Lagebeziehungen

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Schau dir zu Beginn das Einführungsvideo von Daniel zum Thema Lagebeziehungen an.

Lagen, Lagebeziehungen, Punkte, Geraden, Ebenen, Übersicht | Mathe by Daniel Jung

Jetzt kann es losgehen!

Grundlagen Lagebeziehungen

Jede Gerade lässt sich im \mathbb{R}^3 durch eine Gleichung der Form

    \begin{align*} g: \ \vec{x} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{array} \right), \quad t\in \mathbb{R} \notag \end{align*}

darstellen. Besondere Lagen ergeben sich, wenn der Stützvektor und der Richtungsvektor Nullen und Einsen als Koordinaten haben. So ist z.B. eine Gerade mit

  • a_1 = a_2 = a_3 = 0 eine Ursprungsgerade
  • u_2 = u_3 = 0 eine Parallele zur x_1-Achse
  • u_1=0 eine Parallele zur x_2x_3-Ebene
  • u_1=u_2=1, u_3=0 eine Parallele zu einer der Winkelhalbierenden zwischen der x_1-Achse und der x_2-Achse
  • u_1=u_2=u_3=1 eine Gerade, die zu jeder Achse einen Winkel von 45^o hat

Jede Ebene lässt sich durch eine Gleichung der Form

    \begin{align*} E: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{array} \right) + r \cdot \left( \begin{array}{c} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array} \right) \notag \end{align*}

darstellen.

Eine Ebene mit

  • p_1=p_2=p_3=0 geht durch den Ursprung
  • u_3=v_3=0 ist parallel zur x_1x_2-Ebene
  • u_1=u_2 = 0 ist parallel zur x_3-Achse

Wenn die Gleichung in Koordinatenform gegeben ist, erkennt man die besondere Lage einer Ebene sofort:

Fehlt ein x_i, so ist die Ebene zu dessen Achse parallel.

 

Lagebeziehungen Gerade – Gerade

Lagebeziehungen zweier Geraden

Übersicht – Lage zweier Geraden zueinander

Sonderfall: g und h schneiden sich und sind orthogonal.

Prüfung auf Orthogonalität: Skalarprodukt der Richtungsvektoren ist Null.

Beispiele

1. Untersuche die Lage der Geraden g und h mit

    \begin{align*} g: \ \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \textrm{und} \quad h: \ \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}. \end{align*}

Zuerst prüfen wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden auf Kollinearität, also ob sie Vielfache voneinander sind. Wir sehen, dass sich der Richtungsvektor der Geraden g aus dem von h ergibt, wenn dieser mit -1 multipliziert wird. Wer nicht das allsehende Auge hat, kann den Ansatz \vec{u}=r\cdot \vec{v} wählen und erhält:

    \begin{align*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = -1 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} \quad \textrm{bzw.} \quad \begin{array}{cccccc} 1 &=& r \cdot (-1) & \quad \Rightarrow \quad r = -1 \\ 2 &=& r \cdot (-2) & \quad \Rightarrow \quad r = -1 \\ 1 &=& r \cdot (-1) & \quad \Rightarrow \quad r = -1 \end{array} \end{align*}

Wenn r in allen Zeilen den gleichen Wert annimmt, sind die Richtungsvektoren kollinear. Denkt an den Abschnitt zu linearer Unabhängigkeit! Da die Werte von r in diesem Fall gleich sind, handelt es sich entweder um identische oder parallele Geraden. Um das entscheiden zu können, machen wir eine Punktprobe und setzen z.B. den Ortsvektor von h in g ein:

    \begin{align*} \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad \begin{array}{cccccc} 4 &=& 2 &+& t \cdot 1 & \quad \Rightarrow \quad t = 2 \\ 4 &=& 0 &+& t \cdot 2 &\quad \Rightarrow \quad t = 2\\ 4 &=& 2 &+& t \cdot 1 &\quad \Rightarrow \quad t = 2 \end{array} \end{align*}

Wenn t in allen Zeilen den gleichen Wert annimmt, liegt der Ortsvektor von h auf der Geraden g und damit handelt es sich in diesem Fall um identische Geraden. Merke: Kommt an dieser Stelle nicht überall der gleiche Wert für t raus, handelt es sich um parallele Geraden!

2. Untersuche die Lage der Geraden g und h mit

    \begin{align*} g: \ \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \textrm{und} \quad h: \ \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}. \end{align*}

Wir prüfen zunächst, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind:

    \begin{align*} \vec{u}=r\cdot \vec{v} \quad \Rightarrow \quad \begin{array}{cclcccccc} 2 &=& r \cdot (-1) & \quad \Rightarrow \quad & r &= &-2 \\ 2 &=& r \cdot (-1) & \quad \Rightarrow \quad & r &= &-2 \\ 1 &=& r \cdot 1 & \quad \Rightarrow \quad & r &= &1 \end{array} \end{align*}

Da nicht in allen Zeilen der gleiche Wert für r rauskommt, sind die Richtungsvektoren nicht kollinear. Damit handelt es sich entweder um zwei sich schneidende oder windschiefe Geraden. Das überprüfen wir, indem wir die beiden Geradengleichungen gleichsetzen. Wir erhalten ein LGS, welches wir mit den uns bekannten Verfahren auflösen. Das Ergebnis lautet:

    \begin{align*} \begin{array}{ccccccc} -3 &+ & 2 t & = & 4 & - & s \\ -4 &+ & 2 t & = & 3 & - & s\\ -1 &+& t & = & 1 & + & s \end{array} \quad \Rightarrow \quad t=3, \ s=1 \end{align*}

Setzen wir die Werte von t und s nun in oberste Gleichung ein, erhalten wir die wahre Aussage 3=3. Da die Aussage wahr ist, liegt ein Schnittpunkt vor und es handelt sich um zwei sich schneidende Geraden. Wenn hier eine falsche Aussage raus kommt, sind die Geraden windschief. Der Schnittpunkt kann bestimmt werden, indem t=3 in g oder s=1 in h eingesetzt wird: S(3|2|2).

Daniel erklärt euch die Lage von 2 Geraden nochmals in seinem Lernvideo.

Lage von 2 Geraden, Vektorgeometrie, Parameterformen vergleichen, Ablauf | Mathe by Daniel Jung

 

Lagebeziehungen Gerade – Ebene

Für die Lage einer Gerade g und einer Ebene E sind 3 Fälle möglich:

  1. g und E schneiden sich,
  2. g und E sind echt parallel,
  3. g liegt in E.

Sonderfall: Die Gerade g schneidet die Ebene E orthogonal. Dies ist der Fall, wenn ein Normalenvektor von E ein Vielfaches eines Richtungsvektors von g ist.

Gerade liegt in Parameter- und Ebene in Koordinatenform vor

Beispiel Untersuche die Lage der Gerade g und der Ebene E mit

    \begin{align*} g:\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right) + r \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \quad \textrm{und} \quad E: 2x_1 - x_3 = 4 \notag \end{align*}

Vorgehen:

1. Parameterform der Gerade umschreiben.
2. x_1, x_2 und x_3 in Koordinatenform der Ebene einsetzen.
3. Nach Parameter der Gerade umstellen.
4. Ergebnis interpretieren.

Wir schreiben zunächst die Parameterform der Gerade um

    \begin{align*} \textrm{I} \quad x_1 &= 2 \notag \\ \textrm{II} \quad x_2 &= 1 + 2 r \notag \\ \textrm{III} \quad x_3 &= 3 + 1r \notag \end{align*}

und setzen in E ein:

    \begin{align*} \quad  2 \cdot x_1 - x_3  & =4 \\ \Leftrightarrow \quad  2 \cdot 2 - (3 + 1r) \ & =4 \\ \Leftrightarrow \quad  4-3-1r  &= 4 \\ \Leftrightarrow \quad  r  & =-3 \end{align*}

Das Ergebnis r=-3 setzen wir nun in die Parameterform der Gerade g ein und wir erhalten mit

    \begin{align*} \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right) + (-3) \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ -5 \\ 0 \end{array} \right) \notag \end{align*}

eine eindeutige Lösung und wissen somit, dass die Gerade die Ebene im Punkt S(2|-5|0) schneidet.

Was für Lösungsmöglichkeiten gibt es sonst noch?

Wahre Aussagen, z.B.

    \begin{align*} 0 &= 0 \notag \\ 4 &= 4 \notag \\ 3&= 3 \notag \end{align*}

Falsche Aussagen, z.B.

    \begin{align*} 0 &= 4 \notag \\ 1&= 2 \notag \\ -3&= 1 \notag \end{align*}

Gerade und Ebene liegen in Parameterform vor

Beispiel Untersuche die Lage der Gerade g und der Ebene E mit

    \begin{align*} g:\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + r \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 3 \end{array} \right) \quad \textrm{und} \quad E:\vec{x} = \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ -1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right) \notag \end{align*}

Vorgehen:

  1. Parameterformen gleichsetzen.
  2. LGS aufstellen und lösen. Alternativ: In Matrixschreibweise aufschreiben und in Stufenform bringen.
  3. Ergebnis interpretieren.

Wir setzen die Terme von Gerade und Ebene gleich und erhalten folgendes LGS:

    \begin{align*} \begin{array}{rcccccccccc} \textrm{I}& 2 & + & r & = &-3 & + & s & & \\ \textrm{II}& -3 &- & r & = & 1 & - & 2 s & - & t \\ \textrm{III}& 2 & + & 3r & = & 1 & -& s & + & 2t \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{rrcrccccc} \textrm{I}& r & - & s & & \ & = &-5 \\ \textrm{II}& -r &+ &2 s & +& t \ & = &4 \\ \textrm{III}& 3r & + & s & -& 2 t \ & = &-1 \end{array} \end{align*}

Mit einem Lösungsverfahren eurer Wahl lösen (siehe Kap. LGS Lösen) und wir erhalten als Lösung r=-3, s=2 und t=-3. Es liegt ein Schnittpunkt der Gerade und Ebene vor. Um diesen zu erhalten setzt ihr entweder r in die Geradengleichung oder s und t in die Ebenengleichung ein. Der Schnittpunkt liegt bei S(-1 |\ 0\ | -7).

Schau dir zur Vertiefung deines Wissens Daniels Lernvideo zum Thema Lagebeziehungen  – Gerade – Ebene an!

Lage Gerade/Ebene, Parameterformen gleichstellen, Lagebeziehungen | Mathe by Daniel Jung

 

Lagebeziehungen Ebene – Ebene

Für die gegenseitige Lage zweier Ebenen sind 3 Fälle möglich:

  1. Sie schneiden sich (Schnittgerade).
  2. Sie sind echt parallel.
  3. Sie sind identisch.

Bei der konkreten Untersuchung der Lage zweier Ebenen hängt der Rechenaufwand sehr davon ab, in welcher Form die Gleichungen gegeben sind. Sind beide in Parameterform gegeben, ist der Rechenaufwand meistens am Grössten.

Sonderfall Die Ebenen sind orthogonal. Dies ist der Fall, wenn das Skalarprodukt der Normalenvektoren Null ist.

Untersuchungen von Lagebeziehungen bei verschiedenen Formen der Ebenengleichung

  • Sind beide Gleichungen in Koordinatenform gegeben, fasst man beide als ein LGS mit 3 Variablen auf
  • Sind beide Gleichungen in Parameterform gegeben, setzt man die rechten Seiten gleich und erhält ein LGS mit 3 Gleichungen und 4 Variablen.
  • Ist eine Gleichung in Koordinaten- und eine in Parameterform gegeben, setzt man x_1,x_2 und x_3 aus der Parametergleichung in die Koordinatengleichung ein und erhält eine Gleichung mit den beiden Parametern.

Ebenen liegen in Parameter- und Koordinatenform vor

Beispiel Gegeben seien die Ebenen E_1 in Parameterform und E_2 in Koordinatenform mit

    \begin{align*} E_1 : \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) + r \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) \quad \textrm{und} \quad E_2 : x_1 - 2x_2 = 1. \notag \end{align*}

Idee: E_1 umschreiben und in E_2 einsetzen:

    \begin{align*} \begin{array}{rccccccc} \textrm{I}& x_1 &= &1 &+&0r&+&2s \\ \textrm{II}& x_2 &= &2 &+&1r&+&1s \\ \textrm{III}& x_3 &= &1 &+&0r&+&1s \end{array} \quad \Rightarrow \quad (1+2s) - 2 \cdot (2 + 1r + 1s) \ & =1 \notag \end{align*}

Das Ergebnis r=-2 in E_1 einsetzen und wir erhalten

    \begin{align*} g:\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) + (-2) \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) \notag \end{align*}

eine Schnittgerade g.

Was für Lösungsmöglichkeiten gibt es sonst noch?

Wahre Aussagen, z.B.

    \begin{align*} 0 &= 0 \notag \\ 4 &= 4 \notag \\ 3&= 3 \notag \end{align*}

Falsche Aussagen, z.B.

    \begin{align*} 0 &= 4 \notag \\ 1&= 2 \notag \\ -3&= 1 \notag \end{align*}

Beide Ebenen liegen in Parameterform vor

Beispiel Gegeben seien die Ebenen E_1 und E_2 in Parameterform:

    \begin{align*} E_1 : \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) + r \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) + s \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ -1 \end{array} \right), \ E_2 :\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) + t \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) + u \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) \notag \end{align*}

Wie bei der Lage von Gerade – Ebene in Parameterform setzen wir zunächst die Terme der Ebenengleichungen gleich und erstellen daraus ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 4 Unbekannten.

Es folgt für unser Beispiel das LGS

    \begin{align*} \begin{array}{rccccccc} \textrm{I}& 1 & - & r & = &1 &- & t \\ \textrm{II}& r & + & 2s & = & 2 & + & u \\ \textrm{III}& 2 & - & s &= & 1 & + & 2t \\ \end{array} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{array}{rccccccc} \textrm{I}& -r & + & t & & &= & 0 \\ \textrm{II}& r & + & 2s & - & u & = & 2 \\ \textrm{III}& & - & s & - & 2t & = & -1 \\ \end{array} \notag \end{align*}

mit der Lösung u=-3t. Das bedeutet die Ebenen schneiden sich in einer Schnittgerade. Zur Bestimmung der Schnittgeraden setzen wir die Lösung in eine der beiden Ebenen ein (hier in E_2).

    \begin{align*} g : \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) -3t \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \notag \end{align*}

Ebenen liegen in Koordinatenform vor

Liegen die beiden Ebenen in Koordinatenform vor, gibt es mehrere Möglichkeiten. Ihr könnt eine Ebenengleichung in Parameterform umwandeln und das entsprechende Vorgehen abarbeiten, was einen sicheren Ablauf verspricht. Alternativ könnt ihr auch ohne Umwandlung der Gleichungen zum Ergebnis kommen. Ziel ist es dabei, eine Koordinate (x_1, x_2 oder x_3) zu eliminieren.

Beispiel Untersuche die Lagebeziehungen der Ebenen

    \begin{align*} \textrm{I}& \quad &E_1&: \ 2x_1-4x_2+6x_3&&=8 \\ \textrm{II}& \quad &E_2&: \ x_1+4x_2-3x_3&&=-5 \end{align*}

Wir gucken uns die beiden Gleichungen an und sehen, dass die Koordinate x_2 wegfällt, wenn die Gleichungen addiert werden. Anschließend stellen wir nach einer übrig gebliebenden Koordinate um, hier x_1.

    \begin{align*} \text{I+II} \quad & 3x_1+3x_3 \ && = 3 && \quad | \ -3x_3 \\ \Leftrightarrow \quad & 3x_1 \ && = 3-3x_3 &&\quad | \ :3 \\ \Leftrightarrow \quad & x_1 \ && = 1-x_3 && \end{align*}

Wir sehen, dass die Ebenen nicht identisch (sonst müsste eine wahre Aussage wie z.B. 0=0 rauskommen) und nicht parallel (sonst müsste eine falsche Aussage wie z.B. 0=8 rauskommen). Die Ebenen schneiden sich und haben eine Schnittgerade. Um diese zu ermitteln setzen wir x_1=1-x_3 in eine der beiden Gleichungen ein, hier II und stellen nach x_2 um. Dadurch haben wir x_1 und x_2 in Abhängigkeit von x_3 ausgedrückt. Es folgt:

    \begin{align*} \Rightarrow \quad & 1-x_3+4x_2-3x_3 \ && = -5 && \quad | \ \text{zusammenfassen} \\ \Leftrightarrow \quad & 1 + 4x_2 - 4x_3 \ && = -5 &&\quad | \ -1 \; +4x_3 \\ \Leftrightarrow \quad & 4x_2 \ && = -6+4x_3 &&\quad | \ :4 \\ \Leftrightarrow \quad & x_2 \ && = -1,5+x_3 &&\quad | \ :4 \\ \end{align*}

Mehr können wir nicht machen. Wir schreiben das Ergebnis etwas anders auf und erkennen die Struktur einer Geraden.

    \begin{align*} \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1-x_3 \\ -1,5+x_3 \\ x_3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1,5 \\ 0 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} -x_3 \\ x_3 \\ x_3 \end{array} \right) \end{align*}

Jetzt kommt der letzte Schritt, der für viele oft schwer zu verstehen ist. Wir behaupten es sei x_3=t (oder r oder s etc.) ein Parameter und erhalten die gesuchte Schnittgerade in Parametergleichung mit

    \begin{align*} g: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1,5 \\ 0 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right). \end{align*}

 

Übersicht Schnittwinkel

  • Vektor – Vektor

\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \bullet \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}

  • Gerade – Gerade

\cos(\alpha) = \left| \frac{\overrightarrow{RV}_g \bullet \overrightarrow{RV}_h}{|\overrightarrow{RV}_g| \cdot |\overrightarrow{RV}_h|} \right|

mit \overrightarrow{RV}_g bzw. \overrightarrow{RV}_h als Richtungsvektoren zweier sich schneidender Geraden g und h.

  • Gerade – Ebene

\sin(\alpha) = \left| \frac{\vec{n}_E \bullet \overrightarrow{RV}_g}{|\vec{n}_E| \cdot |\overrightarrow{RV}_g|} \right|

mit \vec{n}_E als Normalenvektor einer Ebene E und \overrightarrow{RV}_g als Richtungsvektor einer Geraden g.

  • Ebene – Ebene


\cos(\alpha) = \left| \frac{\vec{n}_1 \bullet \vec{n}_2}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} \right|

mit \vec{n}_1 bzw. \vec{n}_2 als Normalenvektor zweier Ebenen E_1 und E_2.

Daniels Lagebeziehungen Lernvideo zur Übersicht von Schnittwinkel.

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