Zinsrechnung

 

Das Thema Zinsrechnung kann äquivalent zum Thema Prozentrechnung angewendet werden. Dazu wollen wir uns die folgenden Zusammenhänge klarmachen:

  Prozentrechnung                Zinsrechnung

Unter dieser Voraussetzung gelten die nachstehenden Formeln:

    \[K=\frac{Z\cdot 100}{p} \ \ \ \ \ Z=\frac{K\cdot p}{100} \ \ \ \ \ p=\frac{Z\cdot 100}{K}\]

Des Weiteren muss berücksichtigt werden, dass in der Zinsrechnung ein Zinsjahr immer 360 Tage hat. Daraus folgt, dass ein Zinsmonat 30 Tage hat. Sollte in der Aufgabenstellung kein anderslautender Hinweis vorhanden sein, dürft ihr davon ausgehen, dass die eben genannten Zeiträume gelten. Macht euch auch hier bewusst, dass es bei der Zinsrechnung, ebenso wie bei der Prozentrechnung, möglich ist, die Aufgaben unter der Zuhilfenahme des Dreisatzes zu lösen.

 

Zinsrechnung – Kapital berechnen

Ein Sparer bekommt am Ende eines Jahres Zinsen in Höhe von 100 € ausgezahlt. Der Zinssatz beträgt 5%. Welche Summe hat der Sparer zu Beginn des Jahres angelegt?

Wir setzen unsere Werte in die Formel zur Berechnung des Kapitals ein und erhalten:

    \[K=\frac{Z\cdot 100}{p}=\frac{100\cdot 100}{5}=\frac{10000}{5}=2000\ \textrm{€}\]

Der Sparer hat zu Beginn des Jahres also 2000 € angelegt.

 

 

Zinsrechnung – Zinsen berechnen

Ein Schüler bringt sein Weihnachtsgeld in Höhe von 500 € zur Bank. Die Bank gewährt einen Zinssatz von 2,5%. Ein Jahr später möchte der Schüler wissen, über welchen Betrag er nun verfügen kann.

Wir setzen hier die uns bekannten Werte in die Formel zur Berechnung der Zinsen ein und erhalten:

    \[Z=\frac{K\cdot p}{100}=\frac{500\cdot 2,5}{100}=\frac{1250}{100}=12,50\ \textrm{€}\]

Im jetzigen Fall ist eine kleine Interpretation bzw. eine kurze Nebenrechnung von Nöten. Wir werfen einen Blick zurück auf die Frage und stellen fest, dass der Schüler gerne wissen möchte, über welchen Gesamtbetrag er nun verfügen kann. Die 12,50 € sind lediglich die Zinsen, die er für das vergangene Jahr erhalten hat. Um den Gesamtbetrag herauszufinden, müssen wir jetzt also unsere Zinsen zu dem ursprünglich vorhandenen Kapital dazu addieren:

    \[500\ \textrm{€}+12,5\ \textrm{€}=512,50\ \textrm{€}\]

Der Schüler verfügt nun also über ein Kapital von 512,50 €.

Auch hier ist es möglich, durch eine kürzere Rechnung, ohne die Benutzung einer Formel zum Ziel zu gelangen. Dazu machen wir uns erneut klar, dass nicht nur die Zinsen berechnet werden sollen, sondern das gesamte, verfügbare Kapital. Unser ursprünglich vorhandenes Kapital entspricht 100%. Zu diesen 100% sollen weitere 2,5% hinzukommen. Folglich erhalten wir am Ende des Jahres also 102,5%.

102,5% in Dezimalschreibweise sind \frac{102,5}{100}=1,025.

Jetzt können wir unser Anfangskapital direkt mit unserem Wachstumsfaktor (1,025) multiplizieren und bekommen so direkt unser gewünschtes Ergebnis:

    \[500\cdot 1,025=512,50\ \textrm{€}\]

 

 

Berechnung des Zinssatzes

Ein Sparer hinterlegt zu Beginn eines Jahres 2500 € bei einer Bank. Am Ende erhält er 87,50 € Zinsen. Mit welchem Zinssatz wurde das Anfangskapital verzinst?

Die Formel zur Berechnung des Zinssatzes liefert:

    \[p=\frac{Z\cdot 100}{K}=\frac{87,50\cdot 100}{2500}=\frac{8750}{2500}=3,5\%\]

Das Kapital wurde mit 3,5% verzinst.

 

 

Unterjährige Verzinsung

In diesem Kapitel zum Thema Zinsrechnung behandeln wir Zinszeiträume, welche kürzer als ein ganzes Jahr sind, z.B. Monate und Tage. Denn nicht jeder Mensch lässt sein Geld gleich immer für ein komplettes Jahr bei der Bank liegen. Manche Menschen möchten vielleicht schon nach einem halben Jahr oder nach 45 Tagen wieder auf ihr Geld zurückgreifen. Für diese unterjährigen Zinszeiträume gelten die folgenden Formeln zur Berechnung der Zinsen:

  • Monate: Z=\frac{K\ \cdot \ p\ \cdot \ m}{100\ \cdot \ 12}\ mit m = Anzahl der Monate
  • Tage: Z=\frac{K\ \cdot \ p\ \cdot \ d}{100\ \cdot \ 360}\ \ mit d = Anzahl der Tage

Ein Sparer legt zu Beginn eines Jahres 1500 € bei einer Bank an. Die Bank gewährt einen Zinssatz von 2,5%. Wie hoch sind die Zinsen, welche innerhalb von 60 Tagen entstanden sind? Hierzu stellen wir die Überlegung an, dass 60 Tage genau ganz genau 2 Monate ausmachen.

Ihr dürft also sowohl die erste als auch die zweite Formel zur Berechnung benutzen:

    \[Z=\frac{K\cdot p\cdot m}{100\cdot 12}=\frac{1500\cdot 2,5\cdot 2}{100\cdot 12}=\frac{7500}{1200}=6,25\ \textrm{€}\ \]

oder:

Z= \frac{K\ \cdot \ p\ \cdot \ d}{100\ \cdot \ 360}=\frac{1500\ \cdot \ 2,5\ \cdot \ 60}{100\ \cdot \ 360}=\frac{225000}{36000} =6,25\ \textrm{€}

Des Weiteren gelten die folgenden Formeln zur Berechnung des Kapitals, des Zinssatzes und des Zinszeitraumes. Natürlich dürft ihr 360 durch 12 und d durch m ersetzen:

K= \frac{Z\ \cdot \ 100\ \cdot \ 360}{p\ \cdot \ d} oder K= \frac{Z\ \cdot \ 100\ \cdot \ 12}{p\ \cdot \ m}

p= \frac{Z\ \cdot \ 100\ \cdot \ 360}{K\ \cdot \ d} oder p= \frac{Z\ \cdot \ 100\ \cdot \ 12}{K\ \cdot \ m}

d= \frac{Z\ \cdot \ 100\ \cdot \ 360}{K\ \cdot \ p} oder m= \frac{Z\ \cdot \ 100\ \cdot \ 12}{K\ \cdot \ p}

Hilfreiches Lernvideo zum Thema Zinsrechnung

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