Integralrechnung

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Die Integralrechnung ist neben der Differentialrechnung der wichtigste Zweig der mathematischen Disziplin der Analysis. Sie ist aus dem Problem der Flächen- und Volumenberechnung entstanden.

Das Integral ist ein Oberbegriff für das unbestimmte und das bestimmte Integral. Die Berechnung von Integralen heißt Integration.

Zunächst gehen wir nochmal die Grundlagen der Integralrechnung durch. Im Anschluss werden Flächeninhalte bestimmt und schwierige Integrationsregeln wie z.B. die partielle Integration vorgestellt.

Grundlagen

Die Umkehrung des Ableitens ist das Bilden von Stammfunktionen und wird deshalb auch Aufleiten genannt.
Wie schon beim Ableiten gibt es auch hier eine Summenregel (= Eine Summe wird „summandenweise“ aufgeleitet) und eine Faktorregel (= Ein konstanter Faktor bleibt beim Aufleiten erhalten).

bil_integral

Übersicht typischer Stammfunktionen

Wenn F eine Stammfunktion von f ist und C eine beliebige reelle Zahl (Konstante), dann ist auch F(x) + C eine Stammfunktion von f. Zum Beispiel sind

    \begin{align*} F(x) &= (x^2/2)+5 \notag \\ F(x) &= (x^2/2)+10 \notag \\ F(x) &= (x^2/2)-200 \notag \end{align*}

alles Stammfunktionen von f(x)=x. Grundsätzlich lautet die Stammfunktion für f(x)=x also F(x)= x^2/2+C. Wenn nur eine Stammfunktion gesucht wird, können wir zur Einfachheit C=0 wählen.

Die Stammfunktion zu der Potenzfunktion

    \begin{align*} f(x)=x^n, \quad n \in \mathbb{N} \notag \end{align*}

ermittelt sich allgemein über

    \begin{align*} F(x)=\frac{1}{n+1}x^{n+1}. \notag \end{align*}

Beim Aufleiten muss der Exponent um 1 erhöht und in den Nenner des Bruchs geschrieben werden!
In nachfolgender Tabelle findet ihr weitere Beispiele.

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Wie bereits erwähnt gibt es bei der Integralrechnung auch eine Summenregel, die besagt, dass jeder Summand einzeln integriert wird. Zum Beispiel ist F(x)=x^2+3x eine Stammfunktion von f(x)=2x+3.

Schau dir zur Vertiefung Daniels Playlist zum Thema „Stammfunktionen/Aufleiten“ an

Übersicht Integrationsmethoden, Integrationsregeln | Mathe by Daniel Jung

 

Unbestimmtes Integral

Als unbestimmtes Integral bezeichnet man, wie oben bereits angedeutet, die Gesamtheit aller Stammfunktionen F(x)+C einer Funktion f(x). Die Schreibweise für unbestimmte Integrale lautet

    \begin{align*} \int f(x)\  \textrm{d}x =F(x)+C \notag \end{align*}

Dabei ist \int das Integrationszeichen und f(x) der Integrand. Die Variable x heißt Integrationsvariable und C ist die Integrationskonstante. Hier zwei Beispiele für unbestimmte Integrale:

    \begin{align*} \int 2x~ \textrm{d}x &= x^2 + C \notag \\ \int x^3~ \textrm{d}x &= \frac{1}{4}x^4 + C \notag \end{align*}

Zur Vertiefung: Lernvideo zum unbestimmten Integral

Unbestimmtes Integral, Stammfunktion, keine Grenzen, Mathehilfe | Mathe by Daniel Jung

 

Bestimmtes Integral

Wenn Integrationsgrenzen angegeben sind, handelt es sich nicht mehr um ein unbestimmtes Integral. Man spricht dann von einem bestimmten Integral, da die Integrationsgrenzen ja angegeben – folglich bestimmt – sind.

Im Gegensatz zum unbestimmten Integral lässt sich ein bestimmtes Integral mit dem Hauptsatz der Integralrechnung!

studyhelp(49)

Als Ergebnis erhält man einen konkreten Zahlenwert.

    \begin{align*} \int_a^b f(x)\ \textrm{d}x =\left[F(x)\right]_a^b =(F(b)-F(a)) \notag \end{align*}

Beispiel

    \begin{align*} \int_1^3 2x\ \textrm{d}x =\left[x^2\right]_1^3 =(3^2-1^2)=8 \notag \end{align*}

 

Daniel erklärt es euch nochmal in seinem Video!

Bestimmtes Integral, Grenzen gegeben, Mathehilfe online, Erklärvideo | Mathe by Daniel Jung

 

Bestimmung von Flächeninhalten

Die Integralrechnung kann zur Berechnung von Flächeninhalten verwendet werden. Wenn Grenzwerte gegeben sind, liegt ein bestimmtes Integral vor. Im Folgenden werden wir euch Beispiele zu verschiedenen Problemstellungen zeigen.

Schaut euch unbedingt die Einführung zur Bestimmung von Flächeninhalten an

Integralrechnung im Detail, Flächenberechnung, Übersicht, Integrale | Mathe by Daniel Jung

Jetzt können wir loslegen!

 

Berechnung der Fläche zwischen Graph und x-Achse

Vorgehen:

  • Bestimme die Nullstellen um die Grenzen zu erhalten.
  • Ist die Fläche stets oberhalb der x-Achse die bestimmt wird, kannst du ganz normal das Integral berechnen.

Merke: Wenn die Funktion im zu berechnendem Intervall einen Vorzeichenwechsel hat, ist ein Teil der Fläche unterhalb der x-Achse und eine Fläche oberhalb. Die Fläche unterhalb der x-Achse muss dann im Betrag genommen werden.

bil_int_flaeche

Beispiel Gegeben sei die Funktion f(x)=-x^2+7x-10, siehe Abbildung, und es soll die Fläche berechnet werden, die von dem Graph und der x-Achse eingeschlossen wird. Zunächst werden die Nullstellen berechnet: x_1=2 und x_2=5. Das sind gleichzeitig unsere Integrationsgrenzen. Es folgt für die Fläche

    \begin{align*} \int\limits_2^5 -x^2+7x-10\ \textrm{d}x &= \left[ -\frac{x^3}{3}+\frac{7x^2}{2}-10x \right]_2^5 \notag \\ &= \left( -\frac{5^3}{3} + \frac{7 \cdot 5^2}{2}-10 \cdot 5 \right) - \left( -\frac{2^3}{3} + \frac{7 \cdot 2^2}{2} - 10 \cdot 2 \right) \notag \\ &= 4,5 \ [\textrm{FE}] \notag \end{align*}

\bullet zwischen Graph und x-Achse im Intervall von [2,4]

Beispiel In der nachfolgenden Abbildung soll die Fläche einer Funktion f(x) im Intervall [2,4] bestimmt werden.

studyhelp(52)

Der Ausdruck \int_2^4 f(x)\ \textrm{d}x = -6 gibt hierbei nicht den gesuchten Flächeninhalt an, sondern den Integralwert!

Aus diesem Grund ist die Berechnung der Nullstellen wichtig. Da eine Nullstelle bei x=2,5 vorliegt, also innerhalb unserer Integrationsgrenzen, gibt es einen Vorzeichenwechsel und ein Teil des Graphen muss unterhalb der x-Achse liegen. Tipp: Teilfläche von unterer Grenze zu Nullstelle A_1 und von Nullstelle zu oberer Grenze A_2 berechnen. Es folgt mit

    \begin{align*} A_1 = \int_2^{2,5} f(x) \ \textrm{d}x = 1\ [\textrm{FE}] \quad \textrm{und} \quad A_2 = \int_{2,5}^4 f(x) \ \textrm{d}x = |-7| = 7\ [\textrm{FE}] \notag \end{align*}

der gesuchte Flächeninhalt A_{ges} = A_1 + A_2 = 8 [FE].

\bullet zwischen zwei Graphen

Wenn f und g zwei Funktionen sind, die auf dem Intervall [a; b] stetig sind und f(x) \geqq g(x) für alle x in [a; b],
dann ist die Fläche, die von beiden Funktionen eingeschlossen wird

    \begin{align*} A=\int_a^b (f(x)-g(x)) \ \textrm{d}x=[F(x)-G(x)]|_a^b =(F(b)-G(b))-(F(a)-G(a)). \end{align*}

Beispiel Bestimme den Flächeninhalt, der von den Funktionen

    \begin{align*} f(x) = -\frac{x^2}{12}+5 \quad \textrm{und} \quad g(x) = \frac{x^2}{6}+1 \notag \end{align*}

eingeschlossen wird. Hierfür benötigen wir zunächst die Schnittpunkte der beiden Funktionen.

bil_integral_2graphen

Dazu setzen wir beide Funktionen gleich und erhalten

    \begin{align*} f(x)&=g(x) \notag \\ -\frac{x^2}{12}+5 &= \frac{x^2}{6}+1 \notag \\ x_1=-4 \ &\wedge \ x_2=4 \notag \end{align*}

Nun haben wir alle Informationen um die Fl\“ache zwischen den beiden Graphen durch folgendes Integral zu berechnen:

    \begin{align*} \int_{-4}^4 (f(x)-g(x))\ \textrm{d} x = \int_{-4}^4 -\frac{x^2}{12}+5 - (\frac{x^2}{6}+1)\ \textrm{d} x = \int_{-4}^4 \frac{x^2}{12}+4 \ \textrm{d} x \notag \end{align*}

Zu beachten: Wenn sich zwei Graphen schneiden, wird ab dem Schnittpunkt aus der oberen Funktion die untere. Man würde nun einen negativen Flächeninhalt herausbekommen, also müssen Betragsstriche gesetzt werden.

Vorgehen:

  1. Schnittstellen finden
  2. Teilintegrale aufstellen und Betragsstriche setzen.

Dann weiter vorgehen wie in dem Beispiel zuvor.

 

Partielle Integration

Die partielle Integration, auch Produktintegration genannt, ist in der Integralrechnung eine Möglichkeit zur Berechnung bestimmter Integrale und zur Bestimmung von Stammfunktionen.

Sie ist quasi das Gegenstück zur Produktregel beim Ableiten.

    \begin{align*} &\int_a^b u(x) \cdot v'(x) \ \textrm{d} x= \left[ u(x) \cdot v(x) \right]_a^b - \int_a^b u'(x) \cdot v(x) \ \textrm{d} x \end{align*}

Die partielle Integration wird stets bei einem Produkt zweier Funktionen angewendet, wobei von einem Faktor die Stammfunktion bekannt ist (v'(x)) und man die Hoffnung hat, dass durch die Ableitung des anderen Faktors (u(x)) das Integral einfacher wird. Warum heißt es eigentlich \textit{partielle} Integration? Weil ein Teil des Ingetrals \left[ u(x) \cdot v(x) \right]_a^b gelöst wird und der andere Teil noch ein Integral \int_a^b u'(x) \cdot v(x) \ \textrm{d} x beinhaltet. Die Schwierigkeit ist es zu entscheiden, welcher Teil u(x) ist und welcher v'(x). Unter Umständen kann es nämlich sein, dass das Integral bei falscher Wahl nicht zu lösen ist. Die Frage die wir uns stellen müssen: Die Ableitung welches Faktors vereinfacht das Integral?

Allgemeines Vorgehen:

  1. Überlegung: Die Ableitung welchen Faktors vereinfacht das Integral? Danach u(x) und v'(x) festlegen.
  2. Ableitung u'(x) bestimmen.
  3. Stammfunktion v(x) bestimmen.
  4. Ergebnisse in Formel einsetzen.

Beispiel Bestimme das Integral der Funktion f(x)=x\cdot e^x in den Grenzen [0;2].

Zunächst schreiben wir auf, was wir machen sollen. Das Integral soll schließlich gebildet werden.

    \begin{align*} \int_0^2 \left(x\cdot e^x \right) \ \textrm{d} x = ? \end{align*}

Doch an dieser Stelle kommen wir mit unseren einfachen Methoden zur Bildung der Stammfunktion nicht weiter. Die Funktion f(x) ist nämlich ein Produkt der beiden Funktionen x und e^x. Wir wenden also die partielle Integration an, um die Aufgabe zu lösen. Dafür gehen wir die obigen Schritte aus dem Vorgehen ab. 1. Wir überlegen: Die Ableitung welchen Faktors vereinfacht das Integral? Die Ableitung von x ist 1. Die Ableitung von e^x ist e^x.

Da e^x auch einfach integrierbar ist folgt:

    \begin{align*} u(x)&=x \longrightarrow u'(x)=1 \quad \textrm{und} \quad v'(x)=e^x \longrightarrow v(x)=e^x \\ \Rightarrow \int_0^2 \left(x\cdot e^x \right) \ \textrm{d} x &= [x\cdot e^x]_0^2 - \int_0^2 (1\cdot e^x) \ \textrm{d}x = [x\cdot e^x]_0^2 -[e^x]_0^2 = e^2 +1 \end{align*}

Tipp: Wenn die Aufgabe nicht lösbar ist mit der Wahl von u und v', sollte man diese gegeneinander austauschen und erneut probieren. Manchmal hilft zweimaliges partielles Integrieren und Umsortieren. Generell werden Potenzen x^n oder Umkehrfunktionen wie \ln(x) oder \arcsin(x) durch Ableiten einfacher und Funktionen wie e^x oder \sin(x) durch Integrieren nicht komplizierter.

Vertiefe dein Wissen mit dem Lernvideo zu partielle Integration

Partielle Integration, Produktintegration, langsame Version, Übersicht | Mathe by Daniel Jung

 

Integration durch Substitution

Kommen wir zur Integration durch Substitution. Unter Substitution versteht man allgemein das Ersetzen eines Terms durch einen anderen. Und genau das tun wir hier um eine Integration durchzuführen.

Durch Einführung einer neuen Integrationsvariablen wird ein Teil des Integranden ersetzt, um das Integral zu vereinfachen und so letztlich auf ein bekanntes oder einfacheres Integral zurückzuführen.

Die Kettenregel aus der Differentialrechnung ist die Grundlage der Substitutionsregel.

    \begin{align*} \int_a^b \ f(u(x)) \cdot u'(x) \ \textrm{d}x = \int_{u(a)}^{u(b)} f(u) \ \textrm{d}u \notag \end{align*}

In Anlehnung an die Kettenregel kann über Integration per Substitution gesagt werden, dass sie immer dort angewendet wird, wo ein Faktor im Integranden die Ableitung eines anderen Teils des Integranden ist; im Prinzip immer dort, wo man auch die Kettenregel anwenden würde. Ist die Ableitung ein konstanter Faktor, so kann dieser aus dem Integral faktorisiert werden.

Allgemeines Vorgehen:

  1. Den zu substituierenden Term bestimmen, ableiten und nach \textrm{d} x umstellen.
  2. Substitution durchführen.
  3. Integral lösen.
  4. Rücksubstitution durchführen.

Beispiel Bestimme das Integral der Funktion f(x)=(x^2-4)^3\cdot 2x im Intervall 4 und 5 und gebe die Menge aller Stammfunktionen an.

Wir schreiben zunächst das Integral auf, welches bestimmt werden soll:

    \begin{align*} \int_4^5\underbrace{(x^2-4)^3}_{f(u(x))} \cdot \underbrace{2x}_{u'(x)} \textrm{d} x \end{align*}

Wir erkennen eine Verkettung (x^2-4)^3 und stellen fest, dass wir diesen Teil nicht mit den bisher bekannten Methoden integrieren können. Zusätzlich erkennen wir, dass 2x die Ableitung der inneren Funktion u(x)=x^2-4 ist und das ist es, was wir wollen! Also ersetzen (substituieren) wir diesen Teil durch den Parameter u:

    \begin{align*} \textrm{mit} \ u=x^2-4 \ \textrm{folgt}: \quad \int_4^5 u^3\cdot 2x \ \textrm{d} x \end{align*}

Da nach u integriert werden soll, muss als nächstes \textrm{d} x ersetzt werden. Das schaffen wir, indem wir u nach x ableiten, nach \textrm{d} x umstellen und in das Integral einsetzen:

    \begin{align*} u'=\frac{\textrm{d}u}{\textrm{d}x}=2x \ \Leftrightarrow \ \textrm{d} x= \frac{\textrm{d} u}{2x} \ \Rightarrow \int_4^5 u^3\cdot 2x \ \frac{\textrm{d} u}{2x} \end{align*}

Das 2x kürzt sich an dieser Stelle raus und der Integrand hängt nur noch von u ab. An dieser Stelle müssen wir noch die Integralgrenzen ersetzen mit u(4)=12 und u(5)=21 und können das Integral bestimmen:

    \begin{align*} \int_{12}^{21} u^3 \ \textrm{d} u = \left[ \frac{1}{4}u^4 \right]_{12}^{21} = 43.436,25 \ [\textrm{FE}] \end{align*}

Für die Stammfunktion müssen wir u rücksubstituieren: F(x)=\frac{1}{4}{\underbrace{(x^2-4)}_{=u}}^4+C. Weitere kurze Beispiele:

Beispiele Integration durch Substitution

Sonderfälle der Substitution:

  • Lineare Substitution: \int_a^b f(mx+n) \ \textrm{d}x = \frac{1}{m}\left[ F(mx+n) \right]_a^b
  • Logarithmische Integration: \int_a^b \frac{g'(x)}{g(x)} \ \textrm{d}x = \left[ ln | g(x)| \right]_a^b

 

Einfache Erklärung im Lernvideo von Daniel

Integration durch Substitution 1, Formel, Erklärung, Schreibweise | Mathe by Daniel Jung

 

Interpretation im Sachzusammenhang

Mit der Interpretation haben Schüler oft Schwierigkeiten, wenn im Graphen Geschwindigkeiten etc. gegeben sind, anstatt einer Menge. Schaut also zunächst auf die Achsen, welche Einheiten gegeben sind oder lest im Text nach.

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  • Das Wasser fließt zu bis zur Nullstelle, da der Graph dort im Positiven liegt.
  • ab der Nullstelle fließt das Wasser ab, da der Graph im Negativen liegt.

Hier nochmals kompakt erklärt im Lernvideo!

Integrale, Integralwert, Flächenwert im Sachzusammenhang | Mathe by Daniel Jung

Mittelwertsatz der Integralrechnung

   Hier geht es zu Teil 2 des Erklärvideos

Häufig ist eine Funktion gegeben, die den Wasserstand angibt oder die Geschwindigkeit des Wasserzuflusses! Wenn dann zum Beispiel nach der durchschnittlichen Höhe des Wasserstandes in einem bestimmten Zeitraum gefragt ist, bedient man sich oft am Mittelwertsatz der Integralrechnung:

    \begin{align*} \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) ~ dx =\frac{1}{b-a} [F(x)]_a^b = \frac{1}{b-a} (F(b)-F(a)) \notag \end{align*}

Der Mittelwertsatz gibt im allgemeinen den Durchschnitt aller y-Werte an (achtet darauf, was die Funktion im Sachzusammenhang angibt). Beispiele

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\frac{1}{24-0} \int_0^{24} f(x)~dx = durchschnittliche Höhe des Wasserstandes in 24 Std.

studyhelp(54)

\frac{1}{24-0} \int_0^{24} f(x)~dx = durchschnittliche Zunahmegeschwindigkeit des Wassers in 24 Std.

An dieser Stelle haben wir direkt 2 Videos zum Thema Mittelwertsatz für euch!

Mittelwertsatz der Integralrechnung, Durchschnitt der Y-Werte | Mathe by Daiel Jung

Mittelwertsatz der Integralrechnung, Durchschnitt der Y-Werte | Mathe by Daniel Jung

Rotationskörper

Als Rotationskörper wird in der Geometrie ein Körper bezeichnet, z.B. Kugel, Kreiskegel oder Zylinder, der durch die Rotation einer Kurve um eine Achse entsteht. Dabei müssen Kurve und Rotationsachse in derselben Ebene liegen.

Um Oberfläche und Volumen eines Rotationskörpers zu berechnen, benötigt man nur die Funktionsvorschrift der Kurve. Man unterscheidet dabei den Rotationskörper um die x-Achse und der y-Achse.

Volumenformel mit Integral für Rotationskörper:

    \begin{align*} \begin{array}{rl} \textrm{um die } x\textrm{-Achse:} & V=\pi \cdot \int_a^b \left( f(x) \right) ^2 \ \dint x \\ & \\ \textrm{um die } y\textrm{-Achse:} & V=\pi \cdot \int_{f(a)}^{f(b)} \left( f^{-1}(x)\right)^2 \ \dint x \end{array} \end{align*}

Als typisches Beispiel möchten wir euch die Funktion f(x)=\sqrt{x} in einem vordefinierten Intervall x\in [0;10] vorstellen. Die Graph der Funktion rotiert um die x-Achse und es entsteht ein Volumen – im Sachzusammenhang könnte es ein Sektglas darstellen.

Volumentintegral

 

Mögliche Fragestellung: Wie groß ist das Volumen des Sektglases, wenn es voll bzw. halbvoll ist? Da eine Rotation um die x-Achse vorliegt, verwenden wir die enstprechende Formel von oben. Das volle Sektglas hat ein Volumen von

    \begin{align*} V_{\textrm{voll}}=\pi \cdot \int_0^{10} \left( \sqrt{x} \right) ^2 \ \dint x = \pi \cdot \int_0^{10}x \ \dint x = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{10}=50 \pi \end{align*}

und das halbvolle ein Volumen von

    \begin{align*} V_{\textrm{halb}}=\pi \cdot \int_0^{5} \left( \sqrt{x} \right) ^2 \ \dint x = \pi \cdot \int_0^{5}x \ \dint x = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{5}=12,5 \pi. \end{align*}

Integralfunktion

Das Integral aus einer festen unteren Grenze a und einer variablen oberen Grenze x nennt sich Integralfunktion

    \begin{align*} \int_a^x f(t)~dt = F(x)-F(a), \notag \end{align*}

wobei F Stammfunktion von f ist.

Lernvideo zu Integralfunktion

Integralfunktion, nur eine Grenze bekannt, Mathehilfe online, Lernvideo | Mathe by Daniel Jung

Uneigentliches Integral

Es kann vorkommen, dass eine Grenze bestimmt ist (also vorgegeben, hier a) und eine Grenze unendlich \infty ist. Wir sprechen dann von einem uneigentlichen Integral.

    \begin{align*} \int_a^{\infty}f(x)~\dint x \notag \end{align*}

Um den Flächeninhalt zu bestimmen, arbeitet man wieder mit dem Grenzwertsatz \lim. Im Unendlichen konvergiert die Funktion gegen einen Wert und wir können den Flächeninhalt bestimmen. Beispiel

    \begin{align*} \int_0^{\infty}e^{-x}~\dint x &=\lim_{b \to +\infty} [-e^{-x}]_0^b \notag \\ &=\lim_{b \to +\infty} [-e^{-b}-(-e^0)] \notag \\ &=\lim_{b \to +\infty} [\underbrace{-e^{-b}}_{\rightarrow 0}+1]=1 \notag \end{align*}

Wenn b eine unendlich hohe Zahl annimmt, dann strebt e^{-b} gegen Null. Haltet euch dabei immer den Graph der e-Funktion vor Augen. e hoch was positives geht gegen plus Unendlich und e hoch was negatives geht gegen Null.

Uneigentliches Integral, unbekannte Grenze, unendlich | Mathe by Daniel Jung