Produktionsprozesse

Das 1-Schritt-Verflechtungsmodell

Wir betrachten ein Unternehmen, welches aus 3 Rohstoffen 2 Produkte produziert. Der Produktionsprozess wird durch das Diagramm dargestellt. Diese Darstellung nennt man Gozintograph. Man spricht auch von einer Materialverflechtung. Der Gozintograph ist ein gerichteter Graph, der beschreibt, aus welchen Teilen sich ein oder mehrere Produkte zusammensetzen.

Produktionsprozesse können dabei mehrstufig sein, wobei der Input aus Rohstoffen, Halb- und Fertigteilen besteht. Im Gozintographen ist aufgeführt, wie diese Teile gegebenenfalls mengenmäßig verflochten sind. Dabei bezeichnen die Knoten die Teile und die gerichteten Kanten geben an, wie viele Einheiten eines Teiles in eine Einheit eines nachgelagerten Teiles einfließen.

Achtung: Hier ist das Lesen von – nach andersrum als bisher!

Jeder Knoten ist entweder

  • Eingangsknoten – bei dem etwas in das System eintritt, z.B. Rohstoffe, oder
  • Ausgangsknoten – bei dem etwas das System verlässt, zB. Endprodukte.

Produktionsprozesse

Die Zahlen an den Pfeilen können in einer spezifischen Verbrauchsmatrix V zusammengefasst werden. Man spricht auch von Prozessmatrix, Verflechtungsmatrix oder Technologiematrix. Interpretation der Elemente in der Matrix: v_{12} gibt z.B. den spezifischen Materialfluss von Quelle 1 (Rohstoff R_1) zum Ziel 2 (Produkt Z_2) an.

Wenn das Unternehmen also ein gewisses Produktionsziel erreichen will und den dazugehörigen Rohstoffbedarf ermitteln möchte, kann das durch die Beziehung

    \begin{align*} \underline{r} = V \cdot \underline{z}, \ \textrm{mit} \ \underline{r}:=\begin{pmatrix} R_1 \\ R_2 \\ R_3 \end{pmatrix} \ \textrm{und} \ \underline{z} :=\begin{pmatrix} Z_1 \\ Z_2 \end{pmatrix} \notag \end{align*}

beschrieben werden. Natürlich kann auch die umgekehrte Situation vorkommen, wenn das Unternehmen sich fragt, wie viele Endprodukte mit gegebenem \underline{r} produziert werden können. Hierbei unterscheidet man

  1. Produktionen mit vollständigem Rohstoffverbrauch,
  2. Produktionen mit teilweisem Rohstoffverbrauch.

 

Einfache Mehrschritt-Modelle

In der Praxis benötigen Produktionen meist zahlreiche Einzelschritte. Im einfachsten Fall können diese durch Zusammenschaltung von Einschrittmodellen beschrieben werden und wir erhalten ein Mehrschrittmodell. Die Zusammenschaltung funktioniert nur ohne zusätzliche Rechnung, wenn Brutto- und Nettoproduktion übereinstimmen.

Produktionbsprozesse Matrix

In der obigen Abbildung ist ein zweistufiger Produktionsprozess dargestellt, wobei wir diesen als zwei 1-Schritt-Modelle auffassen. Die relevanten Zusammenhänge hierbei lauten:

    \begin{align*} \underline{r} = V^{01} \cdot \underline{z} \quad \textrm{und} \quad \underline{z}= V^{12} \cdot \underline{p} \quad \Rightarrow \quad \underline{r} = V^{01} \underbrace{\left( V^{12} \cdot \underline{p}\right)}_{=\underline{z}} = G \cdot \underline{p} \notag \end{align*}

mit G = V^{01} \cdot V^{12} als Produktmatrix.

 

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Playlist: Produktionsprozesse mit Matrizen, Lineare Algebra

 

Beispielaufgabe zu Produktionsprozesse

Ein Kaffeeautomat kann drei verschiedene Kaffeesorten produzieren. Für einen normalen Kaffee benötigt er 4 Einheiten Wasser und 1 Einheit Kaffee. Für einen Latte Macchiato benötigt er 1 Einheit Wasser, 2 Einheiten Kaffee und 4 Einheiten Milch. Für einen Milchkaffee werden 2 Einheiten Wasser, 1 Einheit Kaffee und 2 Einheiten Milch benötigt.

a) Zeichne den Gozintographen, der die Herstellung dieser Kaffeesorten beschreibt und stelle die dazugehörige Matrix auf.

 

b)Ein Lehrer zieht für sich und seine 3 Kollegen zwei normale Kaffee, einen Latte Macchiato und einen Milchkaffee. Wie viele Einheiten Wasser, Kaffee und Milch werden benötigt?

 

c) Damit der Kaffeeautomat im Lehrerzimmer einen ganzen Tag nicht leer wird, müssen 40 Kaffee, 20 Latte Macchiato und 30 Milchkaffee gezogen werden können. Mit wievielen Einheiten Wasser, Kaffee und Milch muss der Automat jeden morgen befüllt werden?

 

Lösungen:

a)

produktionsprozesse

V=\begin{pmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & 2 \end{pmatrix}

 

 

b)
Der Automat braucht für die Getränke der Lehrer

    \begin{align*} \begin{pmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \end{align*}

11 Einheiten Wasser, 5 Einheiten Kaffee und 6 Einheiten Milch.

 

c)

Der Automat muss jeden morgen mit

    \begin{align*} \begin{pmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 40 \\ 20 \\ 30 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 240 \\ 110 \\ 140 \end{pmatrix} \end{align*}

240 Einheiten Wasser, 110 Einheiten Kaffee und 140 Einheiten Milch befüllt werden.