Einaxial belastete Stäbe

Bei diesen Aufgabentypen ist in der Regel nach Längenänderungen oder Spannungen gefragt. Allgemein gilt: Spannung = Kraft pro Fläche!

Lösungsschritte

(i) für statisch bestimmte Stäbe

  • Statisches System: Idealisierung in n Stäbe. Zusätzliche Balken werden als starr angenommen.
  • Gleichgewichtsbedingungen aufstellen
  • Spannungen: Für jeden Stab gilt

    \begin{align*} \sigma_i = \frac{N_i}{A_i} \quad \textrm{mit} \quad i=1, \ \dots \ , \ n \end{align*}

  • Längenänderungen:

    \begin{align*} \Delta l_i = \frac{N_i \cdot l_i}{(EA)_i} + \alpha_{T_i} \cdot \Delta T_i \cdot l_i \end{align*}

  • Verschiebung von Stabendpunkten

\rightarrow Grafo-analytisch zur Berücksichtigung der Kompatibilität

  • Weitere Aufgabenstellungen: Spannungs- und Verformungsnachweis, Dimensionierung etc.

z.B.     bil_zugstab_best

\rightarrow statisch bestimmt, da Auflagerreaktionen über  Gleichgewichtsbedingungen ermittelbar sind!

(ii) für statisch unbestimmte Stäbe

  • Statisches System
  • Gleichgewichtsbedingungen
  • Grad der statischen Unbestimmtheit n_s
  • Vergleich von Anzahl an Unbekannten mit Gleichgewichtsbedingungen
  • Kompatibilitätsbedingungen

    \begin{align*} \Delta l_i = \frac{N_i \cdot l_i}{(EA)_i} + \alpha_{T_i} \cdot \Delta T_i \cdot l_i \end{align*}

und n_s Kompatibilitätsbedingungen mit Hilfe eines Pol- und Verschiebungsplanes, z.B. \Delta l_i = 2 \Delta l_k

  • Auflösen des Gleichungssystems
  • Weitere Aufgabenstellungen: Spannung, Längenänderung, Verdrehung etc.

z.B.     bil_zugstab_unbest

\rightarrow statisch bestimmt, da Auflagerreaktionen über  Gleichgewichtsbedingungen ermittelbar sind!

 

Kompatibilitätsbedingungen für statisch unbestimmte Stäbe

bil_zugstab_kompbed

 

 

Aufgabe zu einaxial belasteten Stäben

Gegeben ist nebenstehendes System.

bil_zugstab_bsp

Folgende Aufgaben sind zu erfüllen:

  1. Erstelle ein statisches Ersatzsystem.
  1. Berechne alle Stabkräfte.
  1. Ermittle die Spannungen in allen Stäben.
Bekannt: A_1 = A_3 = A_4 = 30 \ \textrm{cm}^2, \ A_2 = 2 A_1, \ E_{1,2} = 210 \ \textrm{GPa}, E_3 = 70 \ \textrm{GPa}, \ E_4 = 100 \ \textrm{GPa}, l=1 \ \textrm{m}, \ \Delta T = 50 \ \textrm{K}

 

Video ähnliches Beispiel einaxial belastete Stäbe mit thermischem Anteil

Stabkräfte bestimmen beim stat. unbest. System mit thermischen Anteil