Populationsprozesse

Ein typisches Beispiel für Populationsprozesse (oder Entwicklungsprozesse) sind die Käferpopulationen. Entweder sind hierfür Informationen im Text gegeben, aus denen wir einen Übergangsgraph erstellen können, oder wir haben den Übergangsgraph oder die Übergangsmatrix direkt gegeben. Betrachten wir hierfür folgendes Beispiel einer Käferpopulation.

Beispiel Populationsprozesse

Das folgende Modell beschreibt die Entwicklung eines Käfers: Aus den Eiern schlüpfen nach einem Monat Larven, nach einem weiteren Monat werden diese zu Käfern, die nach einem Monat Eier legen und dann sterben. Aber nur aus einem Viertel der Eier werden Larven, die anderen Eier werden von Tieren gefressen oder verenden. Von den Larven wird die Hälfte zu Käfern, die andere Hälfte stirbt. Jeder Käfer legt 8 Eier.

Daraus ergibt sich folgender Übergangsgraph und folgende Populationsmatrix P:

Populationsprozesse

In der ersten Zeile stehen mögliche Vermehrungsraten. Käfer können sich vermehren und 8 Eier pro Monat legen. In der zweiten und dritten Zeile stehen Überlebensraten. Eier können zu Larven werden mit einer Wahrscheinlichkeit von 25% (Überlebensrate). Larven können überleben und mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% zu Käfern werden.

Achtung: Falls im Text eine Sterberate angegeben ist, müsst ihr in der Matrix die entsprechende Überlebensrate = 1 -Sterberate eintragen!

Zurück zu unserem Beispiel: Wenn zu Beginn der Population jeweils 40 Eier, Larven und Käfer vorhanden waren, besteht die Population nach einem Monat aus

    \begin{align*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 8 \\ 0,25 & 0 & 0 \\ 0 & 0,5 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 40 \\ 40 \\ 40 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 320 \\ 10 \\ 20 \end{pmatrix} \notag \end{align*}

320 Eiern, 10 Larven und 20 Käfern.
Oft wird auch nach einem Anfangsbestand gefragt, der nach einem bestimmten Zeitraum unverändert ist. In unserem Beispiel sollen wir einen Anfangsbestand bestimmen, der nach einem Monat unverändert ist. Denkt hier an den Fixvektor, es gilt

    \begin{align*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 8 \\ 0,25 & 0 & 0 \\ 0 & 0,5 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} e \\ l \\ k \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} e \\ l \\ k \end{pmatrix} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{pmatrix} e \\ l \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8k \\ 2k \\ k \end{pmatrix} \notag \end{align*}

Auch hier lässt sich das LGS nicht eindeutig lösen und wird drücken unsere Lösung in Abhängigkeit einer Variablen aus – hier alles in Abhängigkeit von Käfern k. Wir können uns nun für k eine Zahl aussuchen, damit möglichst schöne Ergebnisse raus kommen, sei also k=10, dann lautet der Anfangsbestand, der sich nach einem Monat nicht ändert

    \begin{align*} \begin{pmatrix} e \\ l \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 80 \\ 20 \\ 10 \end{pmatrix}.\notag \end{align*}

Was ist nun der Unterschied zu Austauschprozessen? Hier müssen die Spaltensummen in der Tabelle bzw. der Populationsmatrix nicht gleich 1 sein!

 

Zyklus bei Populationen

Gegeben sei dieser Aufbau einer Populationsmatrix, die wir dreimal miteinander multiplizieren. Das klappt aber nur bei Matrizen, die wie P aufgebaut sind.

    \begin{align*} P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & a \\ b & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad P^3 = \begin{pmatrix} a \cdot b \cdot c & 0 & 0 \\ 0 & a \cdot b \cdot c & 0 \\ 0 & 0 & a \cdot b \cdot c \end{pmatrix} \notag \end{align*}

Wir haben also nur Einträge auf der Diagonalen. Gegeben wären jetzt die Werte a= 60, b=0,1 und c=1/6, dann erhalten wir die Einheitsmatrix

    \begin{align*} P^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 40 \\ 30 \\ 70 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 40 \\ 30 \\ 70 \end{pmatrix} \notag \end{align*}

Was bedeutet das? Das hat jetzt nichts mit dem Fixvektor zu tun! Es bedeutet, dass bei einer 3 \times 3 Matrix bei einem Zyklus von drei Zeitschritten der Anfangsbestand z.B. (40\ 30\ 70)^T wieder erreicht ist. Was passiert, wenn

  • a\cdot b \cdot c = 1? \quad \Rightarrow Population im Zyklus von drei Zeitschritten konstant.
  • a\cdot b \cdot c < 1? \quad \Rightarrow Population stirbt aus!
  • a\cdot b \cdot c > 1? \quad \Rightarrow exponentielles Wachstum der Population!

 

Daniel erklärt das Thema nochmals ausführlich in seinem Lernvideo.

Zyklus bei Populationsprozessen, Übergangsmatrizen, Matrix | Mathe by Daniel Jung

 

Beispielaufgabe 1) Populationsprozesse

Der Populationsprozess einer Fliegenart kann durch drei Stufen dargestellt werden. Es gibt Eier, Larven und Fliegen. Jede Fliege bekommt durchschnittlich 50 Eier. Davon schlüpfen 10% zu Larven. Diese entwickeln sich in 20% der Fälle zu Fliegen. Jeder Prozess dauert 1 Woche.

a) Stelle ein Übergangsdiagramm und die dazugehörige Matrix auf.
b) Zum Zeitpunkt t=0 gibt es in unserer Population 100 Eier, 30 Larven und 10 Fliegen. Wie ist die Population in einer Woche? Wie war sie vor einer Woche?
c) Ist die Population eine wachsende Population? Wenn nicht, gib die allgemeine stabile Verteilung an.

Lösungen:

populationsprozesse2

    \begin{align*} P=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 50 \\ 0,1 & 0 & 0 \\ 0 & 0,2 & 0 \end{pmatrix} \end{align*}

 

b)
Verteilung in dieser Woche: V=\begin{pmatrix} 100 \\ 30 \\ 10 \end{pmatrix}

Verteilung in der nächsten Woche:V'=P \cdot V = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 50 \\ 0,1 & 0 & 0 \\ 0 & 0,2 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 30 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 500 \\ 10 \\ 6 \end{pmatrix}

Die Verteilung vor einer Woche lautet: \begin{pmatrix} 0 & 0 & 50 \\ 0,1 & 0 & 0 \\ 0 & 0,2 & 0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 100 \\ 30 \\ 10 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{array}{rrcrcl} \textrm{I} & 50z & = & 100 & \Rightarrow & z=2 \\ \textrm{II} & 0,1x & = & 30 & \Rightarrow & x=300 \\ \textrm{III} & 0,2y & = & 10 & \Rightarrow & y=50 \end{array}

Es gab vor einer Woche 300 Eier, 50 Larven und 2 Fliegen.

 

c)

Die Population ist nicht wachsend, sie ist stabil, weil gilt:

    \begin{align*} P^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align*}

Damit können wir die stabile Verteilung berechnen:

    \begin{align*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 50 \\ 0,1 & 0 & 0 \\ 0 & 0,2 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad \begin{array}{rrcr} \textrm{I} & 50z & = & x \\ \textrm{II} & 0,1x & = & y \\ \textrm{III} & 0,2y & = & z \end{array} \end{align*}

Wir können x und y in Abhängigkeit von z angeben. Wir ersetzen z durch eine andere Variable und erhalten den allgemeinen Fixvektor:

    \begin{align*} \vec{v}_S= \begin{pmatrix} 50a \\ 5a \\ a \end{pmatrix} \end{align*}

 

Beispielaufgabe 2) Populationsprozesse

Die Entwicklung einer Mäusepopulation kann durch folgendes Modell beschrieben werden: Durchschnittlich bekommt jede Maus 4 Junge. Von diesen Jungen sterben 60% innerhalb des ersten Jahres. Die anderen werden zu 62,5% geschlechtsreife Tiere und gebären wieder 4 Junge. Danach sterben sie.

a) Stelle ein Übergangsdiagramm und die dazugehörige Matrix auf.
b) Durch bessere Überlebenschancen sinkt die Sterberate der Neugeborenen Jungen von 60% auf 40%. Welche Entwicklung nimmt die Population nun langfristig an?

 

Lösungen:
populationsprozesse2

M=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 0,4 & 0 & 0 \\ 0 & 0,625 & 0 \end{pmatrix}

 

b)

Neue Übergangsmatrix: M_{neu} =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 0,6 & 0 & 0 \\ 0 & 0,625 & 0 \end{pmatrix}

Langfristige Entwicklung: M_{neu}^3 =\begin{pmatrix} 1,5 & 0 & 0 \\ 0 & 1,5 & 0 \\ 0 &0 & 1,5 \end{pmatrix}

 

Interpretation: Da die Matrix M_{neu}^3 eine Diagonalmatrix mit Einträgen 1,5 ist, wird sich die Population alle 3 Jahre mit dem Faktor 1,5 vergrößern. Sie steigt exponentiell.