{"id":10,"date":"2015-03-25T20:48:25","date_gmt":"2015-03-25T19:48:25","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/mathe\/wp\/?page_id=10"},"modified":"2020-03-23T10:03:25","modified_gmt":"2020-03-23T09:03:25","slug":"funktionen","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/funktionen\/","title":{"rendered":"Funktionen Grundlagen"},"content":{"rendered":"\n<p>Auf dieser Seite zum Thema &#8222;Grundlagen von Funktionen&#8220; findest du Erkl\u00e4rungen zu folgenden Themen:<\/p>\n<p><strong>Inhaltsverzeichnis<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#lineare-funktion\">Lineare Funktion<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#quadratische-funktionen\">Quadratische Funktionen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#polynomfunktion\">Polynomfunktion<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#wurzelfunktion\">Wurzelfunktion<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#betragsfunktion\">Betragsfunktion<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#exponentialfunktion\">Exponentialfunktion<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#logarithmusfunktion\">Logarithmusfunktion<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#manipulation-von-grundfunktionen\">Manipulation von Grundfunktionen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#umkehrfunktion\">Umkehrfunktion<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#funktion-gegeben\">Was ist in der Funktion gegeben?<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<hr \/>\n<h2 id=\"lineare-funktion\" class=\"anchor\">Lineare Funktion<\/h2>\n<p>Die allgemeine Form f\u00fcr eine <a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/lineare-funktionen\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">lineare Funktion<\/a> lautet:<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\ny=m \\cdot x + b \\quad \\textrm{mit} \\quad m=\\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Um die Steigung $m$ zu bestimmen brauchen wir zwei Punkte $P_1(x_1|y_1)$ und $P_2(x_2|y_2)$.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\" aligncenter wp-image-3950 size-full\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_gerade_neu-1024x6581.png\" alt=\"Lineare Funktion \" width=\"346\" height=\"222\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_gerade_neu-1024x6581.png 346w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_gerade_neu-1024x6581-300x192.png 300w\" sizes=\"(max-width: 346px) 100vw, 346px\" \/><\/p>\n<p><strong>Hier findest du kostenlose Lernvideos zum Thema Lineare Funktionen.<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Playlist: Lineare Funktionen (Geraden), y=m*x+n\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe playlist\" id=\"WYL_PLLTAHuUj-zHgTV0cdQhkHn1gLJuzp9RD0\"><div id=\"lyte_PLLTAHuUj-zHgTV0cdQhkHn1gLJuzp9RD0\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FMgUqwCat-Ho%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Playlist: Lineare Funktionen (Geraden), y=m*x+n<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtube.com\/playlist?list=PLLTAHuUj-zHgTV0cdQhkHn1gLJuzp9RD0\" rel=\"nofollow\"><br \/>Diese Wiedergabeliste auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr \/>\n<h2 id=\"quadratische-funktionen\" class=\"anchor\">Quadratische Funktionen<\/h2>\n<p>Die allgemeine Form f\u00fcr eine <a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/quadratische-funktionen\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">quadratische Funktion<\/a> lautet:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\ny=ax^2+bx+c<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Die einfachste quadratische Funktion ist die Normalparabel mit $y=x^2$. Der h\u00f6chste oder tiefste Punkt einer quadratischen Funktion wird auch Scheitelpunkt $S$ genannt. Die Scheitelpunktform lautet:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\ny=a\\cdot (x-\\boldsymbol{d})^2+e \\quad \\textrm{mit} \\quad S(\\boldsymbol{d}|e)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\" aligncenter wp-image-3952 size-full\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_quadratische_neu1.png\" alt=\"quadratischen Funktion Extremstellen\" width=\"356\" height=\"241\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_quadratische_neu1.png 356w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_quadratische_neu1-300x203.png 300w\" sizes=\"(max-width: 356px) 100vw, 356px\" \/><\/p>\n<p><strong>Vollst\u00e4ndige Playlist zum Thema Quadratische Funktionen<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Playlist: Quadratische Funktionen, Parabeln\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe playlist\" id=\"WYL_PLLTAHuUj-zHhRwBDeNqYk1edYRHmx8Qd1\"><div id=\"lyte_PLLTAHuUj-zHhRwBDeNqYk1edYRHmx8Qd1\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FHDI1kYOIldI%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Playlist: Quadratische Funktionen, Parabeln<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtube.com\/playlist?list=PLLTAHuUj-zHhRwBDeNqYk1edYRHmx8Qd1\" rel=\"nofollow\"><br \/>Diese Wiedergabeliste auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr \/>\n<h2 id=\"polynomfunktion\" class=\"anchor\">Polynomfunktion<\/h2>\n<p>Die allgemeine Form f\u00fcr eine Polynomfunktion (auch ganzrationale Funktion genannt)<\/p>\n<p><strong>3. Grades lautet:<\/strong><br \/>\n$y=ax^3+bx^2+cx+d $<\/p>\n<p><strong>4. Grades lautet: <\/strong><br \/>\n$y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e $<br \/>\n<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\" aligncenter wp-image-3140 size-medium\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_polynomfunktion_neu-300x192.png\" alt=\"Polynomfunktion\" width=\"300\" height=\"192\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_polynomfunktion_neu-300x192.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_polynomfunktion_neu-768x492.png 768w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_polynomfunktion_neu.png 962w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nGrad $n$ beschreibt den h\u00f6chsten Exponent f\u00fcr $x$ f\u00fcr $a\\neq 0$. Es gibt maximal so viele Nullstellen, wie der Grad $n$ der Funktion ist.<br \/>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Playlist: Ganzrationale Funktionen, Polynomfunktionen, Analysis\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe playlist\" id=\"WYL_PLLTAHuUj-zHjqKr3k2YwD8m1tzhqlHHr0\"><div id=\"lyte_PLLTAHuUj-zHjqKr3k2YwD8m1tzhqlHHr0\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FUjvec6wDr64%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Playlist: Ganzrationale Funktionen, Polynomfunktionen, Analysis<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtube.com\/playlist?list=PLLTAHuUj-zHjqKr3k2YwD8m1tzhqlHHr0\" rel=\"nofollow\"><br \/>Diese Wiedergabeliste auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr \/>\n<h2 id=\"wurzelfunktion\" class=\"anchor\">Wurzelfunktion<\/h2>\n<p>Die allgemeine Form einer <a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/wurzeln-berechnen\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Wurzelfunktion<\/a> lautet:<\/p>\n<p>\\begin{align}<br \/>\nf(x)=\\sqrt[n]{x} \\ \\text{f\u00fcr} \\ x \\geq 0 \\notag<br \/>\n\\end{align}<br \/>\nmit $n$ als Wurzelexponent. Sie besitzt die einzige Nullstelle bei $x=0$. Je gr\u00f6\u00dfer $n$ ist, desto flacher verl\u00e4uft der Graph ab $x=1$. Wenn $n$ gerade bzw. ungerade, ist $x\\in [0, \\infty)$ bzw. $x \\in \\mathbb{R}$.<br \/>\n<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\" aligncenter wp-image-3954 size-full\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_wurzelfunktion_neu1.png\" alt=\"Wurzelfunktion\" width=\"367\" height=\"229\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_wurzelfunktion_neu1.png 367w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_wurzelfunktion_neu1-300x187.png 300w\" sizes=\"(max-width: 367px) 100vw, 367px\" \/><\/p>\n<hr \/>\n<h2 id=\"betragsfunktion\" class=\"anchor\">Betragsfunktion<\/h2>\n<p>In der Mathematik ordnet die Betragsfunktion einer reellen Zahl ihren Abstand zur Null zu. Der sog. absolute Betrag, Absolutwert oder auch schlicht Betrag, ist immer eine nichtnegative Zahl, also gr\u00f6\u00dfer oder gleich Null.<\/p>\n<p><strong>Schreibweisen:<\/strong> $f(x)=|x|$ oder $f(x)=abs(x)$.<\/p>\n<p>F\u00fcr eine beliebige reelle Zahl $x$ gilt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n|x| = \\left\\{ \\begin{array}{ll} x&amp;, \\ x \\geq 0 \\\\<br \/>\n-x&amp;, \\ x &lt; 0 \\end{array}\\right. .<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3955 size-full\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_betragsfunktion_neu1.png\" alt=\"Betragsfunktion\" width=\"396\" height=\"252\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_betragsfunktion_neu1.png 396w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_betragsfunktion_neu1-300x191.png 300w\" sizes=\"(max-width: 396px) 100vw, 396px\" \/><\/p>\n\n<hr \/>\n<h2 id=\"exponentialfunktion\" class=\"anchor\">Exponentialfunktion<\/h2>\n<p>Eine Funktion hei\u00dft Exponentialfunktion (zur Basis a), wenn sie die Form<br \/>\n\\begin{align}<br \/>\nf(x) = a^x = e^{x \\cdot \\ln(a)} \\ \\text{mit} \\ x \\in \\mathbb{R}, a &gt;0 \\notag<br \/>\n\\end{align}<br \/>\naufweist, wobei $a$ eine beliebige positive Konstante bezeichnet. Falls $a = e$ ist, spricht man im Allgemeinen von der $e$-Funktion. Es handelt sich hierbei um die eulersche Zahl $e\\approx 2,72$ &#8211; eine irrationale Zahl wie z.B. die Kreiszahl $\\pi$. Sie verl\u00e4uft oberhalb der $x$-Achse und besitzt keine Nullstelle.<br \/>\n<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3956 size-full\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_exponentialfunktion_neu1.png\" alt=\"Exponentialfunktion\" width=\"342\" height=\"223\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_exponentialfunktion_neu1.png 342w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_exponentialfunktion_neu1-300x196.png 300w\" sizes=\"(max-width: 342px) 100vw, 342px\" \/><\/p>\n<p>Die Form der Exponentialfunktion erinnert uns an einen Potenzausdruck, wobei die Rolle von Basis und Exponent vertauscht wird! F\u00fcr den Fall, dass $a=e$ ist, gilt als Folge der Potenzgesetze f\u00fcr die $e$-Funktion: $e^0=1, \\ e^1=e, \\ e^x \\cdot e^y = e^{x+y}$.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\ne^0=1, \\ \\ e^1=e, \\ \\ e^x \\cdot e^y = e^{x+y}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<hr \/>\n<h2 id=\"logarithmusfunktion\" class=\"anchor\">Logarithmusfunktion<\/h2>\n<p>Eine Funktion hei\u00dft Logarithmusfunktion (zur Basis $a$), wenn sie allgemein die Form<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf(x) = \\log_a(x), \\ x \\in (0,\\infty)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>aufweist, wobei $a$ eine beliebige positive Konstante bezeichnet.<br \/>\n<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3957 size-full\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_lnfunktion_neu-1024x5211.png\" alt=\"Logarithmusfunktion\" width=\"397\" height=\"202\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_lnfunktion_neu-1024x5211.png 397w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_lnfunktion_neu-1024x5211-300x153.png 300w\" sizes=\"(max-width: 397px) 100vw, 397px\" \/><\/p>\n<p>In den speziellen F\u00e4llen $a = e$ und $a = 10$ spricht man von<\/p>\n<ul>\n<li>$f(x)= \\ln(x)$, als &#8222;nat\u00fcrlichen Logarithmus&#8220; und<\/li>\n<li>$f(x) = \\log(x)$, als &#8222;dekadischen Logarithmus&#8220;.<\/li>\n<\/ul>\n<p>In der Regel rechnen wir aber mit dem nat\u00fcrlichen Logarithmus. Falls aber mal der Fall auftreten sollte, dass kein nat\u00fcrlicher Logarithmus vorliegt, kann dieser mit einfachen Mitteln wie folgt umgeschrieben werden:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nlog_a(x)=\\frac{\\ln(x)}{\\ln(a)}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Ein weiterer n\u00fctzlicher Zusammenhang ist<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\ne^{\\ln(x)}=x \\ \\textrm{bzw.} \\ \\ln(e^x)=x,<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>der im Bereich\u00a0&#8222;L\u00f6sen von Gleichungen&#8220; \u00e4u\u00dferst wichtig ist.<\/p>\n<p><strong>Logarithmengesetze<\/strong><\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n&amp;\\ln(ab)=\\ln(a)+\\ln(b) \\\\<br \/>\n&amp;\\ln(\\frac{a}{b})=\\ln(a)-\\ln(b) \\\\<br \/>\n&amp;\\ln(a^b)=b\\cdot \\ln(a)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<hr \/>\n<h2 id=\"manipulation-von-grundfunktionen\" class=\"anchor\">Manipulation von Grundfunktionen<\/h2>\n<p>Auch Graphentransformation genannt. Idee: Aus dem Graphen einer gegebenen Funktion $f(x)$ mit dem Definitionsbereich $D$ und dem Wertebereich $W$ sollen die Graphen &#8222;neuer&#8220; Funktionen $g(x)$ mit dem Definitionsbereich $D_g$ und dem Wertebereich $W_g$ durch einfache Operationen gewonnen werden.<\/p>\n<p>Hier ist eine \u00dcbersichtstabelle, die die Manipulationen an Funktionen und die Wirkung auf den Graphen, den Definitionsbereich und den Wertebereich beschreibt. &#8222;Wirkung&#8220; soll hei\u00dfen: Bildet man den Term $g(x)$ wie beschrieben, so entsteht der Graph von $g$ aus dem Graphen von $f$ durch&#8230;<\/p>\n<p><center><br \/>\n$<br \/>\n\\begin{array}{c|c|c|c}<br \/>\ng(x)= &amp; D_g= &amp; W_g= &amp; \\text{Wirkung auf den Graphen} \\\\<br \/>\n\\hline \\hline<br \/>\nf(x)+a, \\ a \\in \\mathbb{R} &amp; D\u00a0 &amp;\u00a0 a+W &amp; \\text{Verschiebung vertikal um a} \\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\nf(x+a), \\ a \\in \\mathbb{R} &amp; -a+D\u00a0 &amp;\u00a0 W &amp; \\text{Verschiebung horizontal um -a} \\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\nc\\cdot f(x), \\ c&gt;0 &amp; D\u00a0 &amp; c \\cdot W &amp; c&gt;1: \\text{Streckung, 0&lt;c&lt;1: Stauchung} \\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\nf(c\\cdot x), \\ c&gt;0 &amp; \\frac{1}{c}\\cdot D\u00a0 &amp;\u00a0 W &amp; c&gt;1: \\text{Stauchung}, 0&lt;c&lt;1: Streckung \\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\n-f(x) &amp;\u00a0 D\u00a0 &amp;\u00a0 -W &amp; \\text{Spiegelung an y-Achse} \\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\n-f(x) &amp;\u00a0 D_f\u00a0 &amp;\u00a0 -W_f &amp; \\text{Spiegelung an x-Achse}<br \/>\n\\end{array}<br \/>\n$<\/center>Anhand dieser \u00dcbersicht lassen sich einige Regelm\u00e4\u00dfigkeiten erkennen:<\/p>\n<p><strong>\u00c4nderung innerhalb der Funktion, z.B. $f(x-a)$ $\\stackrel{\\wedge}{=}$ Horizontale Manipulation<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Definitionsbereich \u00e4ndert sich<\/li>\n<li>Wertebereich bleibt gleich<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>\u00c4nderung au\u00dferhalb der Funktion, z.B. $f(x)+a$ $\\stackrel{\\wedge}{=}$ Vertikale Manipulation<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Definitionsbereich bleibt gleich<\/li>\n<li>Wertebereich \u00e4ndert sich<\/li>\n<\/ul>\n<p>Im Folgenden werden wir die am h\u00e4ufigsten vorkommenden Manipulationen bzw. Transformationen anhand eines Beispiels vorstellen. Als Ausgangsfunktion dient die Normalparabel<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf(x) = x^2, \\quad x \\in \\mathbb{R}.<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<hr \/>\n<h3>Verschiebung in x-Richtung<\/h3>\n<p>Die Verschiebung in $x$-Richtung k\u00f6nnen wir in unserer <a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/quadratische-funktionen\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Funktionsgleichung<\/a> leicht ber\u00fccksichtigen. Dazu werfen wir zun\u00e4chst einen Blick auf die Graphen im folgenden Koordinatensystem.<br \/>\n<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\" aligncenter wp-image-3958 size-full\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_manipulation_x-richtung_rechts-1024x6651.png\" alt=\"Verschiebung in x-Richtung\" width=\"397\" height=\"258\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_manipulation_x-richtung_rechts-1024x6651.png 397w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_manipulation_x-richtung_rechts-1024x6651-300x195.png 300w\" sizes=\"(max-width: 397px) 100vw, 397px\" \/><br \/>\nDer Scheitelpunkt dieser Parabel und alle anderen Punkte wurden ausgehend von der Normalparabel um 2 Einheiten nach rechts verschoben. Wenn wir einen Blick auf die Funktionsgleichung werfen, sehen wir, dass sie wie folgt lautet:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\ng(x) = (x-2)^2<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Eine Verschiebung in $x$-Richtung kann man immer daran erkennen, dass der Wert, um welchen die Funktion verschoben wurde, mit umgekehrten Vorzeichen in der Klammer auftaucht.<\/p>\n<p>Dazu wollen wir uns noch eine Parabel angucken, die nach links verschoben werden soll.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3959 size-full\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_manipulation_x-richtung_links-1024x6861.png\" alt=\"Verschiebung in x-Richtung\" width=\"392\" height=\"263\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_manipulation_x-richtung_links-1024x6861.png 392w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_manipulation_x-richtung_links-1024x6861-300x201.png 300w\" sizes=\"(max-width: 392px) 100vw, 392px\" \/><br \/>\nDie Funktionsgleichung dieser Parabel lautet:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\ng(x) = (x+2)^2<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Die Parabel wurde um 2 Einheiten nach links verschoben. Ganz allgemein k\u00f6nnen wir also sagen: Die Funktion $f(x-a)$ verschiebt sich um $+a$ entlang der $x$-Achse.<\/p>\n<hr \/>\n<h3>Verschiebung in y-Richtung<\/h3>\n<p>Die Verschiebung in $y$-Richtung erkennen wir daran, dass der Wert, um den die Funktion in $y$-Richtung verschoben wurde, ohne Klammer mit dem korrekten Vorzeichen angeh\u00e4ngt wird.<\/p>\n<p>Ausgehend der Normalparabel betrachten wir die folgenden Funktionen:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\ng(x)=x^2-2 \\quad \\quad \\textrm{und} \\quad \\quad h(x)=x^2+2<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Dazu gucken wir uns die das nachfolgende Koordinatensystem an.<br \/>\n<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3960 size-full\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_manipulation_y-richtung_gesamt-1024x6311.png\" alt=\"Verschiebung in y-Richtung\" width=\"419\" height=\"258\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_manipulation_y-richtung_gesamt-1024x6311.png 419w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_manipulation_y-richtung_gesamt-1024x6311-300x185.png 300w\" sizes=\"(max-width: 419px) 100vw, 419px\" \/><\/p>\n<p>Das $-2$ in der Gleichung von $g(x)$ bedeutet, dass die Normalparabel um 2 Einheiten nach unten verschoben wird. Analog folgt durch das $+2$ eine Verschiebung um 2 Einheiten nach oben. Allgemein k\u00f6nnen wir sagen: Die Funktion $f(x)+a$ verschiebt sich um $+a$ entlang der $y$-Achse.<\/p>\n<p>Nat\u00fcrlich ist es auch m\u00f6glich, sowohl eine Verschiebung in $x$-Richtung als auch eine Verschiebung in $y$-Richtung gleichzeitig durchzuf\u00fchren. Dazu betrachten wir die Parabel in der folgenden Abbildung.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3961 size-full\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_manipulation_xy-richtung-1024x6571.png\" alt=\"Parabel Verschiebung in y-Richtung\" width=\"406\" height=\"260\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_manipulation_xy-richtung-1024x6571.png 406w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_manipulation_xy-richtung-1024x6571-300x192.png 300w\" sizes=\"(max-width: 406px) 100vw, 406px\" \/><\/p>\n<p>Die Funktionsgleichung lautet:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\ng(x)=(x-2)^2-2<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>In der Klammer erkennen wir die Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts und hinter der Klammer erkennen wir die Verschiebung um 2 Einheiten nach unten. Eine Funktionsgleichung in der Form wird Scheitelpunktform genannt. Dadurch ist es direkt m\u00f6glich die Koordinaten des Scheitelpunktes abzulesen. In unserem Fall also $S(2|-2)$.<\/p>\n<hr \/>\n\n<h3>Stauchung und Streckung<\/h3>\n<p>Wenn wir eine Funktion strecken oder stauchen wollen, m\u00fcssen wir die Funktion mit einem Faktor $c$ multiplizieren. In unserem Beispiel mit der Normalparabel wird aus $f(x)=x^2$ dann $g(x)=c\\cdot f(x)=c \\cdot x^2$. Dabei gilt f\u00fcr den Faktor $c$, wenn<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nc&gt;1 \\quad &amp;\\Rightarrow \\ &amp;\\textrm{Streckung} \\\\<br \/>\n0&lt;c&lt;1 \\quad &amp; \\Rightarrow \\ &amp; \\textrm{Stauchung}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Der Faktor $c$ gibt also an, ob es sich um eine Streckung oder um eine Stauchung handelt und befindet sich entweder direkt vor dem $x^2$ oder, falls unsere Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vorliegen sollte, direkt vor der Klammer.<\/p>\n<p>Die Normalparabel $x^2$ hat den Faktor $c=1$. Diesen schreiben wir aus Gr\u00fcnden der mathematischen Faulheit aber nicht hin. Die Normalparabel ist also weder gestreckt noch gestaucht.<\/p>\n<p>Eine gestreckte Parabel k\u00f6nnte die Gleichung<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\ng(x)=2\\cdot x^2<br \/>\n\\end{align*}<br \/>\nhaben.<\/p>\n<p>Da der Vorfaktor $c$ gr\u00f6\u00dfer als 1 ist, wird die Parabel gestreckt. Der Graph verl\u00e4uft wesentlich schmaler als die Normalparabel. Jeder $y$-Wert wird mit dem Faktor $c=2$ multipliziert.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3962 size-full\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_manipulation_streckung-1024x6951.png\" alt=\"Streckung einer quadratischen Funktion\" width=\"373\" height=\"253\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_manipulation_streckung-1024x6951.png 373w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_manipulation_streckung-1024x6951-300x203.png 300w\" sizes=\"(max-width: 373px) 100vw, 373px\" \/><br \/>\nWenn der Faktor $c$ zwischen 0 und 1 liegt, wird die Funktion gestaucht.Die Funktion<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\ng(x)&amp;=0,5\\cdot x^2<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>beschreibt eine gestauchte Normalparabel, welche breiter ist als die Normalparabel $f(x)=x^2$. Jeder $y$-Wert wird mit dem Faktor $c=0,5$ multipliziert.<br \/>\n<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3963 size-full\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_manipulation_stauchung-1024x6521.png\" alt=\"Stauchung von quadratischen Funktionen\" width=\"397\" height=\"253\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_manipulation_stauchung-1024x6521.png 397w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_manipulation_stauchung-1024x6521-300x191.png 300w\" sizes=\"(max-width: 397px) 100vw, 397px\" \/><\/p>\n<p>Ganz allgemein k\u00f6nnen wir sagen: Die Funktion $c\\cdot f(x)$ wird gestreckt, wenn $c&gt;1$ und gestaucht, wenn $0&lt;c&lt;1$ ist.<\/p>\n<p>Es kann zwischen vertikaler und horizontaler Stauchung bzw. Streckung unterschieden werden. Das was wir gerade kennengelernt haben, war die vertikale Stauchung und Streckung.<\/p>\n<p>Die horizontale k\u00f6nnen wir allgemein wie folgt formulieren: Die Funktion $f(c\\cdot x)$ wird gestreckt, wenn $0&lt;c&lt;1$ und gestaucht, wenn $c&gt;1$ ist.<\/p>\n\n<hr \/>\n<h3>Spiegelung<\/h3>\n<p>Wir erkennen eine an der $x$-Achse gespiegelte Funktion daran, dass ein Minus vor der Funktion steht. In unserem Beispiel lautet die an der $x$-Achse gespiegelte Normalparabel<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\ng(x)=-f(x)=-x^2.<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Der Graph von $g$ und $f$ ist in der nachfolgenden\u00a0Abbildung dargestellt. Jeder $y$-Wert wird mit $(-1)$ multipliziert.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3964 size-full\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_manipulation_spiegelung-989x10241.png\" alt=\"Spiegelung einer quadratischen Funktion\" width=\"265\" height=\"274\" \/><\/p>\n<p>Wie bei der Stauchung und Streckung k\u00f6nnen wir hier eine Unterteilung in eine vertikale und horizontale Spiegelung vornehmen. Allerdings ist die horizontale Spiegelung, also die Spiegelung an der $y$-Achse, hier nur bedingt m\u00f6glich. Denn die gespiegelte Funktion $g(x)=f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$ ist nichts anderes als die Normalparabel selbst. Warum? Weil das Quadrat aus dem Minus ein Plus macht.<\/p>\n<p>Betrachten wir die Funktion $f(x)=x^3$ und m\u00f6chten diese an der $y$-Achse spiegeln, lautet die transformierte Funktion<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\ng(x)=f(-x)=(-x)^3=-x^3<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Jeder $x$-Wert wird mit $(-1)$ multipliziert. Da die Funktion punktsymmetrisch ist, ist die horizontale Spiegelung gleich der Vertikalen. Allgemein k\u00f6nnen wir sagen: Die Funktion $-f(x)$ bzw. $f(-x)$ wird an der $x$&#8211; bzw. $y$-Achse gespiegelt.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3965 size-full\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_manipulation_spiegelung_horizontal-1024x9461.png\" alt=\"Spiegelung einer Funktion\" width=\"303\" height=\"280\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_manipulation_spiegelung_horizontal-1024x9461.png 303w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_manipulation_spiegelung_horizontal-1024x9461-300x277.png 300w\" sizes=\"(max-width: 303px) 100vw, 303px\" \/><\/p>\n<p><strong>weiteres Beispiel<\/strong> (nicht so ausf\u00fchrlich) Im Folgenden werden wir f\u00fcr jede Operation aus der Tabelle eine kleine Beispielskizze angeben. Als Ausgangsfunktion dient die Funktion<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf(x) = \\sqrt{x}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>mit dem Definitionsbereich $x \\in D:=[0;4]$ und dem Wertebereich $W=[0;2]$.<br \/>\nF\u00fcr die Parameter $a$ und $c$ verwenden wir beispielhaft $a=5$ und $c=2$! Wir werden sehen, wie sich die Graphen der Funktionen \u00e4ndern und geben zudem den neuen Definitions- und Wertebereich ($D_g$, $W_g$) an. Den Graphen der Ausgangsfunktion sehen wir in der nebenstehenden Abbildung.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-1147 size-medium aligncenter\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_manipulation-300x222.png\" alt=\"manipulation Wurzelfunktion\" width=\"300\" height=\"222\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_manipulation-300x222.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_manipulation-768x568.png 768w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_manipulation.png 961w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/p>\n<p><strong>Horizontale Verschiebung:<\/strong> $g(x)=f(x+a)=f(x+5)=\\sqrt{x+5}$<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-3966 size-full aligncenter\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_manipulationhv1.png\" alt=\"Horizontale Verschiebung\" width=\"574\" height=\"239\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_manipulationhv1.png 574w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_manipulationhv1-300x125.png 300w\" sizes=\"(max-width: 574px) 100vw, 574px\" \/><\/p>\n<p><strong>Horizontale Spiegelung:<\/strong> $g(x)=f(- x)=\\sqrt{-x} $<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-3967 size-full aligncenter\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/Bildschirmfoto-2016-10-20-um-17.46.00-1024x3241.png\" alt=\"Horizontale Spiegelung\" width=\"584\" height=\"185\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/Bildschirmfoto-2016-10-20-um-17.46.00-1024x3241.png 584w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/Bildschirmfoto-2016-10-20-um-17.46.00-1024x3241-300x95.png 300w\" sizes=\"(max-width: 584px) 100vw, 584px\" \/><\/p>\n<p><strong>Horizontale Stauchung<\/strong><\/p>\n<p>$g(x)=f(c \\cdot x)=f(2\\cdot x)=\\sqrt{2x}$<br \/>\n<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-1150 size-medium aligncenter\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_manipulationhs-300x256.png\" alt=\"horizontale stauchung wurzelfunktion\" width=\"300\" height=\"256\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_manipulationhs-300x256.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_manipulationhs.png 610w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\n<br \/>\n<strong>Vertikale Streckung:<\/strong><br \/>\n$g(x)=c\\cdot f(x)=2\\cdot f(x)=2 \\cdot \\sqrt{x}$<br \/>\n<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-1151 size-medium aligncenter\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_manipulationvs-300x264.png\" alt=\"wurzelfunktion horizontale streckung\" width=\"300\" height=\"264\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_manipulationvs-300x264.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_manipulationvs-768x677.png 768w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_manipulationvs.png 824w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/p>\n<p><strong>Vertikale Verschiebung:<\/strong><br \/>\n$g(x)=f(x)+5 =\\sqrt{x}+5 $<br \/>\n<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-3968 size-full aligncenter\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/Bildschirmfoto-2016-10-20-um-17.46.461.png\" alt=\"Vertikale Verschiebung\" width=\"245\" height=\"393\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/Bildschirmfoto-2016-10-20-um-17.46.461.png 245w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/Bildschirmfoto-2016-10-20-um-17.46.461-187x300.png 187w\" sizes=\"(max-width: 245px) 100vw, 245px\" \/><\/p>\n<p><strong>Vertikale Spiegelung:<\/strong><br \/>\n$g(x)=- f(x)=- \\sqrt{x}$<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-1158 size-medium aligncenter\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_manipulationvsp-300x264.png\" alt=\"vertikale Spiegelung wurzelfunktion\" width=\"300\" height=\"264\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_manipulationvsp-300x264.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_manipulationvsp-768x677.png 768w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_manipulationvsp.png 793w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/p>\n<p><strong>In Daniels Playlist zu Funktionen findest du weitere hilfreiche Videos.<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Transformation von Funktionen, Entwicklung, &Uuml;bersicht, Graphen ver&auml;ndern | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_ZiR8V75xBlU\"><div id=\"lyte_ZiR8V75xBlU\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FZiR8V75xBlU%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Transformation von Funktionen, Entwicklung, \u00dcbersicht, Graphen ver\u00e4ndern | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/ZiR8V75xBlU\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FZiR8V75xBlU%2F0.jpg\" alt=\"Transformation von Funktionen, Entwicklung, &Uuml;bersicht, Graphen ver&auml;ndern | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr \/>\n<h2 id=\"umkehrfunktion\" class=\"anchor\">Umkehrfunktion<\/h2>\n<p>F\u00fcr eine Funktion $f(x)$ ist $f^{-1}(x)$ eine Umkehrfunktion, wenn f\u00fcr $y=f(x)$ gilt: $x=f^{-1}(y)$. Also wenn man in die Umkehrfunktion einen Funktionswert $y$ der Ausgangsfunktion einsetzt, so erh\u00e4lt man den dazugeh\u00f6rigen $x$-Wert.<\/p>\n<p><strong>Vorgehen<\/strong>:<\/p>\n<ol>\n<li>Funktion als $y = f(x)$ umschreiben und schrittweise nach $x$ l\u00f6sen.<\/li>\n<li>Variablen $x$ und $y$ tauschen.<\/li>\n<li>Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$ oder $\\bar{f}(x)$ aufschreiben.<\/li>\n<\/ol>\n<p>Eine Funktion ist umkehrbar, wenn jeder Funktionswert $y$ nur an einer einzigen Stelle $x \\in D_f$ angenommen wird: $f(x_1) = f(x_2) \\Rightarrow x_1 = x_2$.<\/p>\n<p>Eine solche Funktion $f$ hat eine Umkehrfunktion $f^{-1}$, definiert durch $f^{-1}(y)=x$ f\u00fcr $y=f(x)$, also $f^{-1}\\left(f(x) \\right) = x$.  In manchen F\u00e4llen muss man den Definitionsbereich einer Funktion einschr\u00e4nken, damit die so eingeschr\u00e4nkte Funktion umkehrbar ist.<\/p>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiele<\/h3>\n<p><strong>a)<\/strong>\u00a0<a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/lineare-funktionen\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><span style=\"text-decoration: underline;\">Lineare Funktion<\/span><\/a>: Bestimme die Umkehrfunktion von $f(x)=2x+1$.<br \/>\nWir arbeiten das obige Vorgehen ab und l\u00f6sen die Gleichung nach $x$ auf.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n&amp; \\ &amp; y \\ &amp; = 2x+1 \\quad &amp;&amp;|-1 \\\\<br \/>\n&amp; \\Leftrightarrow \\ &amp; y-1 \\ &amp; = 2x \\quad &amp;&amp;|:2 \\\\<br \/>\n&amp; \\Leftrightarrow \\ &amp; 0,5y-0,5 \\ &amp; =x \\quad &amp;&amp;<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Das Tauschen von $x$ und $y$ zu $y = 0,5x-0,5 $ liefert die Umkehrfunktion<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf^{-1}(x) = 0,5x-0,5.<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Grafische Darstellung der Funktion und ihrer Umkehrfunktion:<br \/>\n<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3969 size-full\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_umkehrfunktion_linear-1024x7121.png\" alt=\"Umkehrfunktion\" width=\"331\" height=\"230\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_umkehrfunktion_linear-1024x7121.png 331w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_umkehrfunktion_linear-1024x7121-300x208.png 300w\" sizes=\"(max-width: 331px) 100vw, 331px\" \/><\/p>\n<p><strong>b)<\/strong> <a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/quadratische-funktionen\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><span style=\"text-decoration: underline;\">Quadratische Funktion<\/span><\/a>: Bestimme die Umkehrfunktion von $f(x) = (x+2)^2 $.<br \/>\nWir arbeiten das obige Vorgehen ab und l\u00f6sen die Gleichung nach $x$ auf.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n&amp; \\quad &amp; y \\ &amp; = (x+2)^2 \\quad &amp;&amp;|\\sqrt{ } \\\\<br \/>\n&amp; \\Leftrightarrow \\quad &amp; \\pm \\sqrt{y} \\ &amp; =x+2 \\quad &amp;&amp;|-2 \\\\<br \/>\n&amp; \\Leftrightarrow \\quad &amp; \\pm \\sqrt{y}-2 \\ &amp; =x \\quad &amp;&amp;<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Das Tauschen von $x$ und $y$ zu $y = \\pm \\sqrt{x}-2$ liefert die Umkehrfunktionen<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf^{-1}_1(x) &amp;= \\sqrt{x}-2 \\ \\textrm{und} \\\\ f^{-1}_2(x) &amp;= -\\sqrt{x}-2.<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Grafische Darstellung der Funktion und ihrer Umkehrfunktion:<br \/>\n<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3970 size-full\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_umkehrfunktion_quadratisch-1024x6711.png\" alt=\"Umkehrfunktion\" width=\"394\" height=\"258\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_umkehrfunktion_quadratisch-1024x6711.png 394w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_umkehrfunktion_quadratisch-1024x6711-300x196.png 300w\" sizes=\"(max-width: 394px) 100vw, 394px\" \/><br \/>\nBei einer quadratischen Funktion wie zum Beispiel $y = x^2$ tritt ein Problem auf. Hier liegt keine eindeutige Zuordnung vor, denn einem $y$-Wert sind zwei $x$-Werte zugeordnet. Es l\u00e4sst sich dann f\u00fcr einen Teil eine Umkehrfunktion definieren, wie im Beispiel der Normalparabel mit $f^{-1}_1(x)=\\sqrt{x}$ f\u00fcr den positiven Teil und $f^{-1}_2(x)=-\\sqrt{x}$ f\u00fcr den negativen Teil.<br \/>\n<\/div>\n<div class=\"box info\">\n<strong>Hinweis<\/strong>: Nicht jede Funktion hat auch eine entsprechende Umkehrfunktion.<br \/>\n<\/div>\n<p><strong>Zur Vertiefung solltest du dir das Lernvideo von Daniel zum Thema Umkehrfunktionen anschauen!<\/strong><br \/>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Ablauf Umkehrfunktion bestimmen | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_X8QDtWIWu6Q\"><div id=\"lyte_X8QDtWIWu6Q\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FX8QDtWIWu6Q%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Ablauf Umkehrfunktion bestimmen | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/X8QDtWIWu6Q\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FX8QDtWIWu6Q%2F0.jpg\" alt=\"Ablauf Umkehrfunktion bestimmen | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr \/>\n<h2 id=\"funktion-gegeben\" class=\"anchor\">Was ist in der Funktion gegeben?<\/h2>\n<p>In Anwendungsaufgaben m\u00fcssen wir verstehen, was die Funktion \u00fcberhaupt beschreibt. Oft geht es dabei um F\u00fcllbest\u00e4nde irgendwelcher Stauseen oder Geschwindigkeiten von Flugzeugen. Daher ist es sehr wichtig zu wissen, was z.B. die Ableitung der Geschwindigkeit im Sachzusammenhang bedeutet.<\/p>\n<p>Die folgende \u00dcbersicht soll euch als Zusammenfassung dienen. Wenn in unserer Funktion f\u00fcr $f(t)$ folgendes angegeben ist, dann ist<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3971 size-full\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_funktionen_wasistgegeben-1024x8521.png\" alt=\"Was ist in der Funktion gegeben\" width=\"503\" height=\"419\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_funktionen_wasistgegeben-1024x8521.png 503w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_funktionen_wasistgegeben-1024x8521-300x250.png 300w\" sizes=\"(max-width: 503px) 100vw, 503px\" \/><\/p>\n<p><strong>Schau dir das Lernvideo von Daniels zum Thema Anwendung von Funktionen an!<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Playlist: Funktionen-Specials Analysis, &Uuml;bersichten, Anwendung, Geschwindigkeit\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe playlist\" id=\"WYL_PLLTAHuUj-zHh5qK42KbGhBVaq-EUvtta7\"><div id=\"lyte_PLLTAHuUj-zHh5qK42KbGhBVaq-EUvtta7\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FAw8LUL8VNF8%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Playlist: Funktionen-Specials Analysis, \u00dcbersichten, Anwendung, Geschwindigkeit<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtube.com\/playlist?list=PLLTAHuUj-zHh5qK42KbGhBVaq-EUvtta7\" rel=\"nofollow\"><br \/>Diese Wiedergabeliste auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><br \/>\n<\/p>\n<p><strong>Sieh dir zur Vertiefung Daniels Playlist zum Thema Funktionen an!<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Was ist eine Funktion, mit Wertetabelle und Koordinatensystem | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_tywU-wn6tF4\"><div id=\"lyte_tywU-wn6tF4\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FtywU-wn6tF4%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Was ist eine Funktion, mit Wertetabelle und Koordinatensystem | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/tywU-wn6tF4\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FtywU-wn6tF4%2F0.jpg\" alt=\"Was ist eine Funktion, mit Wertetabelle und Koordinatensystem | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite zum Thema &#8222;Grundlagen von Funktionen&#8220; findest du Erkl\u00e4rungen zu folgenden Themen: Inhaltsverzeichnis Lineare Funktion Quadratische Funktionen Polynomfunktion Wurzelfunktion Betragsfunktion Exponentialfunktion Logarithmusfunktion Manipulation von Grundfunktionen Umkehrfunktion Was ist in der Funktion gegeben? Lineare Funktion Die allgemeine Form f\u00fcr eine lineare Funktion lautet: \\begin{align*} y=m \\cdot x + b \\quad \\textrm{mit} \\quad m=\\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\end{align*} [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":5,"featured_media":0,"parent":6291,"menu_order":2,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"categories":[15],"tags":[],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v14.7 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Funktionen verstehen, rechnen und zeichnen - StudyHelp<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Quadratische Funktionen \u2714 Polynomfunktion \u2714 Wurzelfunktion \u2714 Betragsfunktion \u2714 Exponentialfunktion \u2714 Logarithmusfunktion \u2714\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow\" \/>\n<meta name=\"googlebot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<meta name=\"bingbot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/funktionen\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Funktionen verstehen, rechnen und zeichnen - 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