Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras darf nur in rechtwinkligen Dreiecken angewendet werden. Dazu betrachten wir die folgende Abbildung:bil_pythagoras

Wir erkennen, dass es sich bei diesem Dreieck um einen rechtwinkliges Dreieck handelt, da wir einen rechten Winkel im Punkt A haben. Als nächstes wollen wir die Hypotenuse und die beiden Katheten identifizieren. Die Hypotenuse kann einfach dadurch identifiziert werden, dass sie dem rechten Winkel stets gegenüber liegt. Gegenüber unseres rechten Winkels liegt die Seite a. Diese ist also unsere Hypotenuse. Folglich müssen unsere beiden übrig gebliebenen Seiten die Katheten sein, nämlich b und c.

Nachdem wir also alle Seiten in unserem Dreieck identifiziert haben, gucken wir uns den eigentlichen Satz des Pythagoras an. Er lautet:

    \[{(Kathete)}^2+{(Kathete)}^2={(Hypotenuse)}^2\]

Auf unser Dreieck bezogen bedeutet das also:

    \[b^2+c^2=a^2\]

Einige von euch werden jetzt verwirrt sein und sagen, dass der Satz des Pythagoras doch immer a^2+b^2=c^2 lautet. Das wird in der Schule auch häufig so beigebracht, berücksichtigt aber nicht die Lage des rechten Winkels. Denn wie wir vorhin festgestellt haben, befindet sich die Hypotenuse immer gegenüber des rechten Winkels. In unserem Dreieck ist c aber nicht die Hypotenuse, sondern a. Macht euch dieses Vorgehen klar und berücksichtigt stets die Lage des rechten Winkels und somit auch die Lage der Hypotenuse. Danach könnt ihr den entsprechenden Satz des Pythagoras aufstellen und damit weiter rechnen.

Eine 5 m lange Leiter steht in 4 m Entfernung an eine Hauswand gelehnt.

  1. Fertige eine Skizze zu diesem Sachverhalt an.
  2. In welcher Höhe trifft die Leiter auf die Hauswand?

Wir betrachten die nachfolgende Skizze.bil_pythagoras_bsp

Die Seite a repräsentiert unsere 5\ m lange Leiter. Die Entfernung zur Hauswand beträgt c=4\ m. In diesem Dreieck gilt also:

    \[b^2+4^2=5^2\]

Diese Gleichung werden wir jetzt nach b auflösen, um die Höhe unserer Hauswand zu bestimmen:

    \[b^2+4^2=5^2 |-4^2\]

    \[b^2=5^2{-\ 4}^2\]

5^2{-\ 4}^2 rechnen wir einfach aus und erhalten:

    \[b^2=25-16\]

    \[b^2=9\]

Zum Schluss ziehen wir noch die Wurzel:

    \[b^2=9 |\sqrt{}\]

    \[b=\pm 3\]

In unserem Kontext macht die negative Lösung natürlich keinen Sinn. Eine Hauswand kann selbstverständlich nicht -3\ m hoch sein. Also lautet die Lösung für die Höhe unserer Hauswand b=3\ m.

An dieser Stelle noch ein weiterer Hinweis. Merkt euch, dass die Hypotenuse immer die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck ist. Solltet ihr also gegensätzliche Lösungen herausbekommen, müsst ihr euch die Rechnung noch mal angucken.

Der Satz des Pythagoras im gleichschenkligen und im gleichseitigen Dreieck

Man kann sowohl gleichschenklige als auch gleichseitige Dreiecke durch die Ergänzung der Höhe in zwei deckungsgleiche, rechtwinklige Dreiecke verwandeln. Dazu betrachten wir das folgende, gleichschenklige Dreieck:

bil_pythagoras1

Die beiden sogenannten Schenkel a und b sind gleich lang. Außerdem sind die beiden Basiswinkel \alpha und \beta gleich groß. Die Seite c ist die Basis.

Wenn wir jetzt die Höhe der Seite c ergänzen, erhalten wir zwei deckungsgleiche Dreiecke, in welchen der Satz des Pythagoras wieder angewendet werden darf. Denkt außerdem daran, dass die Basis c durch die Ergänzung der Höhe in zwei gleich lange Abschnitte unterteilt wird. Außerdem wird der Winkel \gamma durch die Ergänzung der Höhe ebenfalls halbiert.

bil_pythagoras2

In diesem Dreieck gelten also nach dem Satz des Pythagoras die folgenden Zusammenhänge:

h^2+{\left(\frac{c}{2}\right)}^2=a^2\ \ \  und \ \ \ h^2+{\left(\frac{c}{2}\right)}^2=b^2

Die Anwendung im gleichseitigen Dreieck funktioniert nach dem gleichen Schema. Der einzige Unterschied ist lediglich die Tatsache, dass alle Seiten gleich lang und alle drei Winkel gleich groß sind (60{}^\circ).

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Höhen- und Kathetensatz

Der Höhen- und Kathetensatz sind weitere mathematische Methoden, welche euch behilflich sein können. Im Gegensatz zum Satz des Pythagoras können in einem beliebigen Dreieck durch Einführung einer Höhe h drei weitere interessante Größen ohne Umwege berechnet werden. Wir gucken uns das folgende Dreieck an:

bil_kathetensatz

Unser ursprüngliches Dreieck, ohne die Höhe, ist kein rechtwinkliges Dreieck. Jedoch erhalten wir, dadurch, dass wir die Höhe ergänzen, zwei rechtwinklige Dreiecke. In einer solchen Konstruktion gelten die folgenden Formeln:

  • Höhensatz:  h^2=q\cdot p
  • Kathetensatz: a^2=c\cdot p und b^2=c\cdot q
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Zur Satz des Pythagoras Playlist von Daniel

Playlist: Satzgruppe des Pythagoras, Berechnungen am Dreieck, a^2+b^2=c^2