Trigonometrie

Das Thema Trigonometrie ist euch wahrscheinlich eher bekannt unter dem Namen „Sinus, Cosinus und Tangens“. Grundsätzlich kann man Sinus, Cosinus und Tangens in rechtwinkligen Dreiecken anwenden. Wir wollen nun für das unten abgebildete Dreieck die drei Winkelbeziehungen, sin, cos und tan aufstellen. Wir nehmen den Winkel \alpha als unseren Ausgangspunkt.

bil_trigonometrie

 

    \[{\mathrm{sin} \mathrm{\alphaup }\ }\mathrm{=}\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\]

    \[{\mathrm{cos} \mathrm{\alphaup }\mathrm{=}\frac{\mathrm{Ankathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}\ }\]

    \[{\mathrm{tan} \mathrm{\alphaup }\mathrm{=}\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{c}}\ }\]

Von unserem Winkel \alpha ausgesehen, ist a die Gegenkathete, weil sie dem Winkel \alpha gegenüber liegt. Die Hypotenuse liegt immer gegenüber des rechten Winkels, also ist b unsere Hypotenuse.

Von unserem Winkel \alpha ausgesehen, ist c die Ankathete, weil sie direkt an dem Winkel \alpha anliegt. Unsere Hypotenuse bleibt weiterhin die Seite b.

 

Kleine Übersicht zum Thema Trigonometrie von Daniel

Trigonometrie, Übersicht Dreiecke und Funktionen | Mathe by Daniel Jung

Man kann mit Hilfe der drei Winkelbeziehungen sowohl fehlende Seiten als auch fehlende Winkel berechnen. Wir wollen uns dazu die folgende Aufgabe angucken und alle fehlenden Komponenten berechnen.

 

Beispiel:

Berechne die fehlenden Seiten und Winkel unter der Voraussetzung, dass die folgenden Angaben vorhanden sind:

    \[b=7cm; \alpha =13{}^\circ ; \gamma =90{}^\circ \]

 

Herangehensweise:

Zuerst wollen wir eine kleine Skizze erstellen, um uns den Sachverhalt klar zu machen:

bil_trigonometrie1

In unserer Skizze sehen wir, dass uns die folgenden Komponenten fehlen: a; c und \beta. Wir beginnen mit der Berechnung unserer Seite c, also der Hypotenuse.

Es gilt: {\mathrm{cos} \left(13{}^\circ \right)=\frac{7}{c}\ }

Wir multiplizieren auf beiden Seiten der Gleichung mit c:

    \[{\mathrm{cos} \left(13{}^\circ \right)=\frac{7}{c}\ } |\cdot c\]

    \[{\mathrm{cos} \left(13{}^\circ \right)\cdot c=7\ } |\ :{\mathrm{cos} (13{}^\circ )\ }\]

 

Anschließend teilen wir durch {\mathrm{cos} \left(13{}^\circ \right)\ } und erhalten:

    \[c=\frac{7}{{\mathrm{cos} (13{}^\circ )\ }}\]

    \[c\approx 7,18\ cm\]

 

Als nächstes berechnen wir unseren Winkel \beta. Dafür gilt:

    \[{\mathrm{sin} \beta \ }=\frac{7}{7,18}\]

Merkt euch, wenn ihr Winkel berechnen wollt, dass ihr die folgenden Tastenbelegungen eures Taschenrechners benutzen müsst: {sin}^{-1},{cos}^{-1},{tan}^{-1}.

 

Also berechnen wir jetzt: \beta ={{\mathrm{sin}}^{-1} (\frac{7}{7,18})\ }\approx 77{}^\circ.

 

Ihr hättet hier auch die Möglichkeit gehabt, den fehlenden Winkel mit Hilfe des Winkelsummensatzes zu bestimmen: \beta =180{}^\circ -90{}^\circ -13{}^\circ =77{}^\circ.

 

Zuletzt wollen wir die fehlende Seite a berechnen:

    \[{\mathrm{sin} (13{}^\circ )\ }=\frac{a}{7,18}\]

Wir multiplizieren auf beiden Seiten der Gleichung mit 7,18 und erhalten:

    \[{\mathrm{sin} (13{}^\circ )\ }=\frac{a}{7,18} |\cdot 7,18\]

    \[{\mathrm{sin} (13{}^\circ )\cdot 7,18\ }=a\]

    \[1,62\approx a\]

 

Nützliches:

An dieser Stelle hättet ihr auch die Möglichkeit gehabt, die letzte fehlende Seite mit dem Satz des Pythagoras zu berechnen:

    \[a=\sqrt{{7,18}^2-7^2}\approx 1,60\]

Die Abweichung bei beiden Ergebnissen entsteht durch die vorgenommenen Rundungen.