Kreise und Kugeln

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Einführung Kreise

Ist der Mittelpunkt eines Kreises vom Koordinatenursprung O(0|0) verschieden, so haben die Ortsvektoren der Punkte des Kreises keine einheitliche Länge. Es gilt aber immer noch, dass der Abstand jedes Punktes X des Kreises vom Mittelpunkt M konstant, und zwar gleich dem Radius r ist. Durch Parallelverschiebung erhält man dann einen Kreis, dessen Mittelpunkt nicht im Ursprung, sondern in einem beliebigen Punkt M (x_M|y_M) des Koordinatensystems, liegt. Die Gleichung wird dann als Verschiebungsform bezeichnet.

Kreise berechnen

Sei \vec{m}\in \mathbb{R}^2 der Ortsvektor des Mittelpunktes M. Die Menge aller Punkte X, deren Ortsvektoren \vec{x}\in \mathbb{R}^2 die Gleichung

    \begin{align*} k: \ (\vec{x}-\vec{m})^2 = r^2 \notag \end{align*}

erfüllen, ist der Kreis in der x_1x_2-Ebene um den Mittelpunkt M mit dem Radius r.
Koordinatengleichung:

    \begin{align*} k: \ (x-x_M)^2+(y-y_M)^2=r^2 \notag \end{align*}

 

Beispiel

Mittelpunkt M(4|8) und Radius r=3 gegeben! Stellen sie die Kreisgleichung in der Ebene in Koordinaten- und Vektorform auf.

    \begin{align*} k: \ (x-4)^2+(y-8)^2=3^2 \quad \textrm{bzw.} \quad k: \ \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \end{pmatrix} \right]^2 = 3^2 \ \Leftrightarrow \ \left[ \begin{pmatrix} x-4 \\ y-8 \end{pmatrix} \right] = 9 \notag \end{align*}

 

Einführung Kugel

Eine Kugel, im Sinne von Kugelfläche, wird als Menge aller Punkte des Raumes definiert, die von einem fest vorgegebenen Mittelpunkt M einen festen Abstand r haben.
Kugel Einführung

Sei \vec{m}\in \mathbb{R}^3 der Ortsvektor des Mittelpunktes M. Die Menge aller Punkte X, deren Ortsvektoren \vec{x}\in \mathbb{R}^3 die Gleichung

    \begin{align*} K: \ (\vec{x}-\vec{m})^2 = r^2 \notag \end{align*}

erfüllen, ist die Kugel um den Mittelpunkt M mit dem Radius r.

Koordinatengleichung:

    \begin{align*} k: \ (x-x_M)^2+(y-y_M)^2+(z-z_M)^2=r^2 \notag \end{align*}

Jeder Punkt P der Kugel lässt sich durch seine kartesischen Koordinaten (x_1|x_2|x_3) eindeutig beschreiben. Es sei an dieser Stelle nur darauf hingewiesen, dass Kugeln auch mit den Kugelkoordinaten r,\ \theta, \ \varphi beschrieben werden können.

 

Beispiel

Gegeben ist der Mittelpunkt M(4|8|-2) und der Radius r=5. Es soll die Kugelgleichung in Koordinaten- und Vektorform aufgestellt werden.

    \begin{align*} k: (x-4)^2+(y-8)^2+(z+2)^2=5^2 \quad \textrm{bzw.} \quad k: \left[ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ -2 \end{pmatrix} \right]^2 = 5^2 \notag \end{align*}

Lass dir die Kugelgleichung in Vektorform nochmals von Daniel erklären.

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Lagebeziehung Kreis zu Punkt

Um die Lage zu beurteilen, berechnen wir den Abstand des Punktes P vom Mittelpunkt M des Kreises mit d(M;P)=\sqrt{(x_1-x_M)^2 + (y_1 - y_M)^2}. Dann ist ein beliebiger Punkt P(x_1|y_1)

  • ein Punkt des Kreises, wenn d(M;P) = r gilt.
  • ein innerer Punkt des Kreises, wenn d(M;P)< r gilt.
  •  ein ist äußerer Punkt des Kreises, wenn d(M;P)> r gilt.

Beispiel Gegeben ist die Kreislgeichung k: (x-4)^2+(y+1)^2=49 und der Punkt P(-8|4). Wir möchten jetzt den Abstand von P zum Kreis k bestimmen.

Lage Kreise Punkt

Dem Aufgabentext können wir entnehmen, dass der Mittelpunkt des Kreises bei M(4|-1) liegt und der Kreis einen Radius von r=7 hat. Der Abstand des Punktes vom Kreis beträgt

    \begin{align*} d(M;P)&=\sqrt{(-8-4)^2 + (4 - (-1))^2} \\ &=\sqrt{169}=13 \end{align*}

und damit liegt der Punkt außerhalb des Kreises, da gilt: d(M;P)=13>7=r. Da der Punkt außerhalb liegt, wird der Radius des Kreises abgezogen und damit ist der Abstand des Punktes vom Kreis d(P;k)=13-7=6.

 

Kreis – Gerade

Gegeben seien ein Kreis k in Koordinatenform und eine Gerade beschrieben durch g: \ y = mx+b.

Wie können Kreis und Gerade zueinander liegen?

  • Gerade schneidet Kreis in zwei Punkten S_1 und S_2, sie ist Sekante des Kreises.
  • Gerade berührt Kreis in einem Punkt B, sie ist Tangente des Kreises.
  • Gerade schneidet Kreis nicht, sie ist Passante des Kreises.

Lage Kreise Geraden

Zur Lagebestimmung wird die Geradengleichung in die Kreisgleichung für y eingesetzt:

    \begin{align*} (x-x_M)^2 + ( [ mx+b]-y_M)^2 = r^2 \notag \end{align*}

Wenn die Gleichung

  • zwei Lösungen hat, dann schneidet die Gerade den Kreis in zwei Schnittpunkten und man kann die Schnittpunkte S_1 und S_2, sowie die Länge der Sekante \overline{S_1S_2} von Kreis und Gerade berechnen.
  •  genau eine Lösung hat, dann berührt die Gerade den Kreis in einem Berührpunkt B.
  •  keine Lösung hat, dann schneidet die Gerade den Kreis nicht und der Abstand d von Gerade und Kreis kann berechnet werden: d(g;k)=d(g;M)-r, wobei der Abstand von der Gerade und dem Mittelpunkt am besten über die Hessesche Normalform berechnet werden sollte.

 

Beispiel Sekante

Gegeben sei die Gerade y=x+3 und die Kreisgleichung k: (x-3)^2+(y+1)^2=25. Wie liegen Gerade und Kreis zueinander?

Wir setzen die Geradengleichung in die Kreisgleichung ein

    \begin{align*} (x-3)^2+(x+3+1)^2=25 \quad \Leftrightarrow \quad 2x^2+2x=0 \end{align*}

und lösen nach der Unbekannten x mit den uns bekannten Verfahren auf. Wir erhalten zwei Lösungen mit x_1=0 und x_2=-1. Damit schneidet die Gerade den Kreis in zwei Punkten und ist eine Sekante des Kreises. Wenn wir die Lösungen für x in die Geradengleichung einsetzen, erhalten wir die Schnittpunkte der Gerade mit dem Kreis: S_1(0|3) und S_2(-1|2).

 

Beispiel Passante

Gegeben sei die Gerade y=x+3 und die Kreisgleichung k: (x-4)^2+(y+1)^2=9. Wie liegen Gerade und Kreis zueinander?

Wir setzen die Geradengleichung in die Kreisgleichung ein

    \begin{align*} (x-4)^2+(x+3+1)^2=25 \quad \Leftrightarrow \quad x^2=-23 \ \lightning \end{align*}

und lösen nach der Unbekannten x mit den uns bekannten Verfahren auf. Wir sehen, dass die quadratische Gleichung keine Lösung hat, da wir keine Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen können. Damit schneidet die Gerade den Kreis nicht und ist Passante des Kreises. Wir berechnen noch den Abstand der Gerade vom Kreis mit der Hesseschen Normalform (kurz: HNF).

Kreise Passante

Die Geradengleichung schreiben wir um, in dem wir alles nach links bringen und teilen sie durch den Betrag vom Normalenvektor. Die HNF der Geraden lautet:

    \begin{align*} g: \ \frac{-x+y-3}{\sqrt{(-1)^2+1^2}}=0 \end{align*}

Wir setzen zunächst den Mittelpunkt des Kreises mit M(4|-1) in die Geradengleichung einsetzen und erhalten den Abstand des Kreises zum Mittelpunkt mit

    \begin{align*} d(g;M)= \left| \frac{-4-1-3}{\sqrt{2}} \right| =\frac{8}{\sqrt{2}} \approx 5,6. \end{align*}

Der Abstand von Gerade zu Kreis beträgt demnach d(g;k)=5,6-3=2,6.

 

Kugel – Punkt

Um die Lage zu beurteilen, berechnen wir den Abstand des Punktes P vom Mittelpunkt M der Kugel mit d(M;P)=\sqrt{(x_1-x_M)^2 + (y_1 - y_M)^2+(z_1 - z_M)^2}. Dann liegt ein beliebiger Punkt P(x_1|y_1|z_1)

  • auf der Kugel, wenn d(M;P) = r gilt.
  • innerhalb der Kugel, wenn d(M;P)< r gilt.
  • außerhalb der Kugel, wenn d(M;P)> r gilt.

Hinweis: Eine Kugel ist in der Vektorgeometrie immer eine Hohlkugel. Das bedeutet, dass das Innere nicht zur Kugel gehört. Die Kugelgleichung beschreibt also nur die Kugeloberfläche!

 

Kugel – Gerade

Gegeben seien eine Kugel K in Koordinatenform und eine Gerade beschrieben durch g: \vec{x} = \vec{a}+t \cdot \vec{r}.

Wie können Kugel und Gerade zueinander liegen?

  1. Gerade schneidet Kugel in zwei Punkten, sie ist Sekante der Kugel.
  2. Gerade berührt Kugel in einem Punkt, sie ist Tangente der Kugel.
  3. Gerade schneidet Kugel nicht, sie ist Passante der Kugel.
Kugel Gerade

Drei verschiedene Lagebeziehungen von Kugel und Gerade.

Zur Lagebestimmung wird die Geradengleichung in 3 Gleichungen x = a_1 + t r_1, \ y = a_2 + t r_2, \ z = a_3 + t r_3 unterteilt und in die Kugelgleichung eingesetzt:

    \begin{align*} ([a_1 + t r_1]-x_M)^2 + ( [a_2 + t r_2]-y_M)^2 + ( [a_3 + t r_3] - z_M)^2 = r^2 \notag \end{align*}

Es resultiert immer eine quadratische Gleichung. Wenn die Gleichung

  • zwei Lösungen hat, dann schneidet die Gerade die Kugel in zwei Schnittpunkten und man kann die Schnittpunkte
    S_1 und S_2, sowie die Länge der Sekante \overline{S_1S_2} von Kugel und Gerade berechnen.
  • genau eine Lösung hat, dann berührt die Gerade die Kugel in einem Berührpunkt B.
  • keine Lösung hat, dann schneidet die Gerade die Kugel nicht und der Abstand d von Gerade und Kugel könnte berechnet werden.

 

Beispiel Berührpunkt

Untersuche die Lage der Kugel k mit der Geraden g mit

    \begin{align*} k: (x+1)+(y-3)+(z+2)^2=27 \ \textrm{und} \ g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}. \end{align*}

Wir befolgen das obige Vorgehen zur Lagebestimmung und setzen die Geradengleichung in die Kugelgleichung ein:

    \begin{align*} (-1+3t+1)^2+(-4+4t-3)^2+(t+2)^2=27 \quad \Leftrightarrow \quad t^2-2t+1=0 \end{align*}

Wir erhalten die einzige Lösung t=1. Damit berührt die Gerade die Kugel in einem Berührpunkt und ist Tangente der Kugel. Wenn wir die Lösungen für t in die Geradengleichung einsetzen, erhalten wir den Berührpunkt: B(2|0|1).

 

Kugel – Ebene

Wie können Kugel und Ebene zueinander liegen?

  1. Die Ebene schneidet die Kugel in einem Schnittkreis.
  2. Die Ebene berührt die Kugel in einem Punkt – Tangentialebene.
  3. Die Ebene und die Kugel schneiden sich nicht.
Kugel Ebene

Drei verschiedene Lagebeziehungen von Kugel und Ebene.

Gegeben sei die Ebene E: n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3x_3 -q = 0 und die Kugel mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r. Den Abstand von Kugel und Ebene erhalten wir durch die Gleichung

    \begin{align*} d(M;E) = \frac{n_1 m_1 + n_2 m_2 + n_3 m_3-q}{\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2}}, \notag \end{align*}

wobei m_1, \ m_2 und m_3 die Koordinaten des Mittelpunktes des Kreises K sind.

Wenn der berechnete Abstand d

  • kleiner als r ist, schneiden sich Kugel und Ebene in einem Schnittkreis.
  • gleich r ist, besitzen Kugel und Ebene genau einen gemeinsamen Punkt, den Berührpunkt B. Die Ebene E ist dann eine Tangentialebene der Kugel K.
  • größer als r ist, so besitzen Kugel und Ebene keine gemeinsamen Punkte.

Wenn nach dem Schnittkreis gefragt wird, reicht es in der Regel den Mittelpunkt und den Radius des Kreises anzugeben. Hierfür solltet ihr folgende Schritte durchführen.

Vorgehen zur Bestimmung des Schnittkreises:

  • Lotgerade aufstellen: Geradengleichung in Parameterform durch Kugelmittelpunkt M mit dem Normalenvektor \vec{n} von der Ebene E als Richtungsvektor:

        \begin{align*} g : \vec{x} = \vec{m}+t\cdot \vec{n} \notag \end{align*}

  • Schnittpunkt von Lotgerade und Ebene E berechnen, indem wir die Gerade g in 3 Gleichungen umschreiben und in die Ebenengleichung einsetzen. Die resultierende Gleichung nach dem Parameter s umstellen.

        \begin{align*} n_1 \cdot (m_1 + t \cdot n_1 ) + n_2 \cdot (m_2 + t \cdot n_2 ) + n_3 \cdot (m_3 + t \cdot n_3 ) - q = 0 \notag \end{align*}

  • Einsetzen des gefundenen Wertes t in Gleichung der Lotgeraden g! Wir erhalten den Ortsvektor \vec{m'} des Schnittkreismittelpunktes M'.
  • Radius r' des Schnittkreises ergibt sich mit dem Kugelradius r und dem Abstand d=d(M;M') nach dem guten alten Satz des Pythagoras:

        \begin{align*} r^2 = {r'}^2 + d^2 \quad \Rightarrow \quad r' = \sqrt{r^2 - d^2} \notag \end{align*}

Ein Berührpunkt von E und K wird entsprechend als Schnittpunkt der Lotgeraden mit der Ebene E berechnet.

 

Beispiel Schnittkreis

Bestimme den Mittelpunkt und den Radius des Schnittkreises von

    \begin{align*} k: (x-1)^2 + (y-9)^2 + (z - 4)^2 = 85 \ \textrm{und} \ E:6x-2y+3z=49. \end{align*}

Zunächst stellen wir also die Lotgerade g auf mit dem Kugelmittelpunkt als Ortsvektor und dem Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor. Es folgt:

    \begin{align*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ - 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{align*}

Für den Schnittpunkt mit der Ebene setzen wir die Lotgerade in die Ebenengleichung ein

    \begin{align*} 6 \cdot (1+6t)-2\cdot (9-2t)+3 \cdot (4+3t)=49 \quad \Leftrightarrow \quad t=1 \end{align*}

und erhalten die Lösung t=1. Für den Mittelpunkt des Schnittkreises setzen wir t=1 in die Geradengleichung ein und erhalten M'(7|7|7). Der Radius des Schnittkreises beträgt demnach

    \begin{align*} \textrm{mit} \ d=\left| \begin{pmatrix} 6 \\ - 2 \\ 3 \end{pmatrix} \right|=\sqrt{49} \ \Rightarrow r' = \sqrt{ \sqrt{85} ^2 - \sqrt{49} ^2} = \sqrt{ 85 - 49 } = 6. \end{align*}

Daniel erklärt in seinem Lernvideo nochmal die Lagebeziehung von einer Kugel zur Ebene.

Lagebeziehung Kugel zur Ebene, Übersicht, Tangentialebene, Schnittkreis, parallel

 

Kugel – Kugel

Die gegenseitige Lage zweier Kugeln K_1 und K_2 mit den Radien r_1 und r_2 wird durch den Abstand der Mittelpunkte M_1 und M_2 bestimmt. Hier gibt es fünf mögliche Fälle:

  1. d(M_1;M_2)> r_1 + r_2 \quad \Rightarrow Die Kugeln haben keine gemeinsamen Punkte.
  2. d(M_1;M_2)= r_1 + r_2 \quad \Rightarrow Die Kugeln berühren sich von außen in einem Punkt.
  3. |r_1-r_2| < d(M_1;M_2) < r_1 + r_2 \quad \Rightarrow Die Kugeln schneiden sich in einem Schnittkreis.
  4. d(M_1;M_2)= |r_1 - r_2| \quad \Rightarrow Die Kugeln berühren sich von innen in einem Punkt.
  5. d(M_1;M_2)< |r_1 - r_2| \quad \Rightarrow Die Kugeln liegen inneinander.

Lage Kugel Kugel

Lagebeziehung Kugel zu Kugel, Übersicht, Vektorgeometrie, Mathe by Daniel Jung