Sekante, Tangente und Normale

Themen auf dieser Seite:

Sekantengleichung aufstellen

Die Sekante schneidet eine Funktion f(x) in zwei Punkten. Im Sachzusammenhang gesehen beschreibt die Steigung der Sekante die durchschnittliche Änderung in einem Bereich, der durch die Schnittpunkte P_1 und P_2 der Geraden mit der Funktion gegeben ist.

Zur Erinnerung: m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} bzw. m =\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}

Sekante

Was ist in der Regel gegeben?

  • Funktion, hier f(x)=3x^2+1
  • zwei Punkte oder 2 x-Werte, hier P_1(-1|f(-1)), P_2(2|f(2))

Vorgehen:

  1. Allgemeine Geradengleichung: y=mx+b – Wir suchen also m und b!
  2. Für m: Steigung durch zwei Punkte m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
  3. Für b: m und einen der beiden Punkte in allgemeine Geradengleichung einsetzen.

Für unser Beispiel wird die Sekantengleichung wie folgt berechnet:

    \begin{align*} y&=m \cdot x+b \quad \textrm{mit} \quad m=\frac{(3\cdot 2^2+1)-(3\cdot 1^2+1)}{2-(-1)}=\frac{9}{3}=3 \ \textrm{und} \ P_2(2|13)\notag \\ \Rightarrow \quad 13&= 3 \cdot 2 + b \quad |-6 \quad \Leftrightarrow \quad b= 7 \notag \end{align*}

Die gesuchte Sekantengleichung lautet y=3x+7.

Schau dir zur Vertiefung Daniels Lernvideo zu dem Thema an!

Sekantensteigung, Tangentensteigung, Ableitung, Ableiten, Übersicht | Mathe by Daniel Jung

 

Tangentengleichung aufstellen

Sehr ausführliches Einführungsvideo von Daniel

Tangente, Tangentengleichung aufstellen mittels 1.Ableitung, Mathehilfe | Mathe by Daniel Jung

 

Die Tangente berührt eine Funktion f(x) in einem Punkt P_0. Die Steigung der Tangente m_{tan} beschreibt die Steigung in einem beliebigen Punkt x_0. Im Sachzusammenhang gesehen beschreibt die Steigung die momentane Änderung.

Zur Erinnerung:

    \begin{align*} m_{tan}=f'(x_0)\notag \end{align*}

Tangente einer Funktion

Was ist in der Regel gegeben?

  • Funktion, hier f(x)=3x^2+1
  • x-Wert, hier P(1/f(1))

Vorgehen:

  1. Allgemeine Geradengleichung gesucht: y=m \cdot x+b – Wir suchen also m und b!
  2. Ableitung bestimmen f'(x) , hier f'(x)=m=6x
  3. für y: x-Wert in f(x) einsetzen, hier f(1)=3 \cdot 1^2+1 \Rightarrow y=4
  4. für m: x-Wert in f'(x) einsetzen, hier f'(1)=6 \cdot 1 \Rightarrow m=6
  5. für b: m und y in allgemeine Geradengleichung einsetzen.

Für unser Beispiel folgt:

    \begin{align*} y&=m \cdot x+b \notag \\ \Leftrightarrow \quad 4&= 6 \cdot 1 + b \notag \\ \Leftrightarrow \quad 4&=6+b  \quad |-6 \quad \Rightarrow \quad b= -2 \notag \end{align}

Die gesuchte Tangentengleichung lautet: y=6x-2

Playlist: Specials/Sonderheiten wie Tangentengleichung, Winkel, Parallelen, etc…

 

Normale, Senkrechte bzw. Orthogonale

Die Ableitung einer Funktion f(x) an einem Punkt P_0 ist gleich der Steigung der Tangente m_{tan} an diesem Punkt. Die Normale verläuft senkrecht (othogonal) zur Tangente an diesem Berührungspunkt. Ihre Steigung ist der negative Kehrwert der Steigung der Tangente.

Wie wir bereits kennengelernt haben, wird die Steigung der Tangente durch

    \begin{align*} m_{tan}=f'(x_0) \end{align*}

bestimmt. Die Steigung der Normalen lautet demnach:

    \begin{align*} m_{norm}=-\frac{1}{m_{tan}}=-\frac{1}{f'(x_0)} \end{align*}

Normale einer Funktion

Was ist in der Regel gegeben?

  • Funktion, hier f(x)=3x^2+1
  • x-Wert, hier P(1|f(1))

Vorgehen:

  1. Allgemeine Geradengleichung gesucht: y=m \cdot x+b
  2. Ableitung f'(x) und Steigung der Tangente m_{tan} bestimmen, hier f'(1)=6=m_{tan}
  3. Steigungen der Normalen bestimmen, hier m_{norm}=-1/m_{tan}=-1/6
  4. für b: m_{norm} und P(1|4) in Geradengleichung einsetzen

Für unser Beispiel folgt:

    \begin{align*} y&=m \cdot x+b \notag \\ \Rightarrow \quad 4&= -\frac{1}{6}\cdot 1 + b \quad |+\frac{1}{6} \quad \Rightarrow b = \frac{25}{6} \notag \end{align*}

Die gesuchte Normalengleichung lautet: y=-\frac{1}{6}x+\frac{25}{6}

Ganz wichtig: Es muss immer m_{tan}\cdot m_{norm}=-1 gelten!

 

Schau dir zur Vertiefung Daniels Playlist zu dem Thema an!

Playlist: Von Sekantensteigung zur Tangentensteigung (Ableitung), Differentialrechnung, Momentane/durchschnittliche Änderungsrate/Geschwindigkeit