Baumdiagramm

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Das Baumdiagramm kann durch eine kleine Erweiterung sehr geschickt zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen mehrstufiger Zufallsexperimente benutzt werden.

Dazu werden an den Zweigen die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten eingetragen, mit denen das zum Zweig gehörige Ereignis des Zufallsexperimentes eintritt. Diese Wahrscheinlichkeiten nennt man kurz Zweigwahrscheinlichkeiten.

Ein Baumdiagramm, das Zweigwahrscheinlichkeiten enthält, nennt man auch kurz Wahrscheinlichkeitsbaum. Üblicherweise gibt man alle Zweigwahrscheinlichkeiten entweder komplett als Brüche oder Dezimalzahlen an.

Mit oder ohne Zurücklegen?

Grundlegend ist aus der Aufgabenstellung zu entnehmen, ob es sich bei dem Zufallsexperiment um ein Experiment mit oder ohne Zurücklegen handelt. Machen wir uns anhand eines Beispiels deutlich, wo der Unterschied zwischen beiden Experimenten liegt.

 

Zufallsexperiment „Mit Zurücklegen“

In einer Urne befinden sich 60 rote Kugeln und 40 blaue Kugeln und wir ziehen zwei Kugeln mit Zurücklegen.

Baumdiagramm mit zurücklegen

Wie wir bereits wissen können wir hier die Laplace Wahrscheinlichkeit anwenden und erhalten die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

    \begin{align*} P(R) = \frac{60}{100} = 0,6 \\ P(B) = \frac{40}{100} = 0,4 \end{align*}

Erste Ziehung:
Wie man sehen kann hat man im ersten Zug jeweils die Chance eine rote oder eine blaue Kugel zu ziehen. Addiert man die Wahrscheinlichkeiten für beide Ereignisse, so erhält man als Summe eins: P(\Omega)=1.

Zweite Ziehung:
Beim zweiten Zug hat man wieder die gleiche Chance eine rote oder eine blaue Kugel zu ziehen, da man die Kugeln wieder zurücklegt. Dementsprechend ist festzuhalten, dass beim Ziehen mit Zurücklegen bei jedem Zug die gleichen Eintrittswahrscheinlichkeiten vorliegen (Laplace-Wahrscheinlichkeit). Auch hier müssen die einzelnen Ereignisse an jedem Knoten die Summe 1 betragen.

Schau dir dazu das Lernvideo zum Thema Baumdiagramm und Urnenmodell an.

Urnenmodelle und Pfadregeln in der Stochastik, Wahrscheinlichkeit | Mathe by Daniel Jung

 

Zufallsexperiment „Ohne Zurücklegen“

In einer Urne befinden sich 60 rote Kugeln und 40 blaue Kugeln und wir ziehen zwei Kugeln ohne Zurücklegen.

Baumdiagramm mit zurücklegen Urnenmodell

Wie wir bereits wissen können wir hier die Laplace-Wahrscheinlichkeit anwenden und erhalten die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

    \begin{align*} P(R) = \frac{60}{100} \\ P(B) = \frac{40}{100} \end{align*}

Erste Ziehung:

Im Baumdiagramm sehen wir die Wahrscheinlichkeiten im ersten Zug eine rote oder eine blaue Kugel zu ziehen. Addiert man die Wahrscheinlichkeiten für beide Ereignisse, so erhält man als Summe eins: P(\Omega)=1.

Zweite Ziehung:

Im Gegensatz zum Ziehen mit Zurücklegen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten beim Ziehen ohne Zurücklegen im zweiten Zug. Zieht man beispielsweise im ersten Zug eine rote Kugel, so hat man im zweiten Zug eine geringere Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu ziehen. Warum? Weil sich die Anzahl der günstigen und der möglichen Ereignisse (eine Rote Kugel weniger) um 1 verringert. Es befinden sich also nur noch 59 rote und insgesamt 99 Kugeln in der Urne. Die Wahrscheinlichkeit im zweiten Zug eine rote Kugel zu ziehen, ändert sich von 60/100 auf 59/99.

Merke: Bei Zufallsexperimenten ohne Zurücklegen ist es sinnvoller Brüche statt Dezimalzahlen für die Wahrscheinlichkeiten zu verwenden.

Daniel erklärt dir nochmal das Urnenmodell mit dem Fall „Ziehen ohne zurücklegen“.

Urnenmodell Ziehen ohne Zurücklegen, Beispiel, Kugeln, Stochastik | Mathe by Daniel Jung

 

Wahrscheinlichkeit mit Pfadregel

Um die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses zu erhalten, multipliziert man die Wahrscheinlichkeit entlang des Pfades, der dieses Ergebnis beschreibt. Wichtig: Die Pfadregel gilt bei jedem mehrstufigen Zufallsexperiment, gleichgültig, ob z.B. mit oder ohne Zurücklegen.

Zur Ermittlung einer Wahrscheinlichkeit

  • zeichnet man ein Baumdiagramm und
  • wendet die Pfadregel an!

Ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gesucht,

  • genügt es, nur die Pfade zu zeichnen, die zu diesem Ereignis gehören,
  • die Pfadregel anzuwenden und
  • die Wahrscheinlichkeiten dieser Pfade zu addieren (Summenregel).

Unterscheide folgende Regeln:

  1. Pfadregel (Produktregel):Die Wahrscheinlichkeiten eines einzelnen Ergebnisses ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der zu diesem Ergebnis führt.
  2. Pfadregel (Summenregel):Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die zu diesem Ereignis gehören.

Machen wir uns die Pfadregeln anhand des bekannten Beispiels klar:

In einer Urne befinden sich 60 rote Kugeln und 40 blaue Kugeln. Wir ziehen zwei Kugeln mit Zurücklegen.

Baumdiagramm mit zurücklegen Kugeln

Es liegt somit ein Laplace-Experiment vor, bei dem die Wahrscheinlichkeiten für ein Ereigniss immer gleich sind. Die Wahrscheinlichkeiten sowie das Baumdiagramm lauten:

    \begin{align*} P(R) = \frac{60}{100} \\ P(B) = \frac{40}{100} \end{align*}

1. Gesucht sei die Wahrscheinlichkeit für zwei rote Kugeln.

Baumdiagramm mit zurücklegen Kugeln

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit, müssen wir die Wahrscheinlichkeiten mit der Pfadregel entlang des Pfades multiplizieren. Die Wahrscheinlichkeit zwei rote Kugeln hintereinander zu ziehen beträgt:

    \begin{align*} P(R,R) = P(R) \cdot P(R) = 0,6 \cdot 0,6 = 0,36 \end{align*}

2. Gesucht sei die Wahrscheinlichkeit für eine blaue und eine rote Kugel.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für eine rote und blaue sowie für eine blaue und rote Kugel mit der Pfadregel bestimmen. Warum? Weil die Reihenfolge der Ziehung egal ist. Es geht darum insgesamt eine blaue und eine rote Kugel zu ziehen.

Baumdiagramm mit Zurücklegen Kugeln blau und rot

Die gesamte Wahrscheinlichkeit, eine rote und blaue Kugel zu ziehen, wird dann mit der Summenregel bestimmt. Die Wahrscheinlichkeit eine rote und eine blaue Kugel zu ziehen beträgt:

    \begin{align*} P(R,B) + P(B,R) &= 0,6 \cdot 0,4 + 0,4 \cdot 0,6 \\ & = 0,24+0,24 = 0,48 = 48\% \end{align*}

Vertiefe dein Wissen und schau das Lernvideo zur 1. und 2. Pfadregel

1. und 2. Pfadregel, Gegenwahrscheinlichkeit, Stochastik, Wahrscheinlichkeit, Baumdiagramm