm{Grundwert} (G)\cdot \textrm{Prozentsatz}(p)}{100}=\frac{500\cdot 10}{100}=\frac{5000}{100}=50\ kg\]

An dieser Stelle ist es unter Umständen einfacher und in jedem Fall schneller, 10% von 500 kg auf eine andere Art und Weise zu berechnen. Dazu machen wir uns klar, dass der folgende Zusammenhang gilt:

    \[10\%=\frac{10}{100}=0,1. \]

Mit Hilfe dieses Wissens berechnen wir jetzt: 0,1\cdot 500\ kg=50\ kg.

Ihr dürft natürlich selber entscheiden, welcher Rechenweg euch mehr zusagt. Welchen der beiden Wege ihr letztendlich benutzt spielt in der Prüfung keine Rolle.

2. Wie viel Prozent sind 60 cm von 300 cm? Wir suchen den Prozentsatz und berechnen mit der entsprechenden Formel:

    \[p=\frac{W\cdot 100}{G}=\frac{60\cdot 100}{300}=\frac{6000}{300}=20\ \%\]

Antwort: 60cm sind 20 Prozent von 300cm.
 

Schau dir zur Wiederholung zum Thema Prozentrechnung folgendes Erklärvideo an.

Prozentrechnung, Dreisatz, Hilfe in Mathe, einfach erklärt, Nachhilfe online | Mathe by Daniel Jung

 

Beipsielaufgabe – Grundwert berechnen

Zur Erinnerung, die Formel um den Grundwert zu berechnen lautet: \textrm{Grundwert} (G)&=\frac{\textrm{Prozentwert} (W)\ \cdot \ 100}{\textrm{Prozentsatz} (p)}

Eine ebenso wichtige Rolle in der Prozentrechnung spielen die Aufgaben zum vermehrten und zum verminderten Grundwert. Auch dazu wollen wir uns jeweils eine Aufgabe angucken.

Der Preis einer Hose wurde um 25 Prozent erhöht und beträgt jetzt 200 €. Wie hoch war der ursprüngliche Preis der Hose?

Hier müssen wir berücksichtigen, dass der Grundwert bereits um 25 Prozent erhöht wurde und unser Prozentwert demnach 25 Prozent mehr ausmacht. Das bedeutet, dass unser Prozentwert 125% entspricht. Gesucht ist der ursprüngliche Preis unserer Hose, also der Grundwert. Wir setzen unsere entsprechenden Werte in die Formel ein und erhalten:

    \[G=\frac{W\cdot 100}{p}=\frac{200\cdot 100}{125}=\frac{20000}{125}=160\ \textrm{€}\]

Antwort: Der ursprüngliche Preis unserer Hose betrug also 160€.

Prozentrechnung, vermehrter, vermindeter Grundwert mit Dreisatz | Mathe by Daniel Jung

 

Beipsielaufgabe – Verminderter Grundwert

1) Aufgabenstellung: Der Preis einer Hose wurde um den Prozentsatz von 20% gesenkt und beträgt jetzt 120€. Wie hoch war der ursprüngliche Preis der Hose?

Unser Grundwert wurde um 20 Prozent reduziert. Der jetzt übriggebliebene Prozentwert entspricht also 100\%-20\%=80\%. Gesucht ist also wieder unser ursprünglicher Grundwert. Wir setzen die uns bekannten Werte in die Formel ein und erhalten:

    \[G=\frac{W\cdot 100}{p}=\frac{120\cdot 100}{80}=\frac{12000}{80}=150\ \textrm{€}\]

Antwort: Ursprünglich kostete die Hose also 150€.

2) Aufgabenstellung: Es sind bereits 20 m eines Weges gepflastert. Das sind 40% der Gesamtlänge. Welche Gesamtlänge hat der Weg? In diesem Fall ist der Grundwert gesucht. Wir verwenden die uns bekannte Formel und erhalten:

    \[G=\frac{W\ \cdot \ 100}{p}=\frac{20\ \cdot \ 100}{40}=\frac{2000}{40}=50m\]

Antwort: Der Weg hat eine Gesamtlänge von 50m.

 

Beipsielaufgabe – Prozentsatz berechnen

Um den Prozentsatz zu berechnen, nutzen wir folgende Formel: \textrm{Prozentsatz} (p)&=\frac{\textrm{Prozentwert} (W)\ \cdot \ 100}{\textrm{Grundwert} (G)}

    1) Aufgabenstellung: Wie viel Prozent sind 60 cm von 300 cm? Wir suchen den Prozentsatz und berechnen mit der entsprechenden Formel:

    \[p=\frac{W\cdot 100}{G}=\frac{60\cdot 100}{300}=\frac{6000}{300}=20\ \%\]

Antwort: Der Prozentsatz beträgt 20 Prozent.

Prozentrechnung angewendet: Zinsrechnung

Das Thema Zinsrechnung kann äquivalent zum Thema Prozentrechnung angewendet werden. Dazu wollen wir uns die folgenden Zusammenhänge klarmachen:

Zinsrechnung

Unter dieser Voraussetzung gelten die nachstehenden Formeln:

    \[K=\frac{Z\cdot 100}{p} \ \ \ \ \ Z=\frac{K\cdot p}{100} \ \ \ \ \ p=\frac{Z\cdot 100}{K}\]

Des Weiteren muss berücksichtigt werden, dass in der Zinsrechnung ein Zinsjahr immer 360 Tage hat. Daraus folgt, dass ein Zinsmonat 30 Tage hat. Sollte in der Aufgabenstellung kein anderslautender Hinweis vorhanden sein, dürft ihr davon ausgehen, dass die eben genannten Zeiträume gelten. Macht euch auch hier bewusst, dass es bei der Zinsrechnung, ebenso wie bei der Prozentrechnung, möglich ist, die Aufgaben unter der Zuhilfenahme des Dreisatzes zu lösen.

 

Zinsrechnung – Kapital berechnen

Ein Sparer bekommt am Ende eines Jahres Zinsen in Höhe von 100 € ausgezahlt. Der Zinssatz beträgt 5%. Welche Summe hat der Sparer zu Beginn des Jahres angelegt?

Wir setzen unsere Werte in die Formel zur Berechnung des Kapitals ein und erhalten:

    \[K=\frac{Z\cdot 100}{p}=\frac{100\cdot 100}{5}=\frac{10000}{5}=2000\ \textrm{€}\]

Der Sparer hat zu Beginn des Jahres also 2000 € angelegt.

 

Zinsrechnung – Zinsen berechnen

Ein Schüler bringt sein Weihnachtsgeld in Höhe von 500€ zur Bank. Die Bank gewährt einen Zinssatz von 2,5 Prozent. Ein Jahr später möchte der Schüler wissen, über welchen Betrag er nun verfügen kann.

Wir setzen hier die uns bekannten Werte in die Formel zur Berechnung der Zinsen ein und erhalten:

    \[Z=\frac{K\cdot p}{100}=\frac{500\cdot 2,5}{100}=\frac{1250}{100}=12,50\ \textrm{€}\]

Im jetzigen Fall ist eine kleine Interpretation bzw. eine kurze Nebenrechnung von Nöten. Wir werfen einen Blick zurück auf die Frage und stellen fest, dass der Schüler gerne wissen möchte, über welchen Gesamtbetrag er nun verfügen kann. Die 12,50€ sind lediglich die Zinsen, die er für das vergangene Jahr erhalten hat. Um den Gesamtbetrag herauszufinden, müssen wir jetzt also unsere Zinsen zu dem ursprünglich vorhandenen Kapital dazu addieren:

    \[500\ \textrm{€}+12,5\ \textrm{€}=512,50\ \textrm{€}\]

Der Schüler verfügt nun also über ein Kapital von 512,50€.

Auch hier ist es möglich, durch eine kürzere Rechnung, ohne die Benutzung einer Formel zum Ziel zu gelangen. Dazu machen wir uns erneut klar, dass nicht nur die Zinsen berechnet werden sollen, sondern das gesamte, verfügbare Kapital. Unser ursprünglich vorhandenes Kapital entspricht 100 Prozent. Zu diesen 100 Prozent sollen weitere 2,5% hinzukommen. Folglich erhalten wir am Ende des Jahres also 102,5%.

102,5% in Dezimalschreibweise sind \frac{102,5}{100}=1,025.

Jetzt können wir unser Anfangskapital direkt mit unserem Wachstumsfaktor (1,025) multiplizieren und bekommen so direkt unser gewünschtes Ergebnis:

    \[500\cdot 1,025=512,50\ \textrm{€}\]

 

Berechnung des Zinssatzes

Ein Sparer hinterlegt zu Beginn eines Jahres 2500 € bei einer Bank. Am Ende erhält er 87,50 € Zinsen. Mit welchem Zinssatz wurde das Anfangskapital verzinst?

Die Formel zur Berechnung des Zinssatzes liefert:

    \[p=\frac{Z\cdot 100}{K}=\frac{87,50\cdot 100}{2500}=\frac{8750}{2500}=3,5\%\]

Das Kapital wurde mit 3,5% verzinst.

 

Unterjährige Verzinsung

In diesem Kapitel zum Thema Zinsrechnung behandeln wir Zinszeiträume, welche kürzer als ein ganzes Jahr sind, z.B. Monate und Tage. Denn nicht jeder Mensch lässt sein Geld gleich immer für ein komplettes Jahr bei der Bank liegen. Manche Menschen möchten vielleicht schon nach einem halben Jahr oder nach 45 Tagen wieder auf ihr Geld zurückgreifen. Für diese unterjährigen Zinszeiträume gelten die folgenden Formeln zur Berechnung der Zinsen:

  • Monate: Z=\frac{K\ \cdot \ p\ \cdot \ m}{100\ \cdot \ 12}\ mit m = Anzahl der Monate
  • Tage: Z=\frac{K\ \cdot \ p\ \cdot \ d}{100\ \cdot \ 360}\ \ mit d = Anzahl der Tage

Ein Sparer legt zu Beginn eines Jahres 1500 € bei einer Bank an. Die Bank gewährt einen Zinssatz von 2,5%. Wie hoch sind die Zinsen, welche innerhalb von 60 Tagen entstanden sind? Hierzu stellen wir die Überlegung an, dass 60 Tage genau ganz genau 2 Monate ausmachen.

Ihr dürft also sowohl die erste als auch die zweite Formel zur Berechnung benutzen:

    \[Z=\frac{K\cdot p\cdot m}{100\cdot 12}=\frac{1500\cdot 2,5\cdot 2}{100\cdot 12}=\frac{7500}{1200}=6,25\ \textrm{€}\ \]

oder:

Z= \frac{K\ \cdot \ p\ \cdot \ d}{100\ \cdot \ 360}=\frac{1500\ \cdot \ 2,5\ \cdot \ 60}{100\ \cdot \ 360}=\frac{225000}{36000} =6,25\ \textrm{€}

Des Weiteren gelten die folgenden Formeln zur Berechnung des Kapitals, des Zinssatzes und des Zinszeitraumes. Natürlich dürft ihr 360 durch 12 und d durch m ersetzen:

K= \frac{Z\ \cdot \ 100\ \cdot \ 360}{p\ \cdot \ d} oder K= \frac{Z\ \cdot \ 100\ \cdot \ 12}{p\ \cdot \ m}

p= \frac{Z\ \cdot \ 100\ \cdot \ 360}{K\ \cdot \ d} oder p= \frac{Z\ \cdot \ 100\ \cdot \ 12}{K\ \cdot \ m}

d= \frac{Z\ \cdot \ 100\ \cdot \ 360}{K\ \cdot \ p} oder m= \frac{Z\ \cdot \ 100\ \cdot \ 12}{K\ \cdot \ p}

 

Beispielaufgabe Prozentrechnung

Eine Dose mit 125g Fruchtgummi kostet 1,50€. Ein Discounter wirbt mit folgendem Plakat:

Angebot! 125g + 30% mehr Inhalt für nur 1,99€

  1. Berechne, wie viel Gramm Fruchtgummi im Angebot verkauft werden.
  2. Ist das Angebot im Vergleich zu vorher günstiger? Begründe Deine Entscheidung.

Mathe ZAP Vorbereitung Aufgaben + Lösungen

Hilfreiches Lernvideo zum Thema Zinsrechnung

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