Gleichung lösen und umformen

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Zur Bestimmung von x gibt es einige Standardtechniken, die Ihr beherrschen solltet.
Folgende Beispiele müsst ihr verinnerlicht haben.

Gleichung Umformen

    \begin{align*}{3} 2x-8  & =0 \quad |+8 \\ 2x  & =8 \quad |:2 \\ x  & =4 \end{align*}

Gleichungen lösen, Grundlagen, Umformen, Hilfe in Mathe, einfach erklärt | Mathe by Daniel Jung

 


Gleichung Umformen/Wurzel

    \begin{align*} 2x^2- 8&= 0 \quad |+8\notag \\ 2x^2 &= 8 \quad |:2\notag \\ x^2 &=4 \quad |\sqrt{ ~~} \notag \\ x_1=2 \ &\wedge \ x_2=-2 \notag \end{align*}

Merke: Die Gleichung x^2=a hat für

  • a>0 die beiden Lösungen x= \pm \sqrt{a},
  • a=0 die einzige Lösung x=0,
  • a<0 keine Lösung, denn es darf keine Wurzel aus einer negativen Zahl gezogen werden! Die Lösungsmenge ist in diesem Fall leer \mathbb{L}=\{ \}.
Gleichungen lösen durch Umformen und Wurzel ziehen, Lösungsverfahren | Mathe by Daniel Jung

 


Ausklammern

    \begin{align*} x^3- \frac{1}{4}x^5&= 0 \quad |\ \textrm{groesste gemeinsame x ausklammern!}\notag \\ \Leftrightarrow \quad \underbrace{\underbrace{x^3}_{\textrm{Faktor}} \cdot \underbrace{\left(1-\frac{1}{4}x^2\right)}_{\textrm{Faktor}}}_{\textrm{Produkt}} &= 0 \notag \end{align*}

Merke: Ein Produkt (Faktor MAL Faktor) ist Null, wenn einer der beiden Faktoren Null ist. Nach dem Ausklammern bestimmt ihr für den Teil in der Klammer und den Teil außerhalb der Klammer jeweils separat die Nullstellen.

    \begin{align*} x^3=0 \quad \textrm{oder} \quad 1-\frac{1}{4}x^2&=0 \notag \\ x_4=2 \ &\wedge\ x_5=-2 \notag \end{align*}

Hinweis: Dieser Lösungsweg ist nur dann sinnvoll, wenn keine Zahl ohne x vorkommt!

Nullstellen bestimmen, Lösungsverfahren, Ausklammermethode | Mathe by Daniel Jung

 


pq-Formel

Um die pq-Formel verwenden zu können, müssen quadratische Gleichungen (höchste Potenz ist 2) in die Form

    \begin{align*} x² + px + q = 0 \notag \end{align*}

gebracht werden, so dass beim x² kein Vorfaktor mehr steht. Anschließend
kann die pq-Formel verwendet werden und man erhält die Lösungen

    \begin{align*} x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2} \right)^2 - q}. \notag \end{align*}

Kleines Beispiel:

    \begin{align*} 2x^2-4x-16&= 0 \quad |:2\notag \\ x^2 -2x-8 &= 0 \quad |\ \textrm{pq-Formel} \notag \\ \Rightarrow \quad x_{1,2} &= -\frac{-2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-2}{2} \right)^2 - (-8)} \notag \\ x_1=4 \ &\wedge \ x_2=-2 \notag \end{align*}

PQ Formel zum Lösen quadratischer Gleichungen, Nullstellen | Mathe by Daniel Jung

 


ABC-Formel

Auch Mitternachts-Formel genannt, kann alternativ zur pq-Formel verwendet werden. Die quadratische Gleichung

    \begin{align*} ax² + bx + c = 0 \notag \end{align*}

lässt sich direkt lösen. Das Ergebnis lautet

    \begin{align*} x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{ b^2 - 4ac}}{2a}. \notag \end{align*}

Beispiel:

    \begin{align*} 2x^2-4x-16&= 0 \notag \\ \Rightarrow \quad x_{1,2} &= \frac{-(-4) \pm \sqrt{ (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-16)}}{2 \cdot 2}\notag \\ &= \frac{4 \pm \sqrt{16+128}}{4} \notag \\ x_1=4 \ &\wedge \ x_2=-2 \notag \end{align*}

Mitternachtsformel (a-b-c-Formel), Nullstellen bestimmen | Mathe by Daniel Jung

 


Substitution

Gucken wir uns folgende Gleichung an:

    \begin{align*} x^4-2x^2-8&=0 \notag \end{align*}

Uns fällt sofort auf, dass nur gerade Exponenten auftreten. Um diese Gleichung Lösen zu können, ersetzen wir x^2 durch z und erhalten wieder eine quadratische Gleichung, die mit der
PQ-Formel gelöst werden kann. Nach dem Lösen darf aber nicht die Rücksubstitution vergessen werden!

    \begin{align*} x^4-2x^2-8=0 \quad \stackrel{x^2=z}{\Longrightarrow} \quad z^2-2z-8=0 \notag \end{align*}

Mit der PQ-Formel erhalten wir dann die Lösungen:

    \begin{align*} z_1=4 \ \wedge\ \ z_2=-2 \notag \end{align*}

Bei der Rücksubstitution müssen wir, wie der Name schon sagt, wieder zurück ersetzen. Es folgt:

    \begin{align*} z_1&=4 \quad \ \stackrel{z_1=x_1^2}{\Longrightarrow} \quad x_1^2= 4 \quad \Leftrightarrow \quad x_1=2 \wedge x_2=-2 \notag \\ z_2&=-2 \ \ \stackrel{z_2=x_3^2}{\Longrightarrow} \quad x_3^2= -2: \ \textrm{Wurzel aus negativer Zahl nicht moeglich} \notag \end{align*}

Substitutionsmethode, Nullstellen bestimmen, biquadratische Gleichung lösen | Mathe by Daniel Jung


Polynomdivision

Falls eine Gleichung vorliegt, die nicht mit den obigen Verfahren gelöst werden kann, muss oft die Polynomdivision verwendet werden – oder der Taschenrechner. Beispiel:

    \begin{align*} f(x)=2x^3-7x^2+10x-5 \notag \end{align*}

Der Trick ist es, eine Nullstelle zu erraten oder sie dem Aufgabentext zu entnehmen. Wir wissen, dass die Nullstelle ein Vielfaches oder ein Teiler des Absolutgliedes ist, also von der Zahl der Gleichung, die kein x enthält. Somit erraten wir die Nullstelle x_1=1.

    \begin{align*} \textrm{Probe:} \quad f(1)=2 \cdot 1^3-7 \cdot 1^2+10 \cdot 1-5=0. \notag \end{align*}

Kommen wir nun zur Polynomdivision, das Vorgehen kennt ihr schon aus der Divisionsrechnung aus der Grundschule! Ihr nehmt eure Ausgangsfunktion teilt diese durch (x-Nullstelle), also in diesem Fall x-1

    \begin{align*} (2x^3-7x^2+10x-5):(x-1)= ?? \notag \end{align*}

Schauen wir uns nun die rechte Klammer (x-1) an. Es muss eine Zahl mit dem x der Klammer multipliziert werden, damit der erste Term der ersten Klammer, hier 2x^3, herauskommt. In diesem Fall wäre das 2x^2. Nun wird 2x^2 mit (x-1) multipliziert und von der ersten Klammer subtrahiert. Das Ergebnis wird drunter geschrieben und der Vorgang wird solange wiederholt, bis wir zu einem Resultat kommen.

Beispiel  Polynomdivision

Das Ergebnis 2x^2-5x+5 der Polyonmdivision kann mit der pq-Formel gelöst werden. Beim Aufschreiben der Lösungsmenge darf die geratene Nullstelle nicht vergessen werden.

Polynomdivision als Lösungsverfahren, Nullstellen bestimmen | Mathe by Daniel Jung

 


Newtonverfahren

Das Newtonverfahren ist ein Näherungsverfahren zur Bestimmung der Nullstellen. Bei einfachen Termen ist man sicherlich mit den anderen Methoden schneller, werden die Funktionen komplexer und reichen eure mathematischen Regeln nicht mehr aus, greift man zum Newtonverfahren. Dazu verwendet man folgende Formel.

    \begin{align*} x_{\textrm{neu}}=x_{\textrm{start}}-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \notag \end{align*}

Im Genaueren bedeutet es, dass wir einen Startwert x_{\textrm{start}} selbst bestimmen müssen, diesen in die Formel einsetzen um x_{\textrm{neu}} zu erhalten. Wenn man dieses Verfahren öfter wiederholt, werdet ihr merken, dass sich irgendwann der Wert des Ergebnisses nicht mehr bzw. kaum ändert. Erst dann können wir den Wert verwenden.  Das Newton-Verfahren wollen wir an dem folgenden Beispiel kurz durchspielen. Als willkürlichen Startwert wählen wir x_\textrm{start}=18.

    \begin{align*} x^3-15x^2-175=0 \notag \end{align*}

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Wie wir sehen ändert sich der x-Wert bereits beim 2. Schritt nicht mehr stark (von 15,73 auf 15,71)! Beim nächsten Schritt kann es schon passieren, dass sich nur noch die Nachkommastellen ändern. Wir könnten sagen, dass die Nullstelle ungefähr bei 15,71 liegt.

Merke: Pro Startwert finden wir nur eine Nullstelle!

Newtonverfahren, Newtonsches Näherungsverfahren, Nullstellen, Gleichungen lösen, Mathehilfe

 


Gleichung mit e-Funktion lösen

Zur Lösung von Gleichungen mit e-Funktionen verwendet man in der Regel ihre Umkehrfunktion, den natürlichen Logarithmus \ln. Ein nützlicher Zusammenhang ist

    \begin{align*} e^{\ln(x)} = x \quad \textrm{bzw.} \quad \ln(e^x)=x. \notag \end{align*}

Achtet auf die Logarithmengesetze! Es folgen einige Beispiele zum Lösen von Gleichungen mit e-Funktionen:

    \begin{align*} e^{2x}\cdot (x^2-2) = 0 \notag \\ e^{2x}= 0 \ \lightning \vee \ x^2-2&=0 \quad |+2\notag \\ x^2&=2 \quad |\sqrt{ ~~} \notag \\ x_1=\sqrt{2} \ &\wedge \ x_2=-\sqrt{2} \notag \end{align*}

Warum bringt e^{2x}= 0 keine Lösung? Wenn man beide Seite logarithmiert folgt \ln(2x)=\ln(0). Da der natürliche Logarithmus aber für 0 nicht definiert ist (\mathbb{D}=(0,\infty)), gibt es keine Lösung.

    \begin{align*} \begin{array}{lrcll} a) & 8e^{-2x}-16 & = & 0 & \quad |+16 \\ \Leftrightarrow \quad & 8e^{-2x} & = & 16 & \quad |:8 \\ \Leftrightarrow \quad & e^{-2x} &= & 2 & \quad | \ln \\ \Leftrightarrow \quad & \ln(e^{-2x}) & = & \ln(2) & \\ \Leftrightarrow \quad & -2 x & = & \ln(2) & \quad |:(-2) \\ \Leftrightarrow \quad & x & =& -\ln(2)/2 & \end{array} \end{align*}

    \begin{align*} \begin{array}{lrcll} b) & 4e^{3x}-e^{2x} & = & 0 & \quad |+e^{2x} \\ \Leftrightarrow \quad & 4e^{3x} & = & e^{2x} & \quad | \ln \\ \Leftrightarrow \quad & \ln(4 \cdot e^{3x}) &=& \ln(e^{2x}) & \\ \Leftrightarrow \quad & \ln(4)+\ln(e^{3x}) & =& 2x & \\ \Leftrightarrow \quad & \ln(4)+3x & =& 2x &\quad |-3x \\ \Leftrightarrow \quad & -\ln(4) & =& x & \end{array} \end{align*}

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