Wie berechne ich eine Wurzel?

Was ist eine Wurzel?

Die Wurzel einer Zahl ist die Zahl, welche mit sich selber multipliziert wieder genau diese Zahl ergibt.

Die Wurzel der Zahl 4 ist 2 und -2, denn 2\cdot 2=2^2=4 und \left(-2\right)\cdot \left(-2\right)={\left(-2\right)}^2=4. Wir können ebenfalls schreiben: \sqrt{4}=\pm 2.

Merkt euch, dass es nicht möglich ist, die Wurzel einer negativen Zahl zu bestimmen. Denn es existiert keine Zahl, welche mit sich selber multipliziert eine negative Zahl ergibt.

An dieser Stelle erinnern wir uns daran, dass \left(+\right)\cdot \left(+\right)=(+) und \left(-\right)\cdot \left(-\right)=(+).

 

Wurzelgesetze

Bevor wir uns die einzelnen Wurzelgesetze genau angucken machen wir uns klar, dass der folgende Zusammenhang gilt: \sqrt{a}=\sqrt[2]{a}.

Beim Rechnen mit Wurzeln gelten die folgenden Gesetzmäßigkeiten:

    \[\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}\]

Beispiel:

\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}=\sqrt{2\cdot 8}=\sqrt{16}=\pm 4

Diese Regel besagt, dass wir das Produkt zweier Wurzeln unter einer Wurzel zusammenfassen dürfen. Achtet darauf, dass es sich bei den beiden Wurzeln auch um die gleiche Wurzel handelt. Denn im folgenden Fall dürft ihr diese Regel nicht anwenden: \sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{27}.


 

    \[\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\]

Beispiel:

\frac{\sqrt[3]{108}}{\sqrt[3]{4}}=\sqrt[3]{\frac{108}{4}}=\sqrt[3]{27}=3

Diese Regel besagt, dass ich den Quotienten zweier Wurzeln unter einer Wurzel zusammenfassen darf.


 

    \[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[{m\bullet n}]{a}\]

Beispiel:

\sqrt{\sqrt{81}}=\sqrt[2]{\sqrt[2]{81}}=\sqrt[{2\cdot 2}]{81}=\sqrt[4]{81}=3


 

    \[ ({\sqrt[n]{a})}^m=\sqrt[n]{a^m}\]

Beispiel:

{(\sqrt[3]{4})}^2=\sqrt[3]{4^2}=\sqrt[3]{16}


 

    \[\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}\]

Beispiel:

\sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}}

 

Daniel zeigt euch nochmal zur Vertiefung, was es mit Wurzeln auf sich hat.

Rechnen mit Wurzeln, Hilfe in Mathe, Nachhilfe online, einfach erklärt | Mathe by Daniel Jung

 

Teilweises Wurzelziehen

Beim teilweisen Wurzelziehen wird die Zahl unter einer Wurzel in ein Produkt zerlegt, um anschließend aus einem der beiden Faktoren oder auch aus beiden Faktoren einzeln die Wurzel ziehen zu können. Dazu gucken wir uns das folgende Beispiel an:

\sqrt{32} können wir unter Anwendung der Wurzelgesetze wie folgt zerlegen:

    \[\sqrt{32}\mathrm{=}\sqrt{16}\cdot \sqrt{2}=4\cdot \sqrt{2}\]

Wir konnten dadurch, dass wir unsere ursprüngliche Wurzel in ein Produkt zerlegt haben, unseren Wurzelterm ein Stück weit vereinfachen.

Daniel zeigt euch, wie ihr teilweise Wurzeln zieht.

Teilweise Wurzelziehen, Radizieren, Hilfe in Mathe, Nachhilfe online | Mathe by Daniel Jung

 

Weitere Videos yum Thema Wurzelrechnung findest du in Daniels Playlist.

Playlist: Wurzel, Wurzelrechnungen, Wurzelfunktionen