Trigonometrische Funktionen

Themen auf dieser Seite

Sinusfunktion

Wichtige Eigenschaften der Sinusfunktion f(x)=\sin(x):

  • Die Sinusfunktion ist eine periodische Funktion mit Periode 2\pi, d.h. dass der Graph der Sinusfunktion sich nach jeder Periode wiederholt.
  • Definitionsbereich D=\mathbb{R}
  • W=[-1;1]
  • schneidet die y-Achse bei (0|0)
  • punktsymmetrisch zum Ursprung

Trigonometrische Funktionen - Sinusfunktion

Die allgemeine Sinusfunktion lautet: f(x)=a \sin(bx+c) +d

 

Cosinusfunktion

Wichtige Eigenschaften der Cosinusfunktion f(x)=\cos(x):

  • Die Cosinusfunktion ist eine periodische Funktion mit Periode 2\pi, d.h. dass der Graph der Cosinusfunktion sich nach jeder Periode wiederholt.
  • Definitionsbereich D=\mathbb{R}
  • W=[-1;1]
  • schneidet die y-Achse bei (0|1)
  • achsensymmetrisch zum Ursprung

Trigonometrische Funktionen - Cosinus

Die allgemeine Cosinusfunktion lautet: f(x)=a \cos(bx+c) +d

 

Tangensfunktion

Wichtige Eigenschaften der Tangensfunktion f(x)=\tan(x):

  • die Tangensfunktion sich in regelmäßigen Abständen wiederholt, deswegen nennt man die Tangensfunktion auch periodisch
  • Der Abstand zwischen zwei Wiederholungen nennt man die kleinste Periode T.

Trigonometrische Funktionen - Tangens

  • Eine weitere Eigenschaft der Tangensfunktion ist, dass ihr Graph punktsymmetrisch zum Ursprung (0/0) ist
  • W=\mathbb{R}

 

Ableiten von sin, cos und tan

Schau dir zur Einführung das Lernvideo zum Thema Ableiten der Trgonometrischen Funktionen an.

Ableiten, Verkettung mit sin(x), Differenzieren, Kettenregel, Ableitung | Mathe by Daniel Jung

 

Hier eine Übersicht über die Ableitungen der Sinus- und Cosinusfunktion:

    \begin{align*} f(x) = \sin(x) \quad &\Rightarrow \quad f'(x) = \cos(x) \notag \\ f(x) = \cos(x) \quad &\Rightarrow \quad f'(x) = -\sin(x) \notag \\ f(x) = -\sin(x) \quad &\Rightarrow \quad f'(x) = -\cos(x) \notag \\ f(x) = -\cos(x) \quad &\Rightarrow \quad f'(x) = \sin(x) \notag \end{align*}

Die Ableitung des Tangens ist ein wenig schwieriger:

    \begin{align*} f(x)=\tan(x)= \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x) \notag \end{align*}

Der Tangens kann auch mit der Quotientenregel abgeleitet werden, wenn man weiß, dass der Tangens mit Sinus und Cosinus zu

    \begin{align*} f(x)=\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \end{align*}

umgeschrieben werden kann. Dann folgt für die Ableitung

    \begin{align*} f'(x)=\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)} =\frac{1}{\cos^2(x) } \end{align*}

mit \cos^2(x)+\sin^2(x)=1.

Schau dir zur Vertiefung Daniels Playlist zum Thema Trigonometrische Funktionen an.

Playlist: Trigonometrische Funktionen, Winkelfunktionen, sin(x), cos(x), tan(x), arcus