Vektoren

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Grundlagen zu Vektoren

Zu einem beliebigen Punkt im dreidimensionalem Raum (x_1|x_2|x_3) bzw. (x|y|z), z.B. P( 6 | 7 | 4 ), gelangt man, indem man vom Nullpunkt des Koordinatensystems 6 Einheiten in x-Richtung, 7 Einheiten in y-Richtung und dann 4 Einheiten in z-Richtung geht. Hier noch besondere Punkte.

In 2D gilt:analytische geometrie grundlagen

  • Alle Punkte auf der y-Achse haben den x-Wert 0! P_y(0|y)
  • Alle Punkte auf der x-Achse haben den y-Wert 0! P_x(x|0)

 

In 3D gilt:analytische geometrie grundlagen 3D

  • Alle Punkte in der x_1x_2-Ebene haben den x_3-Wert 0! P(x_1|x_2|0)
  • Alle Punkte in der x_2x_3-Ebene haben den x_1-Wert 0! P(0|x_2|x_3)
  • Alle Punkte in der x_1x_3-Ebene haben den x_2-Wert 0! P(x_1|0|x_3)

 

Daniel erklärt euch nochmals in seinem Lernvideo, wie man Punkte abliest.

Punkte ablesen im Koordinatensystem, 3D, Vektorgeometrie | Mathe by Daniel Jung

 

Vom Punkt zum Vektor

Ein Vektor beschreibt eine Parallelverschiebung in der Ebene oder im Raum. Aus zwei Punkten im 3-dimensionalem Raum A(a_1|a_2|a_3) und B(b_1|b_2|b_3) erhält man den Vektor

Vom Punkt zum Vektor

Grafisch wird der Vektor durch einen Pfeil dargestellt, der vom Punkt A zum Punkt B zeigt. Ein Vektor gibt somit eine Verschiebung an!

Daniel erklärt euch nochmal, wie du vom Punkt zum Vektor kommst!

Vektoren Definition & ihre Repräsentanten, Verschiebungen | Mathe by Daniel Jung

 

Unterschied Ortsvektor/Richtungsvektor

Ist O(0|0) der Koordinatenursprung und P(5|2) ein Punkt, so heißt der Vektor \overrightarrow{OP} = \vec{p} = \left( \begin {array} {c}5-0\\2-0 \\\end {array} \right) = \left( \begin {array} {c}5 \\2 \\\end {array} \right) Ortsvektor zum Punkt P.

Orts- und Richtungsvektor

Richtungsvektoren können jeden Punkt als Startpunkt haben, während Ortsvektoren immer vom Koordinatenursprung ausgehen. Zum Beispiel lautet der Richtungsvektor zwischen A(2|4) und B (7|2):

    \begin{align*}g \overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 7-2 \\ 2 - 4 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5 \\ -2 \end{array} \right). \notag \end{align*}

Zwei Richtungsvektoren sind identisch, wenn sie gleich lang sind und die gleiche Richtung haben. Im dreidimensionalem Raum werden Orts- und Richtungsvektoren genau wie im zwei-dimensionalen aufgestellt. Einziger Unterschied ist die zusätzliche Koordinate x_3 (oder z).

 

Schau dir zur Vertiefung nochmal das Lernvideo zum Thema Richtungs- und Ortsvektor an.

Ortsvektor, Richtungsvektor, Grundlagen | Mathe by Daniel Jung

 

Länge eines Vektors

In kartesischen Koordinaten kann die Länge von Vektoren nach dem Satz des Pythagoras berechnet werden. Gegeben sei Vektor A= (2 , 1 , 4)^T – Hinweis: Schreibweise mit „hoch T“ (Transponierte einer Matrix) ist oft platzsparender! Bitte nicht verzweifeln, es gilt:

    \begin{align*} A= (2 , 1 , 4)^T = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 4 \end{array} \right), \notag \end{align*}

dann wird die Länge über |A|= \sqrt{2^2 + 1^2+ 4^2} bestimmt. Oder allgemein mit

    \begin{align*} a = |\vec{a}| = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}. \notag \end{align*}

Alternativ kann die Länge auch als die Wurzel des Skalarprodukts angeben werden:

    \begin{align*} a = |\vec{a}| = \sqrt{\vec{a}\bullet \vec{a}}. \notag \end{align*}

Vektoren der Länge 1 heißen Einheitsvektoren oder normierte Vektoren. Hat ein Vektor die Länge 0, so handelt es sich um den Nullvektor.

Lass dir von Daniel erklären, wie man die Länge eines Vektors bestimmt.

Länge (Betrag) eines Vektors, Abstand 2 Punkte, Vektorgeometrie | Mathe by Daniel Jung

 

Rechnen mit Vektoren

  • Addieren/Subtrahieren – Rechenregel gilt für + und -, kurz: \pm

        \begin{align*}\vec{a} \pm \vec{b} =\left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array} \right) \pm\left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right) &=\left( \begin{array}{c} a_1 \pm b_1 \\ a_2 \pm b_2 \\ a_3 \pm b_3 \end{array} \right) \notag \\ \notag \\\textrm{z.B.} \quad\left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 5 \end{array} \right) +\left( \begin{array}{c} 8 \\ 1 \\ -3 \end{array} \right) &=\left( \begin{array}{c} 2+8\\ -1+1 \\ 5+(-3) \end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} 10\\ 0 \\ 2 \end{array} \right) \notag\end{align*}

Grafisch kann man sich das wiefolgt veranschaulichen. Merkt euch: Es spielt keine Rolle, ob ihr \vec{a}+\vec{b} oder \vec{b}+\vec{a} rechnet. Es kommt immer das gleiche raus!

Vektoren addieren

  • Mit Zahl (Skalar) multiplizieren – Länge des Vektors ändert sich! Richtung bleibt gleich.

        \begin{align*} 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end {array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot 2 \end {array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 4 \end {array} \right) \notag \end{align*}

bil_skalar

  • Skalarprodukt: Das Skalarprodukt (auch inneres Produkt, selten Punktprodukt) ist eine mathematische Verknüpfung, die zwei Vektoren eine Zahl (Skalar) zuordnet. Achtet auf die Unterscheidung des Malzeichens „`\cdot„‚ und des Skalarproduktes „`\bullet„‚. Zudem ist es für die Berechnung von Winkeln zwischen Vektoren sinnvoll. Als allgemeines Rechenbeispiel folgt:

        \begin{align*} \vec a \bullet \vec b = a_1 \, b_1 + a_2 \, b_2 + a_3 \, b_3. \notag \end{align*}

     Jetzt mal als Zahlenbeispiel:

        \begin{align*} \left( \begin {array}{c} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right) &\bullet \left( \begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 1 \end{array} \right) = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 4 + 3 \cdot 1 = 9 \notag \\ \left( \begin {array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) &\bullet \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right) = -2+0+2 = 0 \notag \end{align*}

    Achtung: Wenn 0 raus kommt, dann sind die beiden Vektoren orthogonal/senkrecht zueinander!

Wofür wir das Skalarprodukt eigentlich brauchen:

\bullet Winkelberechnung in der Ebene:
\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \ \bullet \ \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{a_1\ \cdot \ b_1 \ + \ a_2 \ \cdot \ b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\ \cdot \ \sqrt{b_1^2 +\ b_2^2}}

\bullet Winkelberechnung im Raum:
\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \ \bullet \ \vec{b}}{|\vec{a}|\ \cdot \ |\vec{b}|} = \frac{a_1\ \cdot \ b_1 \ + \ a_2 \ \cdot \ b_2 \ + \ a_3 \ \cdot \ b_3}{\sqrt{a_1^2 \ + \ a_2^2 \ + \ a_3^2}\ \cdot \ \sqrt{b_1^2 \ + \ b_2^2 \ + \ b_3^2}}

\bullet Orthogonalität:
Wenn \vec{a} und \vec{b} orthogonal sind, dann gilt: \vec{a} \bullet \vec{b} = 0.

\bullet Ermittlung eines Normalenvektors:
Bedingungen für einen Normalenvektor \vec{n} von \vec{a} und \vec{b} sind:
\vec{n} \bullet \vec{a} = 0 und \vec{n} \bullet \vec{b} = 0

  • Kreuzprodukt/Vektorprodukt: Das Kreuzprodukt der Vektoren 1 und 2 ist ein Vektor, der senkrecht auf der von den beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht und mit ihnen ein Rechtssystem bildet. Zahlenbeispiel:

        \begin{align*} \left( \begin {array}{c} 2 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin {array}{c} 3 \cdot 3 - 4 \cdot (-2) \\ 4 \cdot 1 - 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot (-2) - 3 \cdot 1 \end{array} \right) = \left( \begin {array}{c} 17 \\ -2 \\ -7 \end{array} \right) \notag \end{align*}

    Wichtig: Die Länge dieses Vektors entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den Vektoren 1 und 2 aufgespannt wird. Um zu überprüfen, ob wir richtig gerechnet haben, müsste das Skalarprodukt vom Vektor des Kreuzproduktes mit den zwei einzelnen Vektoren 0 ergeben:

        \begin{align*} \left( \begin {array}{c} 17 \\ -2 \\ -7 \end{array} \right) \bullet \left( \begin {array}{c} 2 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right) = 34-6-28=0 \quad \checkmark \notag \\ \left( \begin {array}{c} 17 \\ -2 \\ -7 \end{array} \right) \bullet \left( \begin {array}{c} 1 \\ -2 \\ 3 \end{array} \right) = 17+4-21=0 \quad \checkmark \notag \end{align*}

    Es besteht damit die Möglichkeit, das Kreuzprodukt als Berechnung des \vec{n}-Vektors einer Ebene zu benutzen.
    Allgemein gilt:

        \begin{align*} \vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}\,. \notag \end{align*}

    Weiterer Hinweis: Die Kombination von Kreuz- und Skalarprodukt in der Form

        \begin{align*} (\vec{a} \times \vec{b}) \bullet \vec{c} \notag \end{align*}

    wird als Spatprodukt bezeichnet. Das Ergebnis ist eine Zahl, die dem orientierten Volumen des durch die drei Vektoren aufgespannten Spats entspricht.

Anwendung

\bullet Normalenvektor finden bei der Umwandlung von Ebenengleichungen in der Parameterform in die Koordinaten- oder Normalenform.

\bullet Abstandsformel windschiefer Geraden.

\bullet Flächeninhaltsberechnung von zwischen Vektoren aufgespannten Flächen.

 

Schau dir zur Vertiefung das Lernvideo zum Thema Rechnen mit Vektoren an!

Rechnen mit Vektoren, Grundlagen, Basics, Mathe by Daniel Jung, Erklärvideo

 

Mittelpunkt einer Strecke

Gegeben sei die Strecke, die durch die Punkte A und B begrenzt wird. Gesucht sind die Koordinaten des Punktes M, der genau in der Mitte zwischen A und B liegt. Um diesen zu berechnen, muss man sich einer einfachen Formel bedienen:

    \begin{align*} &(2D) \ \ \ M \left( \frac{a_1 + b_1 }{2}\ | \ \frac{a_2 + b_2 }{2} \right) \notag \\ &(3D) \ \ \ M \left( \frac{a_1 + b_1 }{2}\ | \ \frac{a_2 + b_2 }{2}\ | \ \frac{a_3 + b_3 }{2} \ \right) \notag \end{align*}

Beispiel: Berechne den Mittelpunkt der Punkte A = (2|4|3) und B=(10|16|5).

    \begin{align*} M_{AB} = \left( \frac{2 + 10 }{2} \ | \ \frac{4 + 16 }{2} \ | \ \frac{3 + 5 }{2} \right) = (6 | 10 | 4) \notag \end{align*}

Einschub – Formel Schwerpunkt Dreieck: \overrightarrow{0S} = \frac{1}{3}( \overrightarrow{0A} + \overrightarrow{0B} + \overrightarrow{0C})

 

Lass dir erklären, wie man den Mittelpunkt einer Strecke berechnet.

Mittelpunkt bestimmen in der Vektorrechnung, Mathehilfe online | Mathe by Daniel Jung

 

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren

Bevor wir uns angucken, wie man lineare Abhängkeit bzw. Unabhängigkeit nachweist, soll uns die folgende Abbildung zunächst einen Überblick geben, was für Fälle auftreten können. Wichtige Begriffe hierbei: Kollinear und Komplanar.Komplanar, Kollinear

3 Vektoren auf Komplanarität untersuchen, Komplanar, linear abhängig, unabhängig

Wenn wir also nachweisen, dass zwei Vektoren kollinear bzw. drei Vektoren komplanar sind, wissen wir, dass die Vektoren linear abhängig sind.

Beispiel mit zwei Vektoren Die zwei Vektoren \vec{a} und \vec{b} sind linear abhängig, da sie Vielfache voneinander sind (kollinear). Es gilt:

    \begin{align*} 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end {array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 4 \end {array} \right) \notag \end{align*}

Linear abhängige Vektoren

 

Allgemeiner Ansatz bei der Untersuchung von zwei Vektoren aus \mathbb{R}^2:

    \begin{align*} \vec{a}= r \cdot \vec{b} \Rightarrow \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 4 \end {array} \right) = r \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end {array} \right) \Leftrightarrow \begin{array}{c} 4=2r \\ 4=2r \\ 4=2r \end {array} \Leftrightarrow \begin{array}{c} 2=r \\ 2=r \\ 2=r \end {array} \end{align*}

Nun prüft man zeilenweise die Einträge und bestimmt jeweils r. Mögliche Lösungen:

  • Wenn unterschiedliche Werte für r rauskommen, dann sind die Vektoren nicht kollinear und damit linear unabhängig.
  • Wenn für r überall das Gleiche rauskommt, dann sind die Vektoren kollinear und linear abhängig.

Wenn wir zeigen müssen, ob drei Vektoren \vec{a}, \vec{b} und \vec{c} aus \mathbb{R}^3 linear abhängig sind oder nicht, sehen wir entweder auf Anhieb, ob sich einer der Vektoren aus den anderen Vektoren darstellen lässt (komplanar), siehe dazu das Beispiel mit zwei Vektoren, oder wir arbeiten mit dem allgemeinen Ansatz, welcher immer zum Erfolg führt:

    \begin{align*} r\cdot \vec{a}+s\cdot \vec{b}+t\cdot \vec{c} = \vec{0} \end{align*}

Die zu untersuchende Gleichung ist äquivalent zu einem LGS, das man mit dem Gauß-Verfahren lösen kann. Mögliche Ergebnisse:

  • r=s=t=0, dann sind die Vektoren nicht komplanar und damit linear unabhängig
  • Wahre Aussage, z.B. 0=0, dann sind die Vektoren komplanar und linear abhängig

Beispiel mit drei Vektoren Gegeben sind die Vektoren

    \begin{align*} \vec{a}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end {array} \right) \quad \vec{b}=\left( \begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 1 \end {array} \right) \quad \vec{c}=\left( \begin{array}{c} -1 \\ 3 \\ 3 \end {array} \right), \end{align*}

die auf lineare Abhängigkeit untersucht werden sollen. Wir nehmen den allgemeinen Ansatz zur Hand und erhalten ein LGS, welches wir an dieser Stelle mit dem Gauß-Algorithmus (siehe Kap. LGS lösen) lösen:

    \begin{align*} r\cdot \vec{a}+s\cdot \vec{b}+t\cdot \vec{c} = \vec{0} \quad \Rightarrow \quad \begin{array}{l} \textrm{I} \\ \textrm{II} \\ \textrm{III} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \end {array} \right) \begin{array}{l} \\ \textrm{II}-\textrm{I} \\ \textrm{III}-2\cdot\textrm{I} \end{array} \end{align*}

    \begin{align*} \Rightarrow \quad \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -1 & 0 \\ 0 & -4 & 4 & 0 \\ 0 & -5 & 5 & 0 \end {array} \right) \begin{array}{c} \\ \\ \textrm{III}-5/4\cdot \textrm{II} \end{array} \quad \Rightarrow \quad \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -1 & 0 \\ 0 & -4 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end {array} \right) \end{align*}

Interpretation des Ergebnisses: Da eine Nullzeile vorliegt, besitzt das LGS unendlich viele Lösungen. Hättet ihr das LGS mit einem anderem Verfahren aufgelöst, wäre eine wahre Aussage wie z.B. 0=0 rausgekommen, was das gleiche bedeutet. Infolgedessen sind die Vektoren \vec{a}, \ \vec{b} und \vec{c} linear abhängig!

Merke beim Gauß-Verfahren:

  • Nullzeile = Lineare Abhängigkeit
  • keine Nullzeile = Lineare Unabhängigkeit

 

Koordinatenebenen

Als Koordinatenebene bezeichnet man eine von zwei Einheitsvektoren aufgespannte Ursprungsebene. Im dreidimensionalen Raum gibt es drei Koordinatenebenen: die xy-Ebene, die xz-Ebene und die yz-Ebene.
Im Folgenden seien die drei Koordinatenachsen des dreidimensionalen Raums R^3 mit x_1, x_2 und x_3 bezeichnet. Die drei Koordinatenebenen werden häufig mit den Buchstaben E gekennzeichnet, der mit zwei Indizes versehen wird, die die beiden Einheitsvektoren angeben, von denen die Ebene aufgespannt wird:

  • die x_1x_2-Ebene E_{12} wird von den Vektoren \vec e_1 und \vec e_2 aufgespannt
  • die x_1x_3-Ebene E_{13} wird von den Vektoren \vec e_1 und \vec e_3 aufgespannt
  • die x_2x_3-Ebene E_{23} wird von den Vektoren \vec e_2 und \vec e_3 aufgespannt

Hierbei sind die drei linear unabhängigen Einheitsvektoren \vec e_1 = (1, 0, 0)^T, \vec e_2 = (0, 1, 0)^T und \vec e_3 = (0, 0, 1)^T.

Koordinatenebenen

 

 Daniel erklärt dir das Thema Koordinatenebene nochmal in seinem Video

Koordinatenebenen, Vektorgeometrie, analytische Geometrie | Mathe by Daniel Jung