Kurvendiskussion

Themen auf dieser Seite

Übersicht über geometrische Eigenschaften, die bei einer Kurvendiskussion untersucht werden können:

geometrische Eigenschaften einer Kurvendiskussion

a) Grenzverhalten

b) Nullstellen

c) Schnittpunkt y-Achse

d) Extrempunkte (HP und TP)

e) Wendepunkte (WP)

Zusatz:

  • Definitionsbereich
  • Wertebereich
  • Symmetrie
  • Skizze (grob) – Zeichnung (genau)

Schau dir vertiefend Daniels Einführungsvideo zum Thema Kurvendiskussion an!

Kurvendiskussion Übersicht, Hilfe in Mathe, einfach erklärt, Mathehilfe | Mathe by Daniel Jung

 

Grenzverhalten (limes)

  • \lim\limits_{x \to -\infty} „ich schaue links“ – hohe negative Zahl für x einsetzen = „Wo kommt der Graph her?“
  • \lim\limits_{x \to +\infty} „ich schaue rechts“ – hohe positive Zahl für x einsetzen = „Wo geht der Graph hin?“
  • Verhalten für x \to \pm \infty
  • Schauen wir uns einmal folgende Funktion an: f(x)= a_n \cdot x^n. Zur Beurteilung des Verhaltens betrachtet man immer die höchste Potenz n von x und ihren Koeffizienten a_n:
    • Wenn n gerade und a_n>0 ist, so strebt f(x) \to + \infty f“ur x \to \pm \infty.
    • Wenn n gerade und a_n<0 ist, so strebt f(x) \to - \infty f“ur x \to \pm \infty.
    • Wenn n ungerade und a_n>0 ist, so strebt f(x) \to + \infty f“ur x \to + \infty und f(x) \to - \infty f“ur x \to - \infty.
    • Wenn n ungerade und a_n<0 ist, so strebt f(x) \to - \infty f“ur x \to + \infty und f(x) \to + \infty f“ur x \to - \infty.

 

Grenzverhalten, Globalverhalten bei Funktionen für x gegen Unendlich | Mathe by Daniel Jung

 

Symmetrie

Symmetrieeigenschaften bei ganzrationalen Funktionen:

  • Kommen in der Funktion nur gerade Exponenten vor, wie z.B. bei

        \begin{align*} f(x)=x^4-2x^2-4 \end{align*}

    dann ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse! Wir können die Achsensymmetrie zur y-Achse auch rechnerisch zeigen. Es gilt

        \begin{align*} f(-x)&=f(x) \notag \\ (-x)^4-2 \cdot (-x)^2-4&= x^4-2x^2-4 \notag \\ x^4-2x^2-4&= x^4-2x^2-4 \quad \checkmark \notag \end{align*}

 

  • Kommen in der Funktion nur ungerade Exponenten vor, wie z.B. bei

        \begin{align*} f(x)=2x^3-4x \end{align*}

    dann ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung. Wir können die Punktsymmetrie zum Ursprung auch rechnerisch zeigen. Es gilt

        \begin{align*} f(-x)&=-f(x) \notag \\ 2\cdot (-x)^3-4 \cdot (-x) &=-(2x^3-4x) \notag \\ -2x^3+4x &= -2x^3+4x \quad \checkmark \notag \end{align*}

 

  • Eine Funktion f(x) ist zu einer zweiten Funktion g(x) achsensymmetrisch bzgl. der x-Achse, wenn gilt: f(x)=-g(x)

Symmetrie einer Funktion

Daniel erklärt dir in seinem Lernvideo nochmal alles zur Symmetrie bei Funktionen

Symmetrie, Funktionen, rechnerischer Ablauf, Punktsymmetrie, Achsensymmetrie | Mathe by Daniel Jung

 

Achsenabschnitte

Hier werden die Achsenabschnitte

  • mit der y-Achse untersucht:
    Gegeben sei eine Funktion f(x)=2x^2-4x-16. Für den y-Achsenabschnitt setzen wir x=0 in die Funktion ein

        \begin{align*} f(x)&=2x^2-4x-16 \notag \\ f(0)&= 2\cdot 0^2-4\cdot 0 -16\notag \\ f(0)&=-16\notag \end{align*}

    und wir erhalten mit S_y(0/-16) den Schnittpunkt von Funktion und y-Achse.
    Hinweis: Passt auf bei Funktionen, wo 0 nicht im Definitionsbereich ist, denn dort dürfen wir 0 nicht einsetzen, z.B. f(x)=1/x oder f(x)=\ln(x).

 

  • mit der x-Achse untersucht:
    Der Schnittpunkt mit der x-Achse wird auch Nullstelle genannt. Hierfür setzen wir unsere gegebene Funktion f(x)=0. Mit der Funktion von oben folgt für die Nullstellen

        \begin{align*} f(x)&=0 \notag \\ 2x^2-4x-16 &=0 \quad |:2 \ \textrm{,dann PQ-Formel} \notag \\ x_1=-2 \ &\wedge \ x_2=4. \notag \end{align*}

Daniel erklärt dir nochmal das Thema Achenschnittpunkte in seinem Lernvideo

Achsenschnittpunkte/Achsenabschnitte bei Funktionen | Mathe by Daniel Jung

 

Einschub Intervallschreibweise

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Die Intervallschreibweise ist eine abkürzende Schreibweise und wird oft beim Definitions- und Wertebereich verwendet. Das Intervall gibt an, in welchem Bereich sich unser x befindet. Zum Beispiel können wir 2\leq x < 4 abkürzend als [2;4) schreiben.

Daniel erklärt dir alles rund um die Intervallschreibweise.

Intervalle, Schreibweisen, Mengen, Bereiche, Klammern | Mathe by Daniel Jung

 

Definitionsbereich

Die Bestimmung des Definitionsbereichs ist sehr wichtig. Auch wenn oft in der Aufgabenstellung nicht explizit gefordert,
sollte man sich bevor man irgendetwas rechnet immer vergewissern, welche x-Werte man in die Funktion f(x) überhaupt einsetzen darf.

Wenn der Definitionsbereich schon vorgegeben ist, müsst ihr diesen verwenden.

Die 3 Warnschilder bei der Bestimmung des maximalen Definitionsbereiches:

  1. \frac{1}{\textrm{etwas}} verlangt etwas \neq 0
  2. \sqrt{\textrm{etwas}} verlangt etwas \geq 0
  3. \ln(\textrm{etwas}) verlangt etwas >0

Beachte: Der Definitionsbereich D kann sich beim Ableiten verändern!

Beispiel Bestimme den maximalen Definitionsbereich der Funktion f(x)= \frac{\sqrt{x^2}}{\ln(2-x)}.

Zufälligerweise kommen in der Funktion Logarithmus, Bruch und Wurzel vor! Alarmglocken gehen an. Alle drei Bedingungen von oben werden geprüft.

    \begin{align*} 1. \quad \frac{1}{\textrm{etwas}} \quad \textrm{verlangt} \quad \textrm{etwas} \neq 0 \ \Rightarrow \ln(2-x) &\neq 0 \quad |e^{\wedge} \notag \\ 2-x&\neq e^0 \notag \\ 2-x &\neq 1 \quad |+x \ -1 \notag \\ x &\neq 1 \notag \end{align*}

Wir wissen jetzt schon mal, dass unser x nicht 1 sein darf. Weiter geht es mit Prüfung der Wurzel! Der Radikand (die Zahl unter der Wurzel) darf nie kleiner als Null sein.

    \begin{align*} 2. \quad \sqrt{\textrm{etwas}} \quad \textrm{verlangt} \quad \textrm{etwas} \geq 0 \ \Rightarrow \ x^2 &\geq 0 \notag \\ \Leftrightarrow \quad -\infty < x &< \infty \notag \end{align*}

Egal was wir für x einsetzen, durch das x^2 kommt immer eine Zahl raus, die größer oder gleich 0 ist. Wir dürfen also für x alle Zahlen von – bis + Unendlich einsetzen. Abschließend folgt die Prüfung des Logarithmus.

    \begin{align*} 3. \quad \ln(\textrm{etwas}) \quad \textrm{verlangt} \quad \textrm{etwas} > 0 \ \Rightarrow 2-x &> 0 \quad |+x \notag \\ 2 > x \ \Leftrightarrow \ x& \end{align*}

Für den Definitionsbereich von f(x) müssen alle Bedingungen, die geprüft wurden, erfüllt sein. Welche x-Werte erfüllen alle 3 Bedingungen? Am Einfachsten kann man sich das am Zahlenstrahl klar machen.

Definitionsbereich einer Funktion

Der maximale Definitionsbereich für die Funktion f(x) lautet demnach

    \begin{align*} D_f = \underbrace{(-\infty,1) \cup (1,2)}_{\textrm{Intervallschreibweise}} = \left\{x \in \mathbb{R} | x<1 \vee 1<x<2 \right\}. \end{align*}

 

Schau dir vertiefend zum Thema Definitionsbereich nochmal Daniels Lernvideo an.

Definitionsbereich, Nachhilfe online, Hilfe in Mathe, einfach erklärt | Mathe by Daniel Jung

 

Wertebereich

Der Wertebereich W ist die Menge von y-Werten, die du erhältst, wenn du jedes mögliche x in die Funktion f(x) einsetzt. Anders gesagt: Alles, was für y rauskommen kann! Betrachten wir den Wertebereich des folgenden Graphen:

Wertebereich Kurvendiskussion

    \begin{align*} W = [-8;\infty) \notag \end{align*}

Hierbei ist -8 der niedrigste y-Wert, der erreicht wird. Nach oben gibt es jedoch keine Begrenzung; es kann jeder positive y-Wert angenommen werden. Nach dem Wertebereich wird selten bis nie gefragt. Wichtig ist bei Anwendungsaufgaben den Blick für „Höhen“/“Tiefen“ zu haben!

Wertebereich, Funktionen, Nachhilfe online, Hilfe in Mathe, einfach erklärt | Mathe by Daniel Jung

 

Extrempunkte

Vorgehen:

1. Notwendige Bedingung: f'(x)=0 \ \Rightarrow wir erhalten potentielle Extremstellen x_E!

2. Hinreichende Bedingung: f'(x_E)=0 und f''(x_E)\neq 0

Für f''(x_E) kann folgendes rauskommen:

  • f''(x_E)<0 Hochpunkt (HP)
  • f''(x_E)=0 Sattelpunkt (SP), für SP muss zudem f'''(x_E)\neq 0 sein!
  • f''(x_E)>0 Tiefpunkt (TP)

3. y-Wert der Extremstelle: x_E-Wert in f(x) einsetzen \Rightarrow E(x_E/f(x_E))

Kurvendiskussion Extrempunkte

Achtung: Es muss zwischen lokalen und globalen (oder absoluten) Extremstellen unterschieden werden! Stichwort: Randwerte!

Randwerte in f(x) einsetzen und das, was rauskommt mit y-Wert vom Extrempunkt vergleichen! In dem obigen Bild sieht man, dass der höchste Punkt bei x=30 liegt und nicht beim errechneten Hochpunkt!

Merkt euch: Bei vorgegeben Intervall immer die Randwerte mit überprüfen! -> UNBEDINGT in der Youtube Playlist Videos zu RANDWERTEN schauen

Beispiel zu Extrempunkten

Untersuche die Funktion f(x)=\frac{2}{3}x^3+3x^2+4x mit D = \mathbb{R} auf Extremstellen.

1. Erste Ableitung bilden und gleich Null setzen: f'(x)=2x^2+6x+4=0 liefert die möglichen Extremstellen x_1=-2 und x_2=-1.

2. Zweite Ableitung bilden und Extremstellen einsetzen: f''(x)=4x+6

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3. y-Wert des Hoch- und Tiefpunktes berechnen:

    \begin{align*} y=f(-2)=-\frac{4}{3} \quad \textrm{und} \quad y=f(-1)=-\frac{5}{3} \end{align*}

Die Funktion f(x) besitzt einen Hochpunkt bei (-2|-4/3) und einen Tiefpunkt bei (-1|-5/3).

 

Schau dir zum Thema Extremwerte beide Videos von Daniel an!

Extremstellen/Extrempunkte Teil 1, 1.Ableitung=0 und f´´(x) ungleich 0 | Mathe by Daniel Jung

Extremstellen/Extrempunkte Teil 2, mit Monotonietabelle | Mathe by Daniel Jung

 

Wendepunkte

Vorgehen:

1. Notwendige Bedingung: f''(x)=0 \ \Rightarrow wir erhalten potentielle Wendestellen x_W!

2. Hinreichende Bedingung: f''(x_W)=0 und f'''(x_W)\neq 0
Für f'''(x_W) kann folgendes rauskommen:

  • f'''(x_W)<0 Links-rechts-Wendestelle
  • f'''(x_W)>0 Rechts-links-Wendestelle

3. y-Wert der Wendestelle: x_W-Wert in f(x) einsetzen \Rightarrow W(x_W/f(x_W))

Graphisch betrachtet handelt es sich bei einem Wendepunkt um einen Punkt, an dem der Funktionsgraph sein Krümmungsverhalten ändert. Er wechselt an dieser Stelle entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt. Hinweise, wann man den Wendepunkt berechnen soll sind, wenn:

  • nach der stärksten Zunahme vom Graph
  • nach der stärksten Abnahme vom Graph

gefragt ist.

Kurvendiskussion Wendepunkte

Schaut euch unbedingt den Abschnitt „Was ist in der Funktion gegeben?“ an.
Wenn f(x) schon die Geschwindigkeit angibt und es wird nach der stärksten Zunahmegeschwindigkeit gefragt, dann benötigt man den Hochpunkt!

Auch hier wieder der Hinweis mit den Randwerten! Hier sollten bei einem vorgegeben Intervall in die 1. Ableitung Randwerte und x-Wert von WP eingesetzt werden. Das, was jeweils raus kommt (die Änderung/Zunahme bei positivem Wert oder Abnahme bei negativem Wert) mit errechneten Wendestellen vergleichen.

Beispiel zu Wendepunkten

Untersuche die Funktion f(x)=\frac{2}{3}x^3+3x^2+4x mit D = \mathbb{R} auf Wendestellen.

1. Zweite Ableitung bilden und gleich Null setzen: f''(x)=4x+6=0 liefert die mögliche Wendestelle x=-1,5.

2. Dritte Ableitung bilden und Wendestellen einsetzen: f'''(x)=4\neq 0. Da in der dritten Ableitung kein x vorkommt, sind wir hier fertig, denn die dritte Ableitung ist immer ungleich Null! Es liegt ein Rechts-links Wendepunkt vor.

3. y-Wert des Wendepunktes berechnen: y=f(-1,5)=-1,5.

Die Funktion f(x) besitzt einen Wendepunkt bei (-1,5|-1,5).

 

Schau dir die beiden Lernvideos von Daniel zum Thema Wendestellen an und vertiefe dein Wissen!

Wendestellen/Wendepunkte bestimmen Teil 1, Mathehilfe online | Mathe by Daniel Jung

Wendestellen/Wendepunkte bestimmen Teil 2, Mathehilfe online | Mathe by Daniel Jung

 

Monotonie

Zur Beurteilung des Monotonieverhaltens (Steigungsverhaltens) einer Funktion f(x) kann die Ableitung f'(x) betrachtet werden. Bekanntlich liefert die erste Ableitung einer Funktion f(x) die Steigungsfunktion f'(x), welche die an jeder Stelle x beschreibt, ob der Graph gerade steigt (\nearrow) oder fällt (\searrow). Damit lässt sich der \textit{Monotoniesatz} wie folgt formulieren:

    \begin{align*} &f'(x) \geq 0 \quad \Rightarrow \quad f(x) \ \textrm{ist monoton wachsend/steigend} \notag \\ &f'(x) \leq 0 \quad \Rightarrow \quad f(x) \ \textrm{ist monoton fallend} \notag \\ \notag \\ &f'(x) > 0 \quad \Rightarrow \quad f(x) \ \textrm{ist streng monoton wachsend/steigend} \notag \\ &f'(x) < 0 \quad \Rightarrow \quad f(x) \ \textrm{ist streng monoton fallend} \notag \end{align*}

Streng monoton bedeutet hierbei, dass die Steigungsfunktion f'(x) an keiner Stelle x den Wert 0 annimmt!

Kurvendiskussion Monotonieverhalten
Streng monoton steigend – Ableitung überall echt größer Null

Kurvendiskussion Monotonieverhalten 2
Monoton steigend – Ableitung überall größer oder gleich Null

Das ganze soll euch anhand des folgenden \textbf{Beispiels} klar werden. Die Funktion

    \begin{align*} f(x)=\frac{1}{9}x^3 - \frac{1}{3}x^2 - \frac{8}{3} x + \frac{26}{9} \notag \end{align*}

soll mit Hilfe der ersten Ableitung auf ihr Monotonieverhalten untersucht werden.

Das allgemeine Vorgehen lässt sich so ungefähr beschreiben:

  1. Ableitung f'(x) bilden.
  2. f'(x)=0 setzen und Nullstellen der Ableitungsfunktion bestimmen – hier: x=-2 und x=4.
  3. überprüfung, ob Werte der Ableitungsfunktion größer oder kleiner als 0 sind – indem wir Werte, die links und rechts von den Nullstellen liegen, in die Ableitungsfunktion einsetzen. So kann ein eventueller Vorzeichenwechsel – der auf eine änderung der Steigung hinweist – schnellstens entdeckt werden. Hier zum Beispiel so: f'(x=-3); \ f'(x=0);\ f'(x=5). Man kann aber auch andere Werte einsetzen – aber nicht die Nullstellen!

Das Monotonieverhalten Lernvideo von Daniel hilft dir nochmals das Thema zu verstehen!

Monotonie, Monotonieverhalten einer Funktion, Steigung untersuchen | Mathe by Daniel Jung

 

Krümmung

Zur Beurteilung der Krümmung verwendet man häufig die zweite Ableitung. Es gilt

    \begin{align*} &f''(x) > 0 \quad \Rightarrow \quad f(x) \ \textrm{ist links gekrümmt bzw. konvex} \ \cup \notag \\ &f''(x) < 0 \quad \Rightarrow \quad f(x) \ \textrm{ist rechts gekrümmt bzw. konkav} \ \cap \notag \end{align*}

Kurvendiskussion Krümmung

Das ganze soll euch anhand des folgenden Beispiels klar werden. Die Funktion

    \begin{align*} f(x)=x^2, \quad x \in \mathbb{R} \notag \end{align*}

soll mit Hilfe der zweiten Ableitung auf ihr Krümmungsverhalten untersucht werden. Wir bilden zunächst die zweite Ableitung

    \begin{align*} f'(x)=2x \quad \Rightarrow \quad f''(x)=2>0 \notag \end{align*}

und sehen, dass die zweite Ableitung stets größer als 0 und damit linksgekrümmt bzw. konvex ist.

Krümmungsverhalten einer Funktion, Wendepunkte, Änderung der Steigung | Mathe by Daniel Jung

Wer mehr über die Konvexität einer Funktion erfahren möchte findet das in diesem Lernvideo von Daniel.

Konvex, Konkav, Krümmung bei Funktionen, Übersicht und Berechnung | Mathe by Daniel Jung