Zentrische Streckung, Ähnlichkeiten, Kongruenz, Strahlensätze

Auf dieser Unterseite wollen wir dir folgenden Themen erklären:

Zentrische Streckung

Bei einer zentrischen Streckung handelt es sich um eine Vergrößerung bzw. um eine Verkleinerung der Originalfigur. Ausgangspunkt jeder zentrischen Streckung ist das sogenannte Streckzentrum (Z). Zu diesem Zweck wollen wir uns die unten angezeigte Figur einmal genauer angucken.

bil_zentrstreckung

Bei unserer Figur handelt es sich um ein Dreieck. Das Streckzentrum (Z) liegt, wie zu sehen, links. Wir wollen dieses Dreieck jetzt zuerst einmal vergrößern. An diesem Punkt kommt der sogenannte Streckungsfaktor k ins Spiel. Er gibt an, mit welchem Faktor ich die Figur vergrößern muss.

Wir wählen in unserem Fall k\mathrm{=2}. Das bedeutet, dass wir die Originalstrecken mit dem Faktor 2 vergrößern oder anders ausgedrückt, wir verdoppeln die Längen der Originalstrecken. Hinweis: Eine Strecke ist die Verbindung zwischen zwei Punkten. Beispiel: \overline{ZA} ist die Strecke zwischen den Punkten Z und A.

Unsere beiden Strecken, welche vom Streckzentrum ausgehen sind: \overline{ZA}\mathrm{=2\ cm} und \overline{ZB}\mathrm{=2,24\ cm.} Als nächstes berechnen wir unsere neuen Streckenlängen. Wir multiplizieren unsere Originalstrecken also mit dem Faktor 2 und erhalten:

\overline{ZA}\cdot k\mathrm{=}\mathrm{2\ cm}\mathrm{\cdot }\mathrm{2=4\ cm=}\overline{ZA'} und \overline{ZB}\cdot k\mathrm{=2,24\ cm}\mathrm{\cdot }\mathrm{2=4,48\ cm=}\overline{ZB'}

Unsere nun entstandene Figur, mit den neuen Bildpunkten A' und B' sieht aus wie folgt:

bil_zentrstreckung1

Die Verbindung von Z zu Aund zu B ist die Originalstrecke und die Verbindung von Z zu A' und B' die Bildstrecke.

Des Weiteren wollen wir unsere ursprüngliche Figur verkleinern. Bei einer Verkleinerung liegt der Streckungsfaktor zwischen 0 und 1. Ganz allgemein merken wir uns also:

  • Vergrößerung: \mathrm{1<k}
  • Verkleinerung: \mathrm{0<k<1}

Als Streckungsfaktor unserer Verkleinerung wählen wir k\mathrm{=0,5}. Auch jetzt berechnen wir wieder unsere neu gewonnenen Strecken, indem wir die Originalstrecken mit dem Faktor 0,5 multiplizieren:

\overline{ZA}\cdot k\mathrm{=2\ cm}\mathrm{\cdot }\mathrm{0,5=1\ cm=}\overline{ZA'} und \overline{ZB}\cdot k\mathrm{=2,24\ cm}\mathrm{\cdot }\mathrm{0,5=1,12\ cm=}\overline{ZB'}

Wir können sehen, dass die beiden Bildpunkte A\mathrm{',\ }B\mathrm{'}, jetzt innerhalb unserer alten Figur liegen und das neu entstandene Dreieck kleiner ist. Auf diesem Wege gelangen wir zu unserem nächsten wichtigen Begriff, nämlich der Begriff der Ähnlichkeit.
bil_zentrstreckung2
In diesem Video findest du Beispiele zum Thema Zentrische Streckung

Zentrische Streckung, Beispiele, Ähnlichkeitsabbildungen, Verhältnisse, Mathe by Daniel Jung

Ähnlichkeit

Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie dieselbe Gestalt haben, aber unterschiedlich groß sind. Zum Verständnis wollen uns noch einmal unsere beiden Beispiele zur zentrischen Streckung ins Gedächtnis rufen.

Die zwei neu entstandenen Dreiecke entsprachen ihrer grundliegenden Form genau der des ursprünglichen Dreiecks, der einzige Unterschied war lediglich die Größe. Wir können also sagen, dass unsere „drei“ Dreiecke aus dem vorherigen Beispiel, ähnlich zueinander sind.

Ganz allgemein können wir die folgenden Regeln aufstellen, mit denen wir überprüfen können, ob zwei Figuren ähnlich zueinander sind. Dabei muss die Division der Bildstrecke durch die Originalstrecke stets den Faktor k ergeben. k muss also stets den gleichen Wert haben. Exemplarisch dargestellt an unserem Beispiel mit den Dreiecken:

  • Vergrößerung:

\overline{ZA'}:\overline{ZA}=k \ \mathrm{\to } \ \mathrm{4\ :2=2}

\overline{ZB'}:\overline{ZB}=k \  \mathrm{\to } \ \mathrm{4,48\ :2,24=2}

\overline{A'B'}:\ \overline{AB}=k \  \mathrm{\to }\ \mathrm{2\ :1=2}

  • Verkleinerung:

\overline{ZA'}:\overline{ZA}=k\ \mathrm{\to }\ \mathrm{1\ :2=0,5}

\overline{ZB'}:\overline{ZB}=k\ \mathrm{\to }\ \mathrm{1,12\ :2,24=0,5}

\overline{A'B'}:\ \overline{AB}= k \ \mathrm{\to }\ \mathrm{0,5\ :1=0,5}

Die Streckungsfaktoren stimmen sowohl bei der Vergrößerung als auch bei der Verkleinerung überein. Wir können also sagen, dass unsere Figuren ähnlich sind.

Zur Vertiefung nochmal Daniels Video zum Thema Zentrische Streckung anschauen!

Zentrische Streckung, Beispiele, Ähnlichkeitsabbildungen, Verhältnisse, Mathe by Daniel Jung

 

Kongruenz

An dieser Stelle kommen wir zum nächsten wichtigen Punkt, den Kongruenzsätzen bei Dreiecken. Verwechselt bitte nicht die Ähnlichkeit mit der Kongruenz. Unsere Dreiecke, aus dem Beispiel oben, waren ähnlich, aber nicht kongruent. Kongruent bedeutet, dass die Figuren (z.B. zwei Dreiecke), deckungsgleich sein müssen. Sie stimmen also sowohl in ihrer Form als auch in ihrer Größe überein.

Daraus können wir ableiten, dass kongruente Figuren automatisch auch immer ähnlich zueinander sind, aber nicht umgekehrt. Im Folgenden wollen wir uns die Kongruenzsätze für Dreiecke angucken:

  • bedeutet: Seite, Seite, Seite. Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn alle ihre Seitenlängen übereinstimmen, klingt irgendwie logisch, oder!?

bil_kongruenzSSS

  • bedeutet: Seite, Winkel, Seite. Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn zwei ihrer Seitenlängen übereinstimmen und der von den beiden Seiten eingeschlossene Winkel.

bil_kongruenzSWS

  • SsW bedeutet: längere Seite (S), kürzere Seite (s), Winkel. Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn zwei ihrer Seitenlängen übereinstimmen und außerdem die Winkel, welche der längeren Seite gegenüber liegen ebenfalls gleich groß sind.

bil_kongruenzSsW

  • WSW bedeutet: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn eine ihrer Seitenlängen übereinstimmt und die anliegenden Winkel ebenfalls gleich groß sind.

    bil_kongruenzWSW

Kongruenz, Ähnlichkeit bei Dreiecken, Geometrie | Mathe by Daniel Jung

 

Strahlensätze

Wir brauchen, um die Strahlensätze anwenden zu dürfen, zwei Strahlen, welche vom Streckzentrum (Z) aus wegführen. Außerdem benötigen wir zwei parallele Geraden, welche die Strahlen in jeweils zwei Punkten schneiden. Eine Strahlensatz-Figur sieht im Prinzip genauso aus wie unsere zuvor gestreckten Dreiecke:

bil_strahlensatz

Bei dieser Strahlensatz-Figur gelten die folgenden zwei Strahlensätze:

  • Strahlensatz:  \frac{\overline{ZA}}{\overline{ZA\mathrm{'}}}\mathrm{=}\frac{\overline{ZB}}{\overline{ZB\mathrm{'}}} oder: \mathrm{\ }\frac{\overline{ZA}}{\overline{AA\mathrm{'}}}\mathrm{=}\frac{\overline{ZB}}{\overline{BB\mathrm{'}}}
  • Strahlensatz: \frac{\overline{ZA}}{\overline{AB}}\mathrm{=}\frac{\overline{ZA\mathrm{'}}}{\overline{A\mathrm{'}B\mathrm{'}}} oder: \frac{\overline{ZA}}{\overline{ZA\mathrm{'}}}\mathrm{=}\frac{\overline{AB}}{\overline{A\mathrm{'}B\mathrm{'}}}

Der erste Strahlensatz setzt also nur Abschnitte der beiden Strahlen in ein Verhältnis zueinander. Der zweite Strahlensatz setzt sowohl die Abschnitte der Strahlen als auch die parallelen Geraden in ein Verhältnis zueinander.

Dazu wollen wir die folgende Aufgabe lösen: Auf der vorderen Seite eines Flussufers werden in 2 m Entfernung vom Flussufer zwei Punkte abgesteckt \mathrm{(}A^{\mathrm{'}}und B\mathrm{')}. Diese beiden Punkte befinden sich 2 m voneinander entfernt. Außerdem werden direkt am Flussufer zwei weitere Punkte in einer Entfernung von 1 m markiert. Bestimme die Breite des Flusses \mathrm{(}\overline{ZA})?

Die folgende Skizze zeigt den genauen Aufbau:

bil_strahlensatz_bsp

Wir können jetzt sehr gut sehen, dass die Breite des Flusses durch die Strecke \mathrm{(}\overline{ZA}) definiert wird. Die beiden Uferbegrenzungen sind unsere beiden parallelen Geraden, welche die beiden Strahlen \overline{ZA\mathrm{'}} und \overline{ZB\mathrm{'}} in jeweils zwei Punkten schneiden.

Des Weiteren kennen wir die folgenden Längen:

    \[\overline{AB}\mathrm{=1\ m}\mathrm{;}\mathrm{\ }\overline{AA\mathrm{'}}\mathrm{=2\ m}\ \mathrm{;}\overline{A\mathrm{'}B\mathrm{'}}\mathrm{=2\ m}. \]

Da wir die Länge unserer zwei parallelen Geraden kennen, benutzen wir also folglich den 2. Strahlensatz. Für mehr Übersichtlichkeit lassen wir die Einheit Meter zunächst weg. Bei unserer Antwort müssen wir diese aber unbedingt angeben!

Es gilt: \frac{\overline{ZA}}{\mathrm{1\ }}\mathrm{=}\frac{\overline{ZA}\mathrm{+2\ }}{\mathrm{2\ }}

Diese Gleichung lösen wir jetzt nach \overline{ZA} auf. Wir multiplizieren als erstes die gesamte Gleichung mit 2.

    \[\frac{\overline{ZA}}{1\ }=\frac{\overline{ZA}+2\ }{2\ }\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |}\mathrm{\cdot }\mathrm{2\ }\]

    \[\mathrm{2}\cdot \overline{ZA}=\overline{ZA}+2\mathrm{\ }\]

Die Multiplikation mit 2 lässt den Bruch auf der rechten Seite verschwinden, da sich die 2 mit der 2 kürzen lässt. Auf der linken Seite entsteht \mathrm{2}\mathrm{\cdot }\overline{ZA}, die 1 im Nenner muss nicht weiter hin geschrieben werden, da sich der Wert nicht ändert, wenn wir irgendetwas durch 1 teilen (z.B. \mathrm{2\ :1=2}).

Als nächstes bringen wir \overline{ZA} auf eine Seite der Gleichung:

    \[2\cdot \overline{ZA}=\overline{ZA}+2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-\overline{ZA}\]

    \[2\cdot \overline{ZA}-\overline{ZA}=2\ \]

    \[\overline{ZA}=2\ \]

Die Breite des Flusses beträgt also \mathrm{2\ m}.

Bitte passt hier im letzten Schritt gut auf, denn \mathrm{2}\cdot \overline{ZA}-\overline{ZA}=2\cdot \overline{ZA}-1\cdot \overline{ZA}=1\cdot \overline{ZA}=\overline{ZA} und nicht \mathrm{2}\mathrm{\cdot }\overline{ZA}-\overline{ZA}\mathrm{=2}. Denkt daran, dass vor einer alleinstehenden Variablen (z.B. x oder wie hier \overline{ZA}) immer eine gedachte 1 dabei ist (z.B. \mathrm{x=1}\mathrm{\cdot }\mathrm{x} oder in unserem Beispiel \mathrm{\ }\overline{ZA}=1\cdot \overline{ZA}).

Strahlensätze nochmals von Daniel erklärt.

Strahlensätze, 1./2. Strahlensatz, Streckenverhältnisse, Zentrum, Parallelen, Strahl

Hier findest du die komplette Playlist zum Thema Strahlensatz!

Playlist: Strahlensätze, Ähnlichkeit, Zentrische Streckung