Populationsprozesse

Ein typisches Beispiel für Populationsprozesse (oder Entwicklungsprozesse) sind die Käferpopulationen. Entweder sind hierfür Informationen im Text gegeben, aus denen wir einen Übergangsgraph erstellen können, oder wir haben den Übergangsgraph oder die Übergangsmatrix direkt gegeben. Betrachten wir hierfür folgendes Beispiel einer Käferpopulation.

Beispiel Populationsprozesse

Das folgende Modell beschreibt die Entwicklung eines Käfers: Aus den Eiern schlüpfen nach einem Monat Larven, nach einem weiteren Monat werden diese zu Käfern, die nach einem Monat Eier legen und dann sterben. Aber nur aus einem Viertel der Eier werden Larven, die anderen Eier werden von Tieren gefressen oder verenden. Von den Larven wird die Hälfte zu Käfern, die andere Hälfte stirbt. Jeder Käfer legt 8 Eier.

Daraus ergibt sich folgender Übergangsgraph und folgende Populationsmatrix P:

Populationsprozesse

In der ersten Zeile stehen mögliche Vermehrungsraten. Käfer können sich vermehren und 8 Eier pro Monat legen. In der zweiten und dritten Zeile stehen Überlebensraten. Eier können zu Larven werden mit einer Wahrscheinlichkeit von 25% (Überlebensrate). Larven können überleben und mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% zu Käfern werden.

Achtung: Falls im Text eine Sterberate angegeben ist, müsst ihr in der Matrix die entsprechende Überlebensrate = 1 -Sterberate eintragen!

Zurück zu unserem Beispiel: Wenn zu Beginn der Population jeweils 40 Eier, Larven und Käfer vorhanden waren, besteht die Population nach einem Monat aus

    \begin{align*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 8 \\ 0,25 & 0 & 0 \\ 0 & 0,5 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 40 \\ 40 \\ 40 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 320 \\ 10 \\ 20 \end{pmatrix} \notag \end{align*}

320 Eiern, 10 Larven und 20 Käfern.
Oft wird auch nach einem Anfangsbestand gefragt, der nach einem bestimmten Zeitraum unverändert ist. In unserem Beispiel sollen wir einen Anfangsbestand bestimmen, der nach einem Monat unverändert ist. Denkt hier an den Fixvektor, es gilt

    \begin{align*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 8 \\ 0,25 & 0 & 0 \\ 0 & 0,5 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} e \\ l \\ k \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} e \\ l \\ k \end{pmatrix} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{pmatrix} e \\ l \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8k \\ 2k \\ k \end{pmatrix} \notag \end{align*}

Auch hier lässt sich das LGS nicht eindeutig lösen und wird drücken unsere Lösung in Abhängigkeit einer Variablen aus – hier alles in Abhängigkeit von Käfern k. Wir können uns nun für k eine Zahl aussuchen, damit möglichst schöne Ergebnisse raus kommen, sei also k=10, dann lautet der Anfangsbestand, der sich nach einem Monat nicht ändert

    \begin{align*} \begin{pmatrix} e \\ l \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 80 \\ 20 \\ 10 \end{pmatrix}.\notag \end{align*}

Was ist nun der Unterschied zu Austauschprozessen? Hier müssen die Spaltensummen in der Tabelle bzw. der Populationsmatrix nicht gleich 1 sein!

 

Zyklus bei Populationen

Gegeben sei dieser Aufbau einer Populationsmatrix, die wir dreimal miteinander multiplizieren. Das klappt aber nur bei Matrizen, die wie P aufgebaut sind.

    \begin{align*} P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & a \\ b & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad P^3 = \begin{pmatrix} a \cdot b \cdot c & 0 & 0 \\ 0 & a \cdot b \cdot c & 0 \\ 0 & 0 & a \cdot b \cdot c \end{pmatrix} \notag \end{align*}

Wir haben also nur Einträge auf der Diagonalen. Gegeben wären jetzt die Werte a= 60, b=0,1 und c=1/6, dann erhalten wir die Einheitsmatrix

    \begin{align*} P^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 40 \\ 30 \\ 70 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 40 \\ 30 \\ 70 \end{pmatrix} \notag \end{align*}

Was bedeutet das? Das hat jetzt nichts mit dem Fixvektor zu tun! Es bedeutet, dass bei einer 3 \times 3 Matrix bei einem Zyklus von drei Zeitschritten der Anfangsbestand z.B. (40\ 30\ 70)^T wieder erreicht ist. Was passiert, wenn

  • a\cdot b \cdot c = 1? \quad \Rightarrow Population im Zyklus von drei Zeitschritten konstant.
  • a\cdot b \cdot c < 1? \quad \Rightarrow Population stirbt aus!
  • a\cdot b \cdot c > 1? \quad \Rightarrow exponentielles Wachstum der Population!

 

Daniel erklärt das Thema nochmals ausführlich in seinem Lernvideo.

Zyklus bei Populationsprozessen, Übergangsmatrizen, Matrix | Mathe by Daniel Jung

Zur Vertiefung des Thema Populationsprozesse hat Daniel für euch eine Playlist mit Lernvideos zusammengestellt.

Austauschprozess, Übergangsmatrix, Übergangsgraph, Matrizen, Matrix | Mathe by Daniel Jung