![\"Kombinatorik](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_kombinatorik_uebersicht-1024x609.png\")
<\/p>\nErinnern wir uns an dieser Stelle an den Quotienten der Laplace -Wahrscheinlichkeit:<\/p>\n
\\begin{align*}
\nP(A) = \\frac{\\textrm{Anzahl der guenstigen Ergebnisse}}{\\textrm{Anzahl der moeglichen Ergebnisse}}
\n\\end{align*}<\/p>\n
Bei der Bestimmung dieses Quotienten bedient man sich der Kombinatorik. Dort veranschaulicht man Ergebnisse f\u00fcr Zufallsexperimente mit endlicher Ergebnismenge h\u00e4ufig anhand des Urnenmodells – gedanklich ein Gef\u00e4\u00df mit $n$ durchnummerierten Kugeln, von denen $k$ zuf\u00e4llig ausgew\u00e4hlt werden.<\/p>\n\n
Die Auswahl der Kugeln ist als Ziehung einer Zufallsstichprobe des Umfangs $k$ aus einer Grundgesamtheit mit $n$ Elementen zu interpretieren. Wenn jede denkbare Stichprobe des Umfangs $k$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit realisiert wird, liegt eine einfache Zufallsstichprobe vor.<\/p>\n
<\/p>\n
Wie viele M\u00f6glichkeiten der Auswahl der $n$ Elemente es gibt, h\u00e4ngt davon ab, ob die Elemente der Stichprobe nach der Ziehung jeweils wieder zur\u00fcckgelegt werden oder nicht (Urnenmodell bzw. Stichprobenziehung mit\/ohne Zur\u00fccklegen).<\/p>\n
Die Anzahl der M\u00f6glichkeiten h\u00e4ngt auch davon ab, in welcher Reihenfolge die $n$ nummerierten Kugeln gezogen werden (Stichprobenziehung mit\/ohne Ber\u00fccksichtigung der Anordnung).<\/p>\n
Formeln f\u00fcr die Berechnung der Anzahl der M\u00f6glichkeiten der Ziehung einer Stichprobe des Umfangs $k$ aus einer Grundgesamtheit mit $n$ Elementen in allen 6 F\u00e4llen sind obiger \u00dcbersicht zusammenfassend dargestellt.<\/p>\n
Der Binomialkoeffizient ist definiert durch:<\/strong><\/p>\n \\begin{align*} Besondere F\u00e4lle:<\/strong><\/p>\n $\\begin{pmatrix} n \\\\ 0 \\end{pmatrix} = 1$ und $\\begin{pmatrix} k \\\\ 1 \\end{pmatrix} = k$ sowie $\\begin{pmatrix} n \\\\ n \\end{pmatrix} = 1$.<\/p>\n Die Fakult\u00e4t $k!=1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot … \\cdot k$ ist das Produkt aus allen nat\u00fcrlichen Zahlen von 1 bis $k$. Weiterhin solltet ihr wissen, dass $0!=1$ ist.<\/p>\n Welche Formel brauche ich?<\/strong><\/p>\n Merke: $k$ ist immer etwas, von dem wir die M\u00f6glichkeiten\/Wahrscheinlichkeit wissen m\u00f6chten und $n$ sind immer die Elemente, die wir zur Verf\u00fcgung haben.<\/p>\n\n Peter hat ein Zahlenschloss mit vier Ziffern. Er hat bei den ganzen Abiparties seinen Code vergessen. Er fragt sich nun, wie viele M\u00f6glichkeiten er hat, um sein Schloss wieder zu \u00f6ffnen. Hierf\u00fcr arbeiten wir das obige Vorgehen ab:<\/strong><\/p>\n 1) Entscheide ob alle Elemente betrachtet werden oder nur eine Stichprobe.Stichprobe, da Ziffern von $[0-9]$ zur Verf\u00fcgung stehen, aber nur vier Ziffern genutzt werden.<\/p>\n 2) Entscheide ob die Reihenfolge\/Anordnung wichtig ist.Die Reihenfolge beim Zahlenschloss ist wichtig, da $[1,2,3,4]$ eine andere Variation des Codes ist als $[1,3,2,4]$.<\/p>\n 3) Entscheide ob eine Wiederholung der Elemente m\u00f6glich ist.Eine Wiederholung der Elemente bei einem Zahlenschloss ist m\u00f6glich $[2,2,1,4]$.<\/p>\n 4) Formel ausw\u00e4hlen: $n^k$<\/p>\n 5) W\u00e4hle $n$ und $k$:In diesem Beispiel sind die Ziffern $[0-9]$ die Elemente, die wir zur Verf\u00fcgung haben und entnehmen aus dieser Grundgesamtheit vier Elemente, die uns interessieren.<\/p>\n \\begin{align*} Beim Osterlauf in Paderborn nehmen 10 Rennl\u00e4ufer teil. Wie viele M\u00f6glichkeiten gibt es f\u00fcr Gold, Silber und Bronze?Hierf\u00fcr arbeiten wir auch wieder das obige Vorgehen ab:<\/strong><\/p>\n 1) Entscheide ob alle Elemente betrachtet werden oder nur eine Stichprobe.Stichprobe, da nur die ersten drei Pl\u00e4tze von Interesse sind, es aber zehn Rennl\u00e4ufer gibt.<\/p>\n 2) Entscheide ob die Reihenfolge\/Anordnung wichtig ist.Die Reihenfolge\/Anordnung ist wichtig, da Gold, Silber und Bronze von Interesse ist.<\/p>\n 3) Entscheide ob eine Wiederholung der Elemente m\u00f6glich ist.Eine Wiederholung ist nicht m\u00f6glich, da der Rennl\u00e4ufer der Gold gewonnen hat nicht gleichzeitig auch Silber gewinnen kann.<\/p>\n 4) Formel ausw\u00e4hlen: $\\frac{n!}{(n-k)!}$<\/p>\n 5) W\u00e4hle $n$ und $k$:In diesem Beispiel sind die zehn Rennl\u00e4ufer die Grundgesamtheit ($n=10$), die zur Verf\u00fcgung steht. Von Interesse sind hier die ersten drei Pl\u00e4tze ($k=3$).<\/p>\n \\begin{align*} Wie viele M\u00f6glichkeiten gibt es, f\u00fcnf verschiedene Stochastik-B\u00fccher in ein Regal nebeneinander zu stellen? Hierf\u00fcr arbeiten wir auch wieder das obige Vorgehen ab:<\/strong><\/p>\n 1) Entscheide ob alle Elemente betrachtet werden oder nur eine Stichprobe.In diesem Beispiel werden alle Elemente in der Aufgabenstellung betrachtet und nicht etwa eine Stichprobe von drei B\u00fcchern erfragt.<\/p>\n 2) Entscheide ob die Reihenfolge\/Anordnung wichtig ist.Wenn man Elemente betrachtet, dann verwendet man die Permutation, die immer geordnet ist.<\/p>\n 3) Entscheide ob eine Wiederholung der Elemente m\u00f6glich ist.Es ist keine Wiederholung m\u00f6glich, da die Stochastik-B\u00fccher verschiedenartig sind, somit jedes Element nur einmal existiert. (Signalwort: \u201everschiedene\u201c).<\/p>\n 4) Formel ausw\u00e4hlen: $n!$<\/p>\n 5)W\u00e4hle $n$:Zu w\u00e4hlen sind alle Elemente in der Aufgabenstellung.<\/p>\n \\begin{align*} Schau dir zur Vertiefung und Wiederholung Daniels Playlist zu Kombinatorik an.<\/strong><\/p>\n
\n\\begin{pmatrix} n \\\\ k \\end{pmatrix} = \\frac{n!}{(n-k)!\\cdot k!}
\n\\end{align*}<\/p>\n\n
Beispiele<\/h2>\n
\n
\n10^4=10000 ~\\textrm{M\u00f6glichkeiten}
\n\\end{align*}<\/p>\n<\/div>\n\n
\n\\frac{10!}{(10-3)!} = \\frac{10!}{7!} = 10 \\cdot 9 \\cdot 8 = 720 ~\\textrm{M\u00f6glichkeiten}
\n\\end{align*}<\/p>\n<\/div>\n\n\n
\n5! = 5 \\cdot 4 \\cdot 3 \\cdot 2 \\cdot 1 = 120 ~\\textrm{M\u00f6glichkeiten}
\n\\end{align*}
\n<\/div>\nPlaylist: Kombinatorik, Abz\u00e4hlverfahren, Stochastik<\/div><\/div><\/div><\/div><\/div><\/div><\/div>