Quadratische Funktionen

Schaut euch zu Beginn das Einführungsvideo zu Parabeln und quadratischen Funktionen von Daniel an!

Parabeln, Quadratische Funktionen,Übersicht,Scheitelpunkt,Stauchung,Streckung | Mathe by Daniel Jung

 

Was sind quadratische Funktionen?

Der Graph von quadratischen Funktionen ist immer eine Parabel. Zu Beginn wollen wir uns einmal die sogenannte Normalparabel f\left(x\right)=x^2 angucken:

Quadratische Gleichungen Parabel

Wir sehen, dass unsere Normalparabel ihren Scheitelpunkt im Punkt (0|0) hat. Der Scheitelpunkt ist der tiefste oder höchste Punkt einer Parabel. Diese Normalparabel können wir auf verschiedene Arten und Weisen transformieren (verändern oder manipulieren). Das bedeutet, dass wir:

  • ihren Scheitelpunkt in x-Richtung verschieben können (nach links oder nach rechts) oder
  • in y-Richtung verschieben (nach oben oder nach unten)
  • Außerdem können wir sie strecken (schmaler machen) oder stauchen (breiter machen) oder
  • wir können sie an der x-Achse spiegeln, so dass ihre Öffnung nach unten zeigt.

Verschiebung in x-Richtung

Die Verschiebung in x-Richtung können wir in unserer Funktionsgleichung wie folgt berücksichtigen. Dazu werfen wir einen Blick auf das nachfolgende Koordinatensystem.

Verschiedung Parabel / quadratische Gleichungen

Der Scheitelpunkt dieser Parabel und alle anderen Punkte wurden ausgehend von der Normalparabel (hier: g\left(x\right)=x^2) um 2 Einheiten nach rechts verschoben.

Wenn wir einen Blick auf die Funktionsgleichung werfen, sehen wir, dass sie wie folgt lautet:

    \[f\left(x\right)={(x-2)}^2\]

Eine Verschiebung in x-Richtung kann man immer daran erkennen, dass der Wert, um welchen die Parabel verschoben wurde, mit umgekehrten Vorzeichen in der Klammer auftaucht.

Dazu wollen wir uns ebenfalls eine Parabel angucken, welche nach links verschoben wurde. Die Funktionsgleichung dieser Parabel lautet:

    \[f\left(x\right)={(x+2)}^2\]

Die Parabel wurde um 2 Einheiten nach links verschoben. Das erkennen wir daran, dass die -2 in unserer Gleichung innerhalb der Klammer mit einem umgekehrten Vorzeichen auftaucht.

Parabel verschieben / quadratische Funktionen

 

Verschiebung in y-Richtung

Die Verschiebung in y-Richtung erkennt ihr daran, dass der Wert, um den die Parabel in y-Richtung verschoben wurde ohne Klammer mit dem korrekten Vorzeichen angehängt wird.

Betrachten wir die untenstehende Parabel. Diese Parabel wurde um 2 Einheiten nach oben verschoben.

quadratische Funktionen Verschiebung

Die zugehörige Funktionsgleichung muss also f\left(x\right)=x^2+2 lauten.

Als nächstes wollen wir eine Parabel angucken, welche nach unten verschoben wurde.

Quadratische Funktionen Verschiebung nach unten

Wir erkennen wieder an unserer Funktionsgleichung f\left(x\right)=x^2-2, dass unsere Parabel nach unten verschoben wurde.

Natürlich ist es auch möglich, sowohl eine Verschiebung in x-Richtung als auch eine Verschiebung in y-Richtung gleichzeitig durchzuführen. Dazu betrachten wir die folgende Parabel.

Verschiebung quadratische Funktionen rechts

Diese Parabel wurde um 2 Einheiten nach rechts und um 2 Einheiten nach unten verschoben. Die Funktionsgleichung lautet: f\left(x\right)={(x-2)}^2-2

In der Klammer erkennen wir die Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts und hinter der Klammer erkennen wir die Verschiebung um 2 Einheiten nach unten. Eine Funktionsgleichung, welche in der obigen Form vorliegt, wird Scheitelpunktform genannt, da es direkt möglich ist die Koordinaten des Scheitelpunktes abzulesen. In unserem Fall also S(2|-2).

Streckung/Stauchung

Wenn wir eine Parabel strecken oder stauchen wollen, müssen wir die Funktionen mit einem Faktor a multiplizieren.

Aus f\left(x\right)=x^2 wird dann f\left(x\right)=a\cdot x^2. Dabei gelten die folgenden Regeln:

  •  1<a: Streckung
  •  0<a<1: Stauchung

Der Faktor a gibt also an, ob es sich um eine Streckung oder um eine Stauchung handelt. Der Faktor a befindet sich entweder direkt vor dem x^2 oder, falls unsere Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vorliegen sollte, direkt vor der Klammer. Dazu wollen wir uns den folgenden Sachverhalt kurz vor Augen halten.

Die Normalparabel f\left(x\right)=x^2 hat den Faktor a=1. Diesen schreiben wir aus Gründen der mathematischen Faulheit aber nicht hin. Die Normalparabel ist also weder gestreckt noch gestaucht.

quadratische Funktionen Streckung

Ebenso ist unsere Parabel mit der Funktionsgleichung f\left(x\right)={(x-2)}^2-2 weder gestreckt noch gestaucht, da der Faktor a direkt vor der Klammer ebenfalls den Wert a=1 hat.

Eine gestreckte Parabel könnte die folgende Gleichung haben:

    \[g\left(x\right)=2{(x-2)}^2-2\]

Wir erkennen, dass für unseren Faktor a jetzt a=2 gilt. Da a größer als 1 ist, müsste die Parabel gestreckt werden. Dazu betrachten wir die die Funktionen f(x)={\left(x-2\right)}^2-2 und g(x) in der nebenstehenden Abbildung. Wir sehen, dass unsere Parabel g im Verhältnis zur Parabel f wesentlich schmaler aussieht. Sie ist also gestreckt.

Im Gegensatz dazu wollen wir uns auch eine gestauchte Parabel angucken. Wir betrachten die nachfolgende Darstellung.

quadratische Funktionen Stauchung

Die Funktionsgleichungen unserer beiden Parabeln lauten:

    \[f\left(x\right)={(x-2)}^2-2\]

und 

    \[g\left(x\right)=0,5{(x-2)}^2-2\]

Wir sehen, dass unsere Parabel g breiter ist als unsere Parabel f. Sie ist also gestaucht.

Spiegelung an der x-Achse

Wir erkennen eine an der x-Achse gespiegelte (nach unten geöffnete) Parabel daran, dass der Faktor a negativ ist. Dazu betrachten wir die folgende Darstellung:quadratische Funktionen Spiegelung

Die Funktionsgleichung unserer Parabel lautet f\left(x\right)=-2{\left(x-2\right)}^2-2. Der Faktor a hat den Wert a=-2, er ist also negativ. Insgesamt wurden an dieser Parabel also die folgenden Transformationen durchgeführt:

  • Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts
  • Verschiebung um 2 Einheiten nach unten
  • Streckung mit dem Faktor a=2
  • Spiegelung an der x-Achse (Öffnung zeigt nach unten)

Nullstellen einer Parabel

Die Nullstellen (Schnittpunkte mit der -Achse) kann man mit den in den vorherigen Kapiteln angesprochenen Verfahren herausfinden. Welches Verfahren am ehesten geeignet ist, hängt natürlich davon ab, in welcher Form die Funktionsgleichung angegeben ist. Macht euch an dieser Stelle bitte klar, dass eine Parabel entweder zwei Nullstellen, eine oder eventuell sogar keine Nullstelle besitzt.

Daniel erklärt euch die Nullstellen einer Parabel nochmal im Lernvideo.

Nullstellen bei quadratischen Funktionen, Parabeln, Beispiele | Mathe by Daniel Jung

Allgemeine Form und Scheitelpunktform

Die Funktionsgleichungen von Parabeln können in zwei verschiedenen Formen vorliegen:

Allgemeine Form: f\left(x\right)=a\cdot x^2+b\cdot x+c

Scheitelpunktform: f\left(x\right)=a\cdot {\left(x-d\right)}^2+e

Man kann die allgemeine Form in die Scheitelpunktform und die Scheitelpunktform in die allgemeine Form überführen.

Schau dir das Lernvideo zum Thema Scheitepunkt erkennen an!

Scheitelpunkt erkennen in langsam, Quadratische Funktionen, Parabeln | Mathe by Daniel Jung

Allgemeine Form in Scheitelpunktform

Wir gehen davon aus, dass wir die folgende Funktionsgleichung vorliegen haben. Im ersten Schritt klammern wir den Faktor a vor dem x^2  (hier also die 2)  aus und erhalten:

    \[f\left(x\right)=2x^2+4x-3=2(x^2+2x-1,5)\]

Als nächstes wenden wir die erste binomische Formel auf die ersten drei Summanden an und erhalten:

    \[f\left(x\right)=2[{\left(x+1\right)}^2-2,5]\]

Jetzt multiplizieren wir noch den Faktor a mit der konstanten Zahl am Ende der Funktionsgleichung:

    \[f\left(x\right)=2{(x+1)}^2-5\]

Jetzt können wir erneut die Koordinaten unseres Scheitelpunkts ablesen: S\ (-1|-5).

Scheitelform/Scheitelpunktform erkennen bei quadratischen Funktionen | Mathe by Daniel Jung

 

Scheitelpunktform in die allgemeine Form

Wir gehen davon aus, dass wir die folgende Funktionsgleichung vorliegen haben:

    \[f\left(x\right)=3{(x-2)}^2+5\]

Als erstes wenden wir die zweite binomische Formel an um die Klammer aufzulösen. Denkt daran, dass der Term, der durch die Anwendung der binomischen Formel entsteht, in Klammern gesetzt werden muss.

    \[f\left(x\right)=3\left(x^2-4x+4\right)+5\]

Anschließend wird der Klammerausdruck mit dem Faktor a (hier 3) multipliziert.

    \[f\left(x\right)=3x^2-12x+12+5\]

Zum Schluss fassen wir zusammen und erhalten unsere Funktionsgleichung in allgemeiner Form:

    \[f\left(x\right)=3x^2-12x+17\]

Daniel zeigt dir, wie du die Scheitelpunktform in die allgemeine Form bringst.

Scheitelform auf Normalform durch Ausmultiplizieren,Parabeln,quadratische Fkt.| Mathe by Daniel Jung