Die Technische Torsionstheorie

bil_torsion

\rightarrow Belastung F führt zu einem Torsionsmoment M_T(x) und folglich zu einer Verdrehung \vartheta des eingespannten Trägers.

Einteilung der Torsion

  1. Merkmal Belastung:
  • Reine Torsion \rightarrow bei Schnittgrößen nur M_T(x)=0
  • Torsion mit Streckenlast \rightarrow M_T(x) \neq 0
  1. Merkmal Theorie zur Verwölbung:
  •  Torsion ohne Wölbbehinderung (St. Venant) \rightarrow u_x(x)\neq 0; \ \sigma_x=0
  • Torsion mit Wölbbehinderung \rightarrow u_x(x) =0; \ \sigma_x \neq 0
  1. Merkmal Querschnitt:

bil_torsion_profile

 

Wichtige Formeln zu bestimmten Querschnitten:

Zu ii.: I_T=\frac{4\cdot A_m^2}{\Lambda} mit \Lambda = \oint \frac{ds}{h(s)}= \sum \frac{a_i}{h_i}

Zu iii.:  \vartheta (x)= \frac{M_T(x)}{G\cdot I_T} = \frac{\tau_{max}}{G\cdot h_{max}}, \ \tau(s)= \frac{M_T}{I_T} \cdot h(s), mit I_T \stackrel{\sim}{=} \frac{\eta}{3} \cdot \sum a_i \cdot h_i^3

bil_torsion_querschnitte

 

Lösungsschritte (vgl. Rolf Mahnken, Lehrbuch der Technischen Mechanik – Elastostatik, Springer Verlag, 1. Auflage, 2015)

(i) für statisch bestimmte Torsionsstäbe

a. statisches System: Aufteilung in n Bereiche; eintragen von Koordinatensystemen

b. Schnittgrößen

c. Querschnittswerte: I_T, \ W_T \ \rightarrow Tabelle

d. Schubspannungen: In Abhängigkeit der Querschnittsform

\bullet Kreis- und Kreisring: \tau_{xs}(x,r) = \frac{M_T(x)}{I_T} \cdot r

\bullet Geschl. dünnwandig: \tau_{xs}(x,r) = \frac{M_T(x)}{2 \cdot A_m \cdot h(s)}

\bullet Offen dünnwandig: \tau_{max} = \frac{M_T(x)}{W_T}

\bullet Bel. Querschnitt: wird meist nicht benötigt.

e. Verdrehung: Integration von

    \begin{align*} \vartheta'(x) = \frac{M_T(x)}{G I_T} \end{align*}

unter Berücksichtigung von 1 \cdot n Rand- und Übergansbedingungen. Merke: bei reiner Torsion kann die Verdrehung über

    \begin{align*} \Delta \vartheta = \frac{M_T \cdot l}{G I_T} \end{align*}

berechnet werden.

(ii) für statisch unbestimmte Torsionsstäbe

a. statisches System

b. Querschnittswerte: I_T, \ W_T \ \rightarrow Tabelle

c. Verdrehungen: Integration für jeden Einzelstab von

    \begin{align*} G  I_T \vartheta'(x) = -m_T(x) \end{align*}

unter Beachtung von 2 \cdot n Rand- und Übergangsbedingungen

d. Weitere Aufgabenstellungen:

z.B. Momentenverlauf über M_T(x) = G I_T \vartheta'(x), Schubspannungen in Abh. des Querschnitts (s. oben)

Aufgabe Schubspannung infolge Torsion

Schubspannung infolge von Torsion – offenes und geschlossenes Profil – Technische Mechanik 2