Lineare Gleichungssysteme (LGS lösen)

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Weißt du noch was eine lineare Gleichung ist? Dabei handelt es sich um eine Gleichung ersten Grades, d.h. die Variable x kommt in keiner höheren als der ersten Potenz vor. Die Parameter a und b können reelle Zahlen annehmen, wobei a\neq 0 gilt.

Allgemeine Form: \quad ax+b=0 \notag

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Gleichungssysteme lösen, Anfänge, Vokabeln, LGS lösen | Mathe by Daniel Jung

Jetzt können wir loslegen!

Von einer linearen Gleichung zum Gleichungssystem

Als lineares Gleichungssystem bezeichnet man ein System linearer Gleichungen, die mehrere Unbekannte („Variablen“) enthalten.
Schauen wir uns dazu ein kleines Beispiel an

    \begin{align*} 3x_1+4x_2&=-1 \notag \\ 2x_1+5x_2&=3 \notag \end{align*}

Der Unterschied zwischen einer linearen Gleichung und einem linearen Gleichungssystem ist das Vorhandensein

  • mehrerer Gleichungen
  • mehrerer Unbekannten

Im Zusammenhang mit Linearen Gleichungs-Systemen wird auch oft die Abkürzung „LGS“ verwendet.

Allgemeine Form:

    \begin{align*} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n &= b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n &= b_2 \\ \vdots \quad \quad \vdots \quad \quad \qquad & \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n &= b_m \end{align*}

Beispiel:

    \begin{align*} 3x_1 - 2x_2 + 2x_3 &= 1 \\ -2x_1 + 5x_2 - 6x_3 &= 0 \\ 4x_1 + 3x_2 - 2x_3 &= 3 \end{align*}

Gleichungssysteme mit m Gleichungen und n Unbekannten kann man folgendermaßen kategorisieren

  • Quadratisches Gleichungssystem m=n, z.B. 3 Gleichungen und 3 Unbekannte
  • Unterbestimmtes Gleichungssystem m<n, z.B. 2 Gleichungen und 3 Unbekannte
  • Überbestimmtes Gleichungssystem m>n, z.B. 3 Gleichungen und 2 Unbekannte

Bei dem Thema lineare Gleichungssysteme geht es hauptsächlich darum, diese zu lösen. Dazu bedient man sich sog. Lösungsverfahren, die dir bei der Ermittlung der Lösung helfen sollen. In der Schule beschäftigt man sich in der Regel mit folgenden Verfahren

  • Additionsverfahren
  • Einsetzungsverfahren
  • Gleichsetzungsverfahren

Jedes Verfahren kann man zum lösen von Gleichungssystemen nutzen. Jedoch ist das Additionsverfahren das Wichtigste, da für lineare Gleichungssysteme mit drei oder mehr Variablen systematische Lösungsverfahren genutzt werden sollten. Hier ist insbesondere das Gauss-Verfahren zu nennen, das auf einem Additionsverfahren beruht.

Es werden 3 Fälle für die Lösungen von Gleichungssystemen unterschieden:

  • eine eindeutige Lösung, wenn z.B. als Lösung x_1=5, x_2=4 herauskommt.
  • keine Lösung, wenn z.B. als Lösung 3=4 eine falsche Aussage herauskommt.
  • unendlich viele Lösungen, wenn z.B. als Lösung 0=0 eine allgemeingültige Aussage herauskommt.

 

LGS lösen mit Einsetzungsverfahren

Vorgehen:

  1. Auflösen einer Gleichung nach einer Variablen.
  2. Einsetzen des für diese Variable berechneten Terms in die andere Gleichung.
  3. Auflösen der so entstandenen Gleichung nach der enthaltenen Variablen.
  4. Einsetzen der Lösung in die Gleichung, die im 1. Schritt berechnet wurde, mit anschließender Berechnung der Variablen.

Beispiel für ein quadratisches Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten:

    \begin{align*} \text{I} \ \ 2x_1 + 3x_2 &= 12 \notag \\ \text{II} \quad \ \ x_1 - x_2 &= 1 \notag \end{align*}

Gleichung \text{II} nach x_1 umformen:

    \begin{align*} x_1=x_2+1 \notag \end{align*}

nun x_1 in Gleichung \text{I} einsetzen und nach der enthaltenden Unbekannten auflösen

    \begin{align*} 2(x_2+1)+3x_2&=12 \quad |\ \textrm{zusammenfassen} \notag \\ 5x_2+2 &= 12 \quad |-2 \notag \\ 5x_2&=10 \quad |:5 \notag \\ x_2&=2 \notag \end{align*}

Die Lösung x_2  =2 in die umgeformte Gleichung x_1=x_2+1 aus dem ersten Schritt einsetzen und so die andere Variable berechnen. Es folgt x_1=x_2+1=2+1=3.

Schau dir zur Vertiefung Daniels Lernvideos zum Thema LGS lösen mit „Einsetzungsverfahren“ an.

Einsetzungsverfahren, langsame Version, Teil 1, Gleichungssystem lösen | Mathe by Daniel Jung

Einsetzungsverfahren in langsamer Version, Teil 2, lineares Gleichungssystem lösen

 

LGS lösen mit Gleichsetzungsverfahren

Vorgehen:

  1. Auflösen beider Gleichungen nach der gleichen Variablen.
  2. Gleichsetzen der anderen Seiten der Gleichung.
  3. Auflösen der so entstandenen Gleichung nach der enthaltenen Variablen.
  4. Einsetzen der Lösung in eine der umgeformten Gleichung aus Schritt 1 mit anschließender Berechnung der Variablen.

Beispiel für ein quadratisches Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten:

    \begin{align*} \text{I} \ \ 2x_1 + 3x_2 = 12 \notag \\ \text{II} \quad \ \ \ x_1 - x_2 = 1 \notag \end{align*}

Beide Gleichungen nach der selben Variable umformen, z.B. x_1.

    \begin{align*} \text{Ia} \ \ x_1 &= 6 - 1,5x_2 \notag \\ \text{IIa} \ \ x_1 &=x_2 + 1 \notag \end{align*}

Nun Gleichung \text{Ia} und \text{IIa} gleichsetzen, denn es gilt x_1=x_1. Es folgt

    \begin{align*} 6 - 1,5x_2 = x_2 + 1 \notag \end{align*}

Entstandene Geichung nach x_2 auflösen:

    \begin{align*} 6 - 1,5x_2 &= x_2 + 1 \quad |+1,5x_2 \ -1 \notag \\ 5 &= 2,5x_2 \quad \ |:2,5 \notag \\ 2 &=x_2 \notag \end{align*}

Abschließend noch die Lösung in eine der umgeformten Gleichungen aus dem ersten Schritt (also in \text{Ia} oder \text{IIa}) einsetzen und die andere Variable berechnen. Wir setzen x_2=2 in \text{IIa} ein und erhalten:  x_1=2+1=3.

Daniel zeigt euch nochmal wie man mit dem Gleichsetzungsverfahren LGS lösen kann.

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LGS lösen mit Additionsverfahren

Vorgehen:

  1. Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst.
  2. Überlege, was du tun musst, damit die Unbekannte wegfällt.
  3. Berechne die Unbekannten.

Beispiel für ein quadratisches Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten:

    \begin{align*} \text{I} \ \ 2x_1 + 3x_2 &= 12 \notag \\ \text{II} \quad \ \ x_1 - x_2 &= 1 \notag \end{align*}

Entscheide, welche Unbekannten elimiert werden soll!

  • Möglichkeit 1: x_1 elimnieren, dass schaffen wir indem wir \text{I}-2\cdot \text{II} rechnen.
  • Möglichkeit 2: x_2 eliminieren, dass schaffen wir indem wir \text{I}+3\cdot \text{II} rechnen.

Hier zeigen wir euch Möglichkeit 1:

    \begin{align*} \text{I} \ \ \quad 2x_1 + 3x_2 &= 12 \notag \\ \text{II} \quad \quad \ \ x_1 - x_2 &= 1 \quad |\cdot (-2) \notag \end{align*}

    \begin{align*} \text{I} \ \ 2x_1 + 3x_2 &= 12 \notag \\ \text{IIa} \ \ -2x_1 + 2x_2 &= 2 \quad \quad |I+IIa \notag \end{align*}

    \begin{align*} \text{I} \ \ 2x_1 + 3x_2 &= 12 \notag \\ \text{IIb} \quad \quad \ \ \ \ 5x_2 &= 10 \quad \Rightarrow x_2=2 \notag \end{align*}

Zuletzt setzen wir x_2=2 in eine der beiden ursprünglichen Zeilen (also \text{I} oder \text{II}) ein, um x_1 zu berechnen. Wir setzen in \text{II} ein und erhalten:

    \begin{align*} x_1-x_2  & =1 \quad \textrm{mit}~x_1=3 \\ x_1-2  & =1 \quad |+2 \\ x_1  & =3 \end{align*}

Daniel zeigt dir, wie du mit dem Additionsverfahren LGS lösen kannst.

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Gauß-Algorithmus

Gegeben sei das Gleichungssystem

    \begin{align*} x_1 - x_2 + 2x_3 &= 0 \\ -2x_1 + x_2 - 6x_3 &= 0 \\ x_1 - 2x_3 &= 3 \\ \end{align*}

Unter dem „Lösen linearer Gleichungssysteme“ versteht man die Berechnung von Unbekannten – in diesem Fall von x_1, x_2 und x_3. Da zum Lösen eines Gleichungssystems meist mehrere Schritte notwendig sind, wird es irgendwann lästig, bei jedem Schritt das ganze Gleichungssystem nochmal abzuschreiben. Aus diesem Grund lassen wir die Unbekannten (x_1,x_2,x_3) weg und schreiben nur die Koeffizienten auf.

Statt

    \begin{align*} x_1 - x_2 + 2x_3 &= 0 \\ -2x_1 + x_2 - 6x_3 &= 0 \\ x_1 - 2x_3 &= 3 \\ \end{align*}

schreiben wir

    \begin{align*} \begin{array}{rrr|c} x_1 & x_2 & x_3 & r. S. \\ \hline 1 & -1 & 2 & 0\\ -2 & 1 & -6 & 0\\ 1 & 0 & -2 & 3 \end{array} \end{align*}

Dabei steht „r. S.“ für die rechte Seite des Gleichungssystems. Das ist der Teil, der rechts von dem Gleichheitszeichen steht. Wir erhalten also die Koeffizientenschreibweise des LGS.

Ziel des Gauß-Algorithmus ist es, mit Hilfe von zeilenweisen Umformungen (dazu gleich mehr) unter der Hauptdiagonalen Nullen zu erzeugen. Was zunächst sehr abstrakt klingt, ist eigentlich gar nicht so schwierig. Nach einigen Umformungen sieht das Gleichungssystem so aus:

    \begin{align*} \begin{array}{rrr|c} x_1 & x_2 & x_3 & r. S. \\ \hline 1 & -1 & 2 & 0\\ 0& -1 & -2 & 0\\ 0& 0 & -6 & 3 \end{array} \notag \end{align*}

Doch was hat uns diese Umformung gebracht? Erst wenn wir wieder unsere Unbekannten einfügen, wird deutlich, was uns diese Nullen bringen.

    \begin{align*} x_1 - x_2 + 2x_3 &= 0 \\ -x_2 - 2x_3 &= 0 \\ -6x_3 &= 3 \\ \end{align*}

Ist das Gleichungssystem so umgeformt, dass unter der Hauptdiagonalen nur noch Nullen sind, kann man die Unbekannten ganz leicht berechnen.

Wie komme ich aber auf die Nullen? Um die Nullen zu berechnen, darf man Zeilen

  • vertauschen
  • mit einer Zahl multiplizieren
  • durch eine Zahl dividieren
  • addieren
  • subtrahieren

Hier die schrittweise Lösung unseres Beispiels: Um die Null in der 3. Zeile und 1. Spalte zu erhalten, betrachten wir zunächst unser Ausgangsgleichungssystem.

\begin{array}{rrr|c} 1 & -1 & 2 & 0\\ -2 & 1 & -6 & 0\\ 1 & 0 & -2 & 3 \end{array} \notag

Scharfes Hinsehen verrät, dass wir unsere dritte Zeile von der ersten Zeile abziehen müssen. Ausführlich:

    \begin{align*} \begin{array}{rrr|l} 1 & 0 & -2 & 3 \qquad \text{3. Zeile}\\ 1 & -1 & 2 & 0 \qquad \text{1. Zeile}\\ \hline 0 & 1 & -4 & 3 \qquad \text{3. Zeile - 1. Zeile} \end{array} \notag \end{align*}

Unser Gleichungssystem sieht nach dem ersten Schritt also wie folgt aus:

    \begin{align*} \begin{array}{rrr|l} 1 & -1 & 2 & 0 \qquad \text{1. Zeile}\\ -2 & 1 & -6 & 0 \qquad \text{2. Zeile}\\ 0 & 1 & -4 & 3 \qquad \text{3. Zeile*} \end{array} \end{align*}

Das * zeigt uns, das es sich um eine neue Zeile handelt. Um die Null in der 2. Zeile und 1. Spalte zu erhalten, addieren wir zu der 2. Zeile zweimal die 1. Zeile:

    \begin{align*} \begin{array}{rrr|l} -2 & 1 & -6 & 0 \qquad \text{2. Zeile}\\ 2 & -2 & 4 & 0 \qquad \text{\(2 \cdot\) 1. Zeile}\\ \hline 0 & -1 & -2 & 0 \qquad \text{2. Zeile + \(2 \cdot\) 1. Zeile} \end{array} \notag \end{align*}

Unser Gleichungssystem sieht nach dem zweiten Schritt also wie folgt aus:

    \begin{align*} \begin{array}{rrr|l} 1 & -1 & 2 & 0 \qquad \text{1. Zeile}\\ 0 & -1 & -2 & 0\qquad \text{2. Zeile*}\\ 0& 1 & -4 & 3 \qquad \text{3. Zeile} \end{array} \end{align*}

Um die Null in der 3. Zeile und 2. Spalte zu erhalten, addieren wir zu der 3. Zeile die 2. Zeile und es folgt

    \begin{align*} \begin{array}{rrr|l} 1 & -1 & 2 & 0 \qquad \text{1. Zeile}\\ {\color{}0}& -1 & -2 & 0\qquad \text{2. Zeile}\\ {\color{}0}& {\color{}0}& -6 & 3\qquad \text{3. Zeile*} \end{array} \end{align*}

Da die Nullen unter der Hauptdiagonalen berechnet sind, haben wir unser Ziel erreicht. Wie man jetzt die Unbekannten berechnet, wurde bereits oben erklärt.

Merke:

  • Reihenfolge bei der Berechnung der Nullen spielt eine wichtige Rolle.
  • Zuerst muss man die beiden Nullen in der ersten Spalte berechnen – welche der beiden Nullen man zuerst berechnet, ist jedoch egal. Anschließend berechnet man die verbleibende Null in der zweiten Spalte.
  • Falls in der ersten Zeile (der ersten Spalte!) bereits eine Null vorliegt, lohnt es sich die Zeilen entsprechend zu vertauschen, um sich die Berechnung einer Null zu sparen.

 

Schau dir zur Vertiefung Daniels beiden Videos zum LGS lösen mit Gauß-Algorithmus an!

Gleichungssystem (LGS) lösen 1, Gauß-Algorithmus, Schreibweisen, Rechnung

Gleichungssystem (LGS) lösen 2, Gauß-Algorithmus, Schreibweisen, Rechnung