Prozentrechnung

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Prozentrechnung, Dreisatz, Hilfe in Mathe, einfach erklärt, Nachhilfe online | Mathe by Daniel Jung

Vorweg muss gesagt werden, dass es grundsätzlich möglich ist, alle Aufgaben der Prozentrechnung ebenfalls mit dem Dreisatz zu lösen. Dazu wollen wir uns ein Beispiel angucken.

Wir möchten gerne wissen, wie viel Prozent 70 € von 250 € sind? Wir entnehmen dem Text, dass unsere 250 € 100% entsprechen. Wir erstellen erneut eine Dreisatztabelle:

prozentrechnung

Zuerst berechnen wir, wie viel Prozent 10 € von 250 € sind und teilen auf beiden Seiten unserer Tabelle durch 25:

prozentrechnung-euro

10 € von 250 € sind also 4%. Im nächsten Schritt berechnen wir, wie viel Prozent 70 € von 250 €, indem wir auf beiden Seiten unserer Tabelle mit 7 multiplizieren:

Prozentrechnung Ergebnis

70 € von 250 € sind demnach also 28%.

Die meisten Schüler bekommen die Prozentrechnung jedoch unter Anwendung von drei verschiedenen Formeln vermittelt. Im Rahmen dieser Formeln spielen die drei folgenden Begriffe, einschließlich ihrer Abkürzungen, in der Prozentrechnung eine zentrale Rolle:

  • Grundwert G
  • Prozentwert W
  • Prozentsatz p

Dazu gehören außerdem die drei folgenden Formeln:

    \[G=\frac{W\ \cdot \ 100}{p} \ \ \ \ \ W=\frac{G\ \cdot \ p}{100}  \ \ \ \ \ p=\frac{W\ \cdot \ 100}{G}\]

Die folgenden Aufgaben sollen die obenstehenden Formeln verdeutlichen und kurz zeigen, wie diese angewendet werden. Denkt bei eurem Antwortsatz immer an die Einheiten!

 

Beispielaufgabe

1. Berechne 10% von 500 kg. Bei dieser Aufgabe ist der Prozentwert Wir verwenden also unsere Formel für  und erhalten:

    \[W=\frac{G\cdot p}{100}=\frac{500\cdot 10}{100}=\frac{5000}{100}=50\ kg\]

An dieser Stelle ist es unter Umständen einfacher und in jedem Fall schneller, 10% von 500 kg auf eine andere Art und Weise zu berechnen. Dazu machen wir uns klar, dass der folgende Zusammenhang gilt:

    \[10\%=\frac{10}{100}=0,1. \]

Mit Hilfe dieses Wissens berechnen wir jetzt: 0,1\cdot 500\ kg=50\ kg.

Ihr dürft natürlich selber entscheiden, welcher Rechenweg euch mehr zusagt. Welchen der beiden Wege ihr letztendlich benutzt spielt in der Prüfung keine Rolle.

2. Es sind bereits 20 m eines Weges gepflastert. Das sind 40% der Gesamtlänge. Welche Gesamtlänge hat der Weg? In diesem Fall ist der Grundwert gesucht. Wir verwenden die uns bekannte Formel und erhalten:

G=\frac{W\ \cdot \ 100}{p}=\frac{20\ \cdot \ 100}{40}=\frac{2000}{40} =50\ m

3. Wie viel Prozent sind 60 cm von 300 cm? Wir suchen den Prozentsatz und berechnen mit der entsprechenden Formel:

    \[p=\frac{W\cdot 100}{G}=\frac{60\cdot 100}{300}=\frac{6000}{300}=20\ \%\]

 

Prozentrechnung – Vermehrter und verminderter Grundwert

Eine ebenso wichtige Rolle spielen die Aufgaben zum vermehrten und zum verminderten Grundwert. Auch dazu wollen wir uns jeweils eine Aufgabe angucken.

Der Preis einer Hose wurde um 25% erhöht und beträgt jetzt 200 €. Wie hoch war der ursprüngliche Preis der Hose?

Hier müssen wir berücksichtigen, dass der Grundwert bereits um 25% erhöht wurde und unser Prozentwert demnach 25% mehr ausmacht. Das bedeutet, dass unser Prozentwert 125% entspricht. Gesucht ist der ursprüngliche Preis unserer Hose, also der Grundwert. Wir setzen unsere entsprechenden Werte in die Formel ein und erhalten:

    \[G=\frac{W\cdot 100}{p}=\frac{200\cdot 100}{125}=\frac{20000}{125}=160\ \textrm{€}\]

Der ursprüngliche Preis unserer Hose betrug also 160 €.

Prozentrechnung, vermehrter, vermindeter Grundwert mit Dreisatz | Mathe by Daniel Jung

 

Prozentrechnung – Verminderter Grundwert

Der Preis einer Hose wurde um 20% gesenkt und beträgt jetzt 120 €. Wie hoch war der ursprüngliche Preis der Hose?

Unser Grundwert wurde um 20% reduziert. Der jetzt übriggebliebene Prozentwert entspricht also 100\%-20\%=80\%. Gesucht ist also wieder unser ursprünglicher Grundwert. Wir setzen die uns bekannten Werte in die Formel ein und erhalten:

    \[G=\frac{W\cdot 100}{p}=\frac{120\cdot 100}{80}=\frac{12000}{80}=150\ \textrm{€}\]

Ursprünglich kostete die Hose also 150 €.

Prozentrechnung, vermehrter, vermindeter Grundwert mit Dreisatz (Ergänzung) | Mathe by Daniel Jung