Trassierung

Trassierung, glatter Übergang, Knickfrei, Funktionen aufstellen

Trassierungsaufgaben verlangen von uns, Funktionsgraphen, gerne auch zwei Geraden, knickfrei (glatter Übergang) zu verbinden. Aus der Information knickfrei ziehen wir, dass die Steigung der Funktionen an den Punkten P_1 und P_2 gleich ist. Weitere Begriffe, die im Zusammenhang mit Trassierung fallen, sind ohne krümmungsruck oder krümmungsruckfrei. Das bedeutet lediglich, dass die Krümmung am Übergangspunkt identisch sein soll. Für das nachfolgende Vorgehen soll f die gesuchte Funktion sein, die die bekannten Funktionen g und h miteinander verbinden soll.

Vorgehen:

1. Aufgabenstellung sorgfältig lesen – Welchen Grad soll die zu erstellende Funktion haben? Wenn im Text nicht anders vorgegeben, z.B. Funktion 2. Grades hat die Form f(x)=ax^2+bx+c, dann gilt meist:

\bullet Treten nur die Begriffe ohne Sprung und ohne Knick / knickfrei auf hat die gesuchte Funktion den Grad 3.

    \begin{align*} f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \end{align*}

\bullet Tritt zusätzlich der Begriff ohne krümmungsruck auf hat die gesuchte Funktion den Grad 5.

    \begin{align*} f(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f \end{align*}

2. Aufstellen der allgemeinen Funktionsgleichung f(x) sowie der 1. und, wenn krümmungsruckfrei verlangt wird, 2. Ableitung

3. Bedingungen aufstellen

\bullet ohne Sprung: g(x_1)=f(x_1) und h(x_2)=f(x_2)
\bullet ohne Knick: g'(x_1)=f'(x_1) und h'(x_2)=f'(x_2)
\bullet ohne Krümmungsruck: g''(x_1)=f''(x_1) und h''(x_2)=f''(x_2)

4. Alle Informationen in mathematische Gleichungen übersetzen, LGS aufstellen und lösen.

5. Funktionsgleichung aufschreiben

 

Beispiel Trassierung mit Geraden

Schauen wir uns dazu ein Beispiel an, um das Prinzip zu verstehen. Gegeben seien die Geraden auf ihren jeweils vorgegeben Definitionsbereichen

    \begin{align*} g(x)=2, \quad D_g=[-5;-2] \quad \textrm{und} \quad h(x)=1, \quad D_h=[2;4]. \end{align*}

In dieser Aufgabe soll die knickfreie Verbindung durch eine Funktion 3. Grades realisiert werden. Wie das ganze am Ende aussehen soll, zeigt die untere Abbildung. Wir arbeiten das obige Vorgehen ab und erkennen aus der Aufgabenstellung, dass die Funktion den Grad 3 haben soll. Eine ganz allgemeine Funktion dritten Grades sieht so aus: f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

Trassierung Geraden

Es gilt also 4 Unbekannte zu bestimmen: a, b, c und d. Dazu benötigen wir 4 Bedingungen. Zunächst aber bilden wir kurz die 1. Ableitung.

    \begin{align*} f'(x)=3ax^2+2bx+c \end{align*}

Die 2. Ableitung ist nicht notwendig, da keine Information bezüglich des Krümmungsrucks vorliegt. Jetzt stellen wir die Bedingungen auf:

    \begin{align*} \text{ohne Sprung:} \quad g(-2) &=f(-2) \quad \Rightarrow 3=a(-2)^3+b(-2)^2-2c+d \\ \text{ohne Sprung:} \quad h(2) &=f(2) \quad \Rightarrow 1=a(2)^3+b(2)^2+2c+d \\ \text{ohne Knick:} \quad g'(-2) &=f'(-2) \quad \Rightarrow 0=a(-2)^2-2b+c \\ \text{ohne Knick:} \quad h'(2) &=f'(2) \quad \Rightarrow 0=a(2)^2+2b+c \\ \end{align*}

In diesem einfachen Beispiel ist die 1. Ableitung (Steigung) der Geraden g und h gleich Null, da die Geraden parallel zur x-Achse verlaufen. Das Gleichungssystem bestehend aus 4 Gleichungen müssen wir jetzt mit den uns bekannten Verfahren oder dem Taschenrechner lösen. In diesem Fall gibt es keine eindeutige Lösung, sondern unendlich viele. Wir sagen also, dass z.B. a=1 sei und daraus folgt für die anderen Koeffizienten: b=0, c=-4 und d=2. Die gesuchte Funktionsgleichung lautet

    \begin{align*} f(x)=x^3-4x+2, \quad D_f=[-2;2]. \end{align*}

An dieser Stelle wollen wir uns noch ein weiteres Beispiel angucken, bei dem es eine eindeutige Lösung gibt. Es sind zwei Geraden

    \begin{align*} g(x)=-4x-14, \ \ -5 \leq x \leq -2 \quad \textrm{und} \quad h(x)=6x-6,5, \ \ 0,5 \leq x \leq 3, \end{align*}

gegeben, die jeweils nur in einem bestimmten Abschnitt definiert sind. Diese beiden Geraden sollen nun so miteinander verbunden werden, dass sie eine knickfreie Parabel darstellen.

Die untere Skizze stellt die qualtiativen Verläufe der Geraden und der gesuchten Parabel anschaulich dar. Eine allgemeine Funktionsgleichung einer Parabel und dessen erster Ableitung lautet:

    \begin{align*} f(x)&=ax^2+bx+c \\ f'(x)&=2ax+b \end{align*}

Trassierung

Es müssen 3 Unbekannte bestimmt werden. Im nächsten Schritt überlegen wir uns die Bedingungen.

    \begin{align*} \text{ohne Sprung:} \quad g(-2) &=f(-2) \quad \Rightarrow -6=a(-2)^2-2b+c \\ \text{ohne Sprung:} \quad h(0,5) &=f(0,5) \quad \Rightarrow -3,5=a(0,5)^2+0,5b+c \\ \text{ohne Knick:} \quad g'(-2) &=f'(-2) \quad \Rightarrow -4=-4a+b \\ \text{ohne Knick:} \quad h'(0,5) &=f'(0,5) \quad \Rightarrow 6=a+b \\ \end{align*}

Nach dem Auflösen des Gleichungssystem erhalten wir für die Unbekannten a=2, b=4 und c=-6 und die gesuchte Parabelgleichung

    \begin{align*} f(x)=2x^2+4x-6, \quad D_f=[-2;0,5]. \end{align*}

Trassierung mit Geraden, Funktionsgleichung aufstellen, Steckbriefaufgabe, Rekonstruktion