{"id":101,"date":"2015-03-25T21:03:57","date_gmt":"2015-03-25T20:03:57","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/mathe\/wp\/?page_id=101"},"modified":"2020-01-31T15:24:17","modified_gmt":"2020-01-31T14:24:17","slug":"baumdiagramm","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/baumdiagramm\/","title":{"rendered":"Baumdiagramm"},"content":{"rendered":"\n<p>Auf dieser Seite bekommst du alle Erkl\u00e4rungen, Videos, Aufgaben zum Thema Baumdiagramme. Wir behandeln im Folgenden diese Themen:<\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#mitoderohnezuruecklegen\">Mit oder ohne Zur\u00fccklegen?<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#MitZuruecklegen\">Zufallsexperiment \u201eMit Zur\u00fccklegen\u201c<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#OhneZuruecklegen\">Zufallsexperiment \u201eOhne Zur\u00fccklegen\u201c<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#Pfadregel\">Wahrscheinlichkeit mit Pfadregel<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<p>Das Baumdiagramm kann durch eine kleine Erweiterung sehr geschickt zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen mehrstufiger Zufallsexperimente benutzt werden.<\/p>\n<p>Dazu werden an den Zweigen die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten eingetragen, mit denen das zum Zweig geh\u00f6rige Ereignis des Zufallsexperimentes eintritt. Diese Wahrscheinlichkeiten nennt man kurz <strong>Zweigwahrscheinlichkeiten<\/strong>.<\/p>\n<p>Ein Baumdiagramm, das Zweigwahrscheinlichkeiten enth\u00e4lt, nennt man auch kurz Wahrscheinlichkeitsbaum. \u00dcblicherweise gibt man alle Zweigwahrscheinlichkeiten entweder komplett als Br\u00fcche oder Dezimalzahlen an.<\/p>\n\n<h2 class=\"anchor\" id=\"mitoderohnezuruecklegen\">Mit oder ohne Zur\u00fccklegen?<\/h2>\n<p>Grundlegend ist aus der Aufgabenstellung zu entnehmen, ob es sich bei dem Zufallsexperiment um ein Experiment mit oder ohne Zur\u00fccklegen handelt. Machen wir uns anhand eines Beispiels deutlich, wo der Unterschied zwischen beiden Experimenten liegt.<\/p>\n<h2 class=\"anchor\" id=\"MitZuruecklegen\">Zufallsexperiment \u201eMit Zur\u00fccklegen\u201c<\/h2>\n<p>In einer Urne befinden sich 60 rote Kugeln und 40 blaue Kugeln und wir ziehen zwei Kugeln mit Zur\u00fccklegen.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\" aligncenter wp-image-456\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/studyhelp17_31-300x273.png\" alt=\"Baumdiagramm mit zur\u00fccklegen\" width=\"196\" height=\"178\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/studyhelp17_31-300x273.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/studyhelp17_31.png 472w\" sizes=\"(max-width: 196px) 100vw, 196px\" \/><\/p>\n<p>Wie wir bereits wissen k\u00f6nnen wir hier die Laplace Wahrscheinlichkeit anwenden und erhalten die folgenden Wahrscheinlichkeiten:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nP(R) = \\frac{60}{100} = 0,6 \\\\<br \/>\nP(B) = \\frac{40}{100} = 0,4<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>Erste Ziehung:<\/strong><\/p>\n<p>Wie man sehen kann hat man im ersten Zug jeweils die Chance eine rote oder eine blaue Kugel zu ziehen. Addiert man die Wahrscheinlichkeiten f\u00fcr beide Ereignisse, so erh\u00e4lt man als Summe eins: $P(\\Omega)=1$.<\/p>\n<p><strong>Zweite Ziehung:<\/strong><\/p>\n<p>Beim zweiten Zug hat man wieder die gleiche Chance eine rote oder eine blaue Kugel zu ziehen, da man die Kugeln wieder zur\u00fccklegt. Dementsprechend ist festzuhalten, dass beim Ziehen mit Zur\u00fccklegen bei jedem Zug die gleichen Eintrittswahrscheinlichkeiten vorliegen (Laplace-Wahrscheinlichkeit). Auch hier m\u00fcssen die einzelnen Ereignisse an jedem Knoten die Summe 1 betragen.<\/p>\n<p><strong>Schau dir dazu das Lernvideo zum Thema Baumdiagramm und Urnenmodell an.<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Urnenmodelle und Pfadregeln in der Stochastik, Wahrscheinlichkeit | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_sKHWxKJkEHQ\"><div id=\"lyte_sKHWxKJkEHQ\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FsKHWxKJkEHQ%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Urnenmodelle und Pfadregeln in der Stochastik, Wahrscheinlichkeit | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/sKHWxKJkEHQ\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FsKHWxKJkEHQ%2F0.jpg\" alt=\"Urnenmodelle und Pfadregeln in der Stochastik, Wahrscheinlichkeit | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2 class=\"anchor\" id=\"OhneZuruecklegen\">Zufallsexperiment \u201eOhne Zur\u00fccklegen\u201c<\/h2>\n<p>In einer Urne befinden sich 60 rote Kugeln und 40 blaue Kugeln und wir ziehen zwei Kugeln ohne Zur\u00fccklegen.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-457 size-medium\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/studyhelp17_2-300x269.png\" alt=\"Baumdiagramm mit zur\u00fccklegen Urnenmodell\" width=\"300\" height=\"269\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/studyhelp17_2-300x269.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/studyhelp17_2.png 715w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/p>\n<p>Wie wir bereits wissen k\u00f6nnen wir hier die Laplace-Wahrscheinlichkeit anwenden und erhalten die folgenden Wahrscheinlichkeiten:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nP(R) = \\frac{60}{100} \\\\<br \/>\nP(B) = \\frac{40}{100}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>Erste Ziehung:<\/strong><\/p>\n<p>Im Baumdiagramm sehen wir die Wahrscheinlichkeiten im ersten Zug eine rote oder eine blaue Kugel zu ziehen. Addiert man die Wahrscheinlichkeiten f\u00fcr beide Ereignisse, so erh\u00e4lt man als Summe eins: $P(\\Omega)=1$.<\/p>\n<p><strong>Zweite Ziehung:<\/strong><\/p>\n<p>Im Gegensatz zum <em>Ziehen mit Zur\u00fccklegen<\/em> \u00e4ndern sich die Wahrscheinlichkeiten beim <em>Ziehen ohne Zur\u00fccklegen<\/em>\u00a0im zweiten Zug. Zieht man beispielsweise im ersten Zug eine rote Kugel, so hat man im zweiten Zug eine geringere Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu ziehen. Warum? Weil sich die Anzahl der g\u00fcnstigen und der m\u00f6glichen Ereignisse (eine Rote Kugel weniger) um 1 verringert. Es befinden sich also nur noch 59 rote und insgesamt 99 Kugeln in der Urne. Die Wahrscheinlichkeit im zweiten Zug eine rote Kugel zu ziehen, \u00e4ndert sich von 60\/100 auf 59\/99.<br \/>\nMerke: Bei Zufallsexperimenten ohne Zur\u00fccklegen ist es sinnvoller Br\u00fcche statt Dezimalzahlen f\u00fcr die Wahrscheinlichkeiten zu verwenden.<\/p>\n<p><strong>Daniel erkl\u00e4rt dir nochmal das Urnenmodell mit dem Fall &#8222;Ziehen ohne zur\u00fccklegen&#8220;.<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Urnenmodell Ziehen ohne Zur&uuml;cklegen, Beispiel, Kugeln, Stochastik | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_wO4xpxvqnIM\"><div id=\"lyte_wO4xpxvqnIM\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FwO4xpxvqnIM%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Urnenmodell Ziehen ohne Zur\u00fccklegen, Beispiel, Kugeln, Stochastik | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/wO4xpxvqnIM\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FwO4xpxvqnIM%2F0.jpg\" alt=\"Urnenmodell Ziehen ohne Zur&uuml;cklegen, Beispiel, Kugeln, Stochastik | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2 class=\"anchor\" id=\"Pfadregel\">Wahrscheinlichkeit mit Pfadregel<\/h2>\n<p>Um die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses zu erhalten, multipliziert man die Wahrscheinlichkeit entlang des Pfades, der dieses Ergebnis beschreibt. Wichtig: Die Pfadregel gilt bei jedem mehrstufigen Zufallsexperiment, gleichg\u00fcltig, ob z.B. mit oder ohne Zur\u00fccklegen.<\/p>\n<p>Zur Ermittlung einer Wahrscheinlichkeit<\/p>\n<ul>\n<li>zeichnet man ein Baumdiagramm und<\/li>\n<li>wendet die Pfadregel an!<\/li>\n<\/ul>\n<p>Ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gesucht,<\/p>\n<ul>\n<li>gen\u00fcgt es, nur die Pfade zu zeichnen, die zu diesem Ereignis geh\u00f6ren,<\/li>\n<li>die Pfadregel anzuwenden und<\/li>\n<li>die Wahrscheinlichkeiten dieser Pfade zu addieren (Summenregel).<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Unterscheide folgende Regeln:<\/strong><\/p>\n<ol>\n<li><strong>Pfadregel<\/strong> (Produktregel):Die Wahrscheinlichkeiten eines einzelnen Ergebnisses ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der zu diesem Ergebnis f\u00fchrt.<\/li>\n<li><strong>Pfadregel<\/strong> (Summenregel):Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die zu diesem Ereignis geh\u00f6ren.<\/li>\n<\/ol>\n<p>Machen wir uns die Pfadregeln anhand des bekannten Beispiels klar:<\/p>\n<p>In einer Urne befinden sich 60 rote Kugeln und 40 blaue Kugeln. Wir ziehen zwei Kugeln mit Zur\u00fccklegen.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\" aligncenter wp-image-393\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/studyhelp17_3-300x273.png\" alt=\"Baumdiagramm mit zur\u00fccklegen Kugeln\" width=\"195\" height=\"177\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/studyhelp17_3-300x273.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/studyhelp17_3.png 472w\" sizes=\"(max-width: 195px) 100vw, 195px\" \/><\/p>\n<p>Es liegt somit ein Laplace-Experiment vor, bei dem die Wahrscheinlichkeiten f\u00fcr ein Ereigniss immer gleich sind. Die Wahrscheinlichkeiten sowie das Baumdiagramm lauten:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nP(R) = \\frac{60}{100} \\\\<br \/>\nP(B) = \\frac{40}{100}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>1. Gesucht sei die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr zwei rote Kugeln.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3934 size-full\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_baumdiagramm_mitz2.png\" alt=\"Baumdiagramm mit zur\u00fccklegen Kugeln\" width=\"273\" height=\"178\" \/><\/p>\n<p>F\u00fcr die gesuchte Wahrscheinlichkeit, m\u00fcssen wir die Wahrscheinlichkeiten mit der Pfadregel entlang des Pfades multiplizieren. Die Wahrscheinlichkeit zwei rote Kugeln hintereinander zu ziehen betr\u00e4gt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nP(R,R) = P(R) \\cdot P(R) = 0,6 \\cdot 0,6 = 0,36<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>2. Gesucht sei die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr eine blaue und eine rote Kugel.<\/p>\n<p>F\u00fcr die gesuchte Wahrscheinlichkeit m\u00fcssen wir die Wahrscheinlichkeiten f\u00fcr eine rote und blaue sowie f\u00fcr eine blaue und rote Kugel mit der Pfadregel bestimmen. Warum? Weil die Reihenfolge der Ziehung egal ist. Es geht darum insgesamt eine blaue und eine rote Kugel zu ziehen.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3935 size-full\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_baumdiagramm_mitz11.png\" alt=\"Baumdiagramm mit Zur\u00fccklegen Kugeln blau und rot\" width=\"238\" height=\"160\" \/><\/p>\n<p>Die gesamte Wahrscheinlichkeit, eine rote und blaue Kugel zu ziehen, wird dann mit der Summenregel bestimmt. Die Wahrscheinlichkeit eine rote und eine blaue Kugel zu ziehen betr\u00e4gt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nP(R,B) + P(B,R) &amp;= 0,6 \\cdot 0,4 + 0,4 \\cdot 0,6 \\\\ &amp; = 0,24+0,24 = 0,48 = 48\\%<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n\n<p><strong>Vertiefe dein Wissen und schau das Lernvideo zur 1. und 2. Pfadregel<\/strong><br \/>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"1. und 2. Pfadregel, Gegenwahrscheinlichkeit, Stochastik, Wahrscheinlichkeit, Baumdiagramm\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_nR7hFCRgp1g\"><div id=\"lyte_nR7hFCRgp1g\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FnR7hFCRgp1g%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">1. und 2. Pfadregel, Gegenwahrscheinlichkeit, Stochastik, Wahrscheinlichkeit, Baumdiagramm<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/nR7hFCRgp1g\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FnR7hFCRgp1g%2F0.jpg\" alt=\"1. und 2. Pfadregel, Gegenwahrscheinlichkeit, Stochastik, Wahrscheinlichkeit, Baumdiagramm\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite bekommst du alle Erkl\u00e4rungen, Videos, Aufgaben zum Thema Baumdiagramme. Wir behandeln im Folgenden diese Themen: Mit oder ohne Zur\u00fccklegen? Zufallsexperiment \u201eMit Zur\u00fccklegen\u201c Zufallsexperiment \u201eOhne Zur\u00fccklegen\u201c Wahrscheinlichkeit mit Pfadregel Das Baumdiagramm kann durch eine kleine Erweiterung sehr geschickt zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen mehrstufiger Zufallsexperimente benutzt werden. 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Beispiele und Lernvideos - StudyHelp<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Das Baumdiagramm kann durch eine Erweiterung zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen mehrstufiger Zufallsexperimente benutzt werden.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow\" \/>\n<meta name=\"googlebot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<meta name=\"bingbot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/baumdiagramm\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Baumdiagramm - inkl. 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