Fachwerk

Allgemeines

Das Besondere an Fachwerken ist, dass nur Kräfte in Stabrichtung (keine Querkräfte/Momente) vorliegen. Das Stichwort: Pendelstäbe!

Zusätzlich liegen in den einzelnen Knoten zentrale Kraftsysteme vor, was die Berechnung vereinfacht. Zudem kann die Untersuchung der Freiheitsgrade und des Gleichgewichts auf Knoten reduziert werden. Die Freiheitsgrade eines Knotens in der Ebene haben den Wert: f=2, also keine Verdrehung!

Was behindert also die Verschiebung des Knotens?

  • Anzahl der Stäbe s
  • Lagerreaktionen r

Die Untersuchung der statischen Bestimmtheit findet ihr im Kapitel statische Bestimmtheit.

Es sollte beachtet werden, dass äußere Kräfte i.d.R. nur an Knoten angreifen.

Ermittlung von Nullstäben

Nachdem die Statische Bestimmtheit geprüft ist und Stabkräfte berechnet werden sollen, ist es vorteilhaft, sich zunächst die Nullstäbe rauszusuchen. Das kann man mit etwas Übung sehr leicht sehen. Allerdings bedarf es dann einer guten Begründung!

Die Begründung kann dabei mittels der drei nachstehenden Regeln oder über den Kräfte- & Lageplan (KP & LP) erfolgen!

Regel 1: 

„Sind an einem unbelasteten Knoten 2 Stäbe angeschlossen, die nicht in gleicher Richtung liegen, so sind diese Stäbe Nullstäbe.“bil_nullstab1Regel 2: 

„Sind an einem belasteten Knoten 2 Stäbe angeschlossen und liegt die Last in Richtung einer dieser Stäbe, so ist der andere ein Nullstab.“bil_nullstab2

Regel 3: 

„Sind an einem unbelasteten Knoten 3 Stäbe angeschlossen, von denen zwei in gleicher Richtung liegen, so ist der dritte ein Nullstab.“bil_nullstab3

Video Nullstäbe beim Fachwerk erkennen

Nullstäbe – Fachwerk – Technische Mechanik 1 (Statik)

Ermittlung der Stabkräfte

Zunächst werden kurz die Besonderheiten der drei Verfahren zeichnerisches und rechnerisches Knotenpunktverfahren sowie der Ritterschnitt dargestellt. Anschließend werden Lösungshinweise zu jedem Verfahren vorgestellt und in Beispielen angewendet.

Zeichnerisches Knotenpunktverfahren

  • hier wird nichts gerechnet – nur abgelesen!
  • Allgemein gilt: Es dürfen maximal 2 Unbekannte am Knoten angreifen
  • Vorgehen: Rückblick zentrale ebene Kraftsysteme, wobei die Wirkungslinien beider Kräfte bekannt und die Beträge gesucht sind.

Lösungsschritte mit Beispiel:

Gegeben ist der Ausschnitt dieses Fachwerks und es sollen die Stabkräfte 1 und 2 mit dem zeicherischen Knotenpunktverfahren ermittelt werden.

bil_stabkraft_1

Dafür arbeiten wir einfach die folgenden Lösungsschritte ab.

(i) Lageplan: Eintragen aller bekannten Kräfte (Richtung bitte so, dass Zahlwert positiv ist) und Wirkungslinien der unbekannten Kräfte

(ii) Kräfteplan: Maßstäbliches Aneinanderreihen aller bekannten Kräfte. Anfangspunkt mit A und vorläufiges Ende mit E' bezeichnen.

bil_stabkraft_2

(iii) Bekannte Wirkungslinie in Kräfteplan: Eintragen der einen bekannten Wirkungslinie durch A, eintragen der anderen Wirkungslinie durch E' \rightarrow Schnittpunkt suchen.

bil_stabkraft_3

(iv) Schließen des Kräftepolygons: Es muss A=E gelten, also Anfangspunkt gleich Endpunkt.

(v) Unbekannte Beträge entsprechend des Maßstabes aus Kräfteplan ablesen

bil_stabkraft_4

(vi) Übertragen der Kräfte nach Betrag und Richtung in Lageplan \rightarrow angeben, ob es sich um einen Zug- oder Druckstab handelt!

bil_stabkraft_5

Video Beispiel zeichnerisches Knotenpunktverfahren

Stabkräfte bestimmen – zeichnerisches Knotenpunktverfahren – Technische Mechanik 1 (Statik)

Rechnerisches Knotenpunktverfahren

  • Alle Stabkräfte werden im Lageplan direkt auf Zug angenommen
    • Wenn Kraft negativ:   Druckstab
    • Wenn Kraft positiv:    Zugstab
  • Es sollten maximal 2 unbekannte Kräfte am Knoten angreifen
  • Bestimmung der Unbekannten mittels Gleichgewicht am Knoten
    • Summe der Kräfte in horizontaler Richtung
    • Summe der Kräfte in vertikaler Richtung

Lösungsschritte mit Beispiel:

1. Knoten raussuchen, wo max. 2 Unbekannte Stabkräfte angreifen.

bil_stabkraft_1

2. Lageplan zeichnen und unbekannte Stabkräfte immer auf Zug annehmen!bil_stabkraft_6

3. Gleichgewicht am Knoten bestimmen.

    \begin{align*} \leftarrow&: \ s_1+2F=0 \ \Leftrightarrow \ s_1=-2F \ \textrm{(Druckstab)} \\ \downarrow&: \ s_2=0 \end{align*}

 Video Beispiel rechnerisches Knotenpunktverfahren

Stabkräfte mit dem rechnerischen Knotenpunktverfahren

Ritterschnitt-Verfahren

  • Praktisch, wenn nur einzelne Stabkräfte gesucht sind
  • Vorgehen: Schnitt durch
    • 3 nicht durch einen Knoten gehende Stäbe
    • einen Stab und ein Gelenk

Anhand des folgenden Fachwerks soll der Ritterschnitt etwas näher erläutert werden. Wir haben zwei beliebige Ritterschnitte eingetragen und wollen nun die weitere Vorgehensweise durchspielen.

bil_ritterschnitt_1

Betrachten wir den Schnitt 1. Durch den Ritterschnitt haben wir das Fachwerk in zwei Teile „geschnitten“, um die Stabkräfte sichtbar zu machen – Wichtig: Kräfte immer auf Zug annehmen! Ihr habt jetzt die Wahl, mit welcher Hälfte ihr weiterarbeiten wollt. Hier betrachten wir die linke Seite, weil es gefühlt weniger zu zeichnen ist. Wenn nun die Lagerreaktionen eingetragen werden, können die Stabkräfte s_2, \ s_3 und s_4  berechnet werden.

bil_ritterschnitt_2

Die Lagerreaktionen im Lager A lauten A_x=0 und A_y = 7F/4.

bil_ritterschnitt_3

    \begin{align*} \curvearrowleft II&: \ s_2\cdot a + A_x\cdot a + A_y \cdot a=0 \quad \Leftrightarrow \quad s_2 = -A_y=-\frac{7}{4}F \ \textrm{(D)} \\ \curvearrowright III&: \ s_4\cdot a -2F\cdot a + A_y \cdot 2a=0 \quad \Leftrightarrow \quad s_4 = 2F-2A_y=-\frac{3}{2}F \ \textrm{(D)} \\ \downarrow&: \ 2F-A_y + \frac{s_3}{\sqrt{2}}=0 \quad \Leftrightarrow \ \ s_3 = \sqrt{2}\cdot \left(\frac{7}{4}F-2F \right)=-\frac{1}{2\sqrt{2}}F \ \textrm{(D)} \end{align*}

Da wir die Stabkräfte im Lageplan auf Zug angenommen haben, erhalten wir Druckstäbe (D) bzw. Zugstäbe (Z) wenn ein negatives bzw. positives Ergebnis rauskommt.

Video Beispiel Fachwerk Ritterschnittverfahren

Ritterschnitt beim Fachwerk – Stabkräfte bestimmen – Technische Mechanik 1

Beispiel Fachwerk Klausuraufgabe

Gegeben ist das nebenstehende Fachwerk.

bil_fachwerk_bsp1

Folgende Aufgaben sind zu bearbeiten:

1) Prüfung auf statische Bestimmtheit.

Notwendige Bedingung: f=2k-(r+s)=2\cdot 8-(3+13)=0 \ \checkmark

Hinreichende Bedingung: bil_fachwerk_bsp1_bg

1. Bildungsgesetz: innerlich statisch bestimmt.

Polplan liefert einen Widerspruch (geom. Ort schneidet nicht Pol) und aus diesem Grund ist das Fachwerk statisch bestimmt.

2) Berechne die Lagerreaktionen.

Hier sollte zunächst ein Freischnitt gemacht werden. Es ist nicht notwendig, das Fachwerk mit allen inneren Stäben erneut abzumalen! bil_fachwerk_bsp1_lager

Gleichgewichtsbedingungen:

    \begin{align*} \rightarrow&: \ A_x=0 \\ \curvearrowleft A&: \ B_y\cdot 6a - F\cdot 4a=0 \ \Leftrightarrow \ B_y = \frac{2}{3}F \\ \uparrow&: \ A_y-F+B_y=0 \ \Leftrightarrow \ A_y=\frac{1}{3}F \end{align*}

3) Nenne die Nullstäbe.

Regel 1: s_{10} und s_{13}

Regel 2: keiner

Regel 3: s_5 und s_9

4) Bestimme die Stabkräfte s_1 und s_4 mit dem rechnerischen Knotenpunktverfahren. Gib dabei an, ob es sich um einen Zug- oder Druckstab handelt.

bil_fachwerk_bsp1_stab

    \begin{align*} \rightarrow: \ s_4+A_x=0 \ &\Leftrightarrow \ s_4=-A_x=0 \\ \uparrow: \ s_1+A_y=0 \ &\Leftrightarrow \ s_1=-A_y=-\frac{1}{3}F \ \textrm{(D)} \end{align*}

Wir haben den Knoten freigeschnitten und die unbekannten Stabkräfte auf Zug im Lageplan eingetragen. Über das Kräftegleichgewicht am Knoten erhalten wir die gesuchten Größen.

5) Bestimme die Stabkraft s_6 mit dem Ritterschnitt.

Fachwerk mit Ritterschnitt berechnen

Um die gesuchte Stabkraft zu ermitteln, müssen wir das Fachwerk gemäß den Vorgaben schneiden. Den Schnitt legen wir durch Stab 6, 7, und 8, um schnell zum Ergebnis zu kommen. Im Lageplan nehmen wir die Stabkräfte wie immer auf Zug an.bil_fachwerk_bsp1_ritter2

    \begin{align*} \curvearrowright IV: \ s_6\cdot a + A_y \cdot a=0  \quad \Leftrightarrow \ s_6 = -A_y=- \frac{1}{3}F \ \textrm{(D)} \end{align*}

Lösungsvideo zum Beispiel

Fachwerk – typische Klausuraufgabe