Der Mohr’sche Spannungskreis

Wenn es um den Mohr’schen Spannungskreis geht, werden in der Regel folgende Aufgabentypen behandelt:

(i) Ermittlung von Hauptspannungen

(ii) Ermittlung der Spannungen in gedrehten Koordinatensystemen

Gegeben sei der ebene Spannungszustand \underline{\underline{\sigma}} = \begin{pmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} \\ \tau_{yx} & \sigma_y \end{pmatrix}.

Lösungsschritte zu (i):

bil_mohrsch_kreis

  1. Achsen \sigma-\tau zeichnen – \tau positiv nach unten!
  2. Eintragen der Punkte: P_x = ( \sigma_x; \ \tau_{xy} ) und P_y = ( \sigma_y; \ -\tau_{xy} )
  3. Schnittpunkt der Verbindungslinie \overline{P_xP_y} mit \sigma-Achse liefert Kreismittelpunkt M
  4. Kreis um M mit Radius \overline{MP_x} zeichnen
  5. Hauptspannungen \sigma_1, \ \sigma_2 aus Schnittpunkt mit \sigma-Achse abgreifen
  6. Doppelten Hauptspannungswinkel ablesen 2\varphi^*

Lösungsschritte zu (ii):

bil_mohrsche_lösung2

  1. Verbindungen von P_2 mit P_x und P_y legen x-y-Achsen fest! Richtungssinn von x beliebig, unter Beachtung eines Rechtssystems folgt der Richtungssinn von y.
  2. Von x-Achse ausgehend für gegebenen Winkel \varphi die \xi-Achse (\xi = Xi) zeichnen
  3. Unter Beachtung des Richtungssinnes folgt die \eta-Achse (\eta= Eta)

\rightarrow Merke: Aus x wird Xi und aus y wird Eta!

  1. Schnittpunkte der \xi-\eta-Achse mit Kreis legen Punkte P_\xi und P_\eta fest
  2. Abgreifen der Spannungen P_\xi=(\sigma_\xi , \ \tau_{\xi\eta}) und P_\eta=(\sigma_\eta , \ -\tau_{\xi\eta})

Rechnerische Bestimmung:

(i) Hauptnormalspannungen (kurz: Hauptspannungen)

    \begin{align*} 1. \ \sigma_1 &= \sigma_{max} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \sqrt{ \left( \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2} \\ 2. \ \sigma_2 &= \sigma_{max} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} - \sqrt{ \left( \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2} \\ 3. \ \tau_{12} &= 0 \end{align*}

\rightarrow In Hauptspannungsrichtung verschwindet Schubspannung!

  • Winkel der maximalen/minimalen Hauptspannungsrichtung:

    \begin{align*} \tan \varphi_1^* = \frac{\tau_{xy}}{\sigma_1 - \sigma_y} \quad \textrm{und} \quad \varphi_2^*=\varphi_1^*+\frac{\pi}{2} \end{align*}

bil_mohrsch_hauptspannung

  • Kontrolle über Invarianten:

    \begin{align*} 1. \ J_{1\sigma} = \sigma_x + \sigma_y = \sigma_1 + \sigma_2 \\ 2. \ J_{2\sigma} = \sigma_x \cdot \sigma_y -\tau_{xy}^2 = \sigma_1 \cdot \sigma_2 \end{align*}

(ii) Hauptschubspannungen

    \begin{align*} &1. \  \sigma_{\xi} ( \tilde{\varphi} )  = \sigma_{\eta} ( \tilde{\varphi} ) = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} = \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{2} = \sigma_M \\ &2. \ \tau_{max/min} = \stackrel{+}{-} \sqrt{ \left(  \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2} \right)^2 + \tau_{xy}} = \stackrel{+}{-} \frac{\sigma_1-\sigma_2}{2}  =  \stackrel{+}{-}  \sigma_R \end{align*}

mit den Winkeln der Hauptschubspannungsachsen:

    \begin{align*} \tilde{\varphi}_1 = \varphi_1^*-\frac{\pi}{4} \quad \textrm{und} \quad \tilde{\varphi}_2 = \varphi_1^*+\frac{\pi}{4} \end{align*}

bil_mohrsch_schubspannung

 

Video typische Belastungsfälle beim Mohrschen Spannungskreis

Mohrscher Spannungskreis – typische Belastungsfälle – Technische Mechanik 2

 

Aufgabe zum Mohr’schen Spannungskreis

Gegeben ist der folgende ebene Spannungszustand \underline{\underline{\sigma}} = \begin{pmatrix} 10& -40 \\ -40 & -80 \end{pmatrix}.

Bestimme zeichnerisch/rechnerisch

  1. die Hauptspannungen,
  2. die maximale Schubspannung,
  3. den Hauptspannungswinkel,
  4. die Spannungen für ein um 45° gedrehtes Koordinatensystem.

Welche Vergleichsspannungshypothesen gibt es und in welchen Bereichen finden die jeweiligen Hypothesen Anwendung?

 

Video Mohrscher Spannungskreis ähnliches Beispiel

Mohrscher Spannungskreis – Hauptspannungen – Technische Mechanik 2