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Geraden in besonderer Lage

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Parallelen zur y-Achse.

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Parallelen zur x-Achse.

Sondergeraden, Parallelen zur x- und x-Achse | Mathe by Daniel Jung

 

Mehrfache Nullstellen

Doppelte Nullstelle, zum Beispiel

    \begin{align*} 0&=\frac{1}{12}x^4-\frac{3}{2}x^2 \notag \\ 0&=x^2(\frac{1}{12}x^2-\frac{3}{2}) \notag \\ x^2&=0 \ \vee \ \frac{1}{12}x^2-\frac{3}{2}=0 \notag \end{align*}

Bei 0 ist eine doppelte Nullstelle.

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Dreifache Nullstelle (selten bis nie), zum Beispiel:

    \begin{align*} f(x)=(x+4)^3(x-1) \notag \end{align*}

Bei -4 ist somit eine dreifache Nullstelle.

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Achsenabschnittsweise/Sückweise definierte Funktionen

In der Mathematik ist eine abschnittsweise definierte Funktion eine Funktion, die mehrere Unter-Funktionen hat, und jede ist gültig für bestimmte Werte für x! Wir betrachten die Funktion

    \begin{align*} g(x)=\left\{ \begin{array}{ll} f(x) \ \ \text{für} \ \ 0 \leq x \leq 2 \\ h(x) \ \ \text{für} \ \ x>2 \end{array} \right. \notag \end{align*}

Das bedeutet, das für x-Werte zwischen 0 und 2 die Funktion f(x) den Verlauf von g(x) beschreibt. Für x-Werte größer 2, wird die Funktion g(x) durch h(x) beschrieben.

Achsen abschnittsweise definierte Funktion, Beispielgraph, Koordinatensystem | Mathe by Daniel Jung

 

Abstand von zwei Punkten

Eine allgemeine Formel, die den Abstand von zwei Punkten berechnet, lautet

    \begin{align*} d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \notag \end{align*}

Beispiel: Berechne den Abstand der Punkte P_1(1|2); ~ Q(3|10)

    \begin{align*} d&=\sqrt{(1-3)^2+(2-10)^2} \notag \\ d&= 8,25 \ [\textrm{LE}] \notag \end{align*}

Abstand von 2 Punkten, Analysis, Funktionen, Wurzelformel | Mathe by Daniel Jung

Senkrechter Abstand

Für den senkrechten Abstand zweier Funktionen bildet man die Differenzenfunktion

    \begin{align*} d(x)=g(x)-f(x). \notag \end{align*}

Den Abstand muss man häufig bei Extremwertaufgaben oder bei der Fläche zwischen 2 Graphen bestimmen.

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Dabei beschreibt d(x) die Zielfunktion, die die Differenz der beiden Funktionen f und g, also den senkrechten Abstand angibt. Diese Funktion muss auf Extremstellen untersucht werden. Wenn ein Hochpunkt rauskommt ist der senkrechte Abstand maximal und wenn ein Tiefpunkt rauskommt ist der senkrechte Abstand minimal.

Differenzfunktion, Anwendungsmöglichkeiten | Mathe by Daniel Jung

 

Winkel zwischen einer Geraden und x-Achse

Der Steigungswinkel einer Geraden ist derjenige im mathematisch positiven Sinn (gegen den Uhrzeigersinn) gemessene Winkel \alpha, den die Gerade mit der positiven x-Achse einschließt. Der Tangens des Steigungswinkels einer Geraden ist für \alpha \neq 90 gleich ihrer Steigung m: \tan (\alpha)=m

studyhelp(45)Erklärvideo zum Schnittwinkel mit der x-Achse

Schnittwinkel von Funktionen mit der x-Achse, Formel tan(alpha)=m | Mathe by Daniel Jung

 

Erklärvideo zum Schnittwinkel mit der y-Achse

Schnittwinkel von Funktionen mit der y-Achse, Mathehilfe online, Erklärvideo | Mathe by Daniel Jung

 

Winkel zwischen zwei Geraden

Der Schnittwinkel \alpha zwischen den Graphen zweier linearer Funktionen mit den Steigungen m_1 bzw. m_2 berechnet sich mittels

    \begin{align*} \tan(\alpha) = \left|\frac{m_1 - m_2}{1+m_1m_2}\right|. \notag \end{align*}

bil_winkelgg

Stehen die Geraden senkrecht zueinander, gilt: m_1 \cdot m_2=-1

Achtung bei kurvigem Verlauf zweier Funktionen: dann erst Steigungen an gefragter Stelle bestimmen und diese dann multiplizieren!

 

Quadranten

Die Abbildung zeigt, welchen Bereich des Koordinatensystems mit welchem Quadranten beziffert werden. So heißt z.B. der Bereich oberhalb der x-Achse und rechts der y-Achse Quadrant I.

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Quadranten im Koordinatensystem, Beschriftung, I, II, III, IV | Mathe by Daniel Jung