{"id":105,"date":"2015-03-25T21:04:59","date_gmt":"2015-03-25T20:04:59","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/mathe\/wp\/?page_id=105"},"modified":"2020-01-31T15:26:58","modified_gmt":"2020-01-31T14:26:58","slug":"bedingte-wahrscheinlichkeit-und-unabhaengigkeit","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/bedingte-wahrscheinlichkeit-und-unabhaengigkeit\/","title":{"rendered":"Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabh\u00e4ngigkeit"},"content":{"rendered":"\n<p>Du willst mehr erfahren zum Thema Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabh\u00e4ngigkeit? Wir erkl\u00e4ren dir auf dieser Seite anhand von Aufgaben und Videos alles was du wissen musst.<\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#Vierfeldertafel\">Vierfeldertafel<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#Bayes\">Satz von Bayes<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#StochastischeUnabh\u00e4ngigkeit\">Stochastische Unabh\u00e4ngigkeit<\/a><\/li>\n<\/ul>\n\n<p>Bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei Laplace-Experimenten kann man manchmal eine gegebene Zusatzinformation $B$ nutzen. Die mit der Vorinformation $B$ berechnete Wahrscheinlichkeit wird bedingte Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung $B$ genannt und mit $P(A|B)$ (oft auch $P_B(A)$) abgek\u00fcrzt.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nP(A|B)=\\frac{P(A \\cap B)}{P(B)}, \\quad P(B) &gt; 0<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Betrachten wir die Formel etwas genauer und machen uns klar, was diese beinhaltet:<\/p>\n<p>$P$(Was suchen wir $|$ Was wissen wir bzw. was ist schon eingetreten).<br \/>\nIn der Aufgabenstellung wird die Bedingung, also das was wir wissen, immer klar durch die Phrasen\/W\u00f6rter \u201eunter der Bedingung\u201c, \u201ewenn\u201c, \u201eobgleich\u201c.<\/p>\n<p>Analog l\u00e4sst sich die bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|A) gem\u00e4\u00df<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nP(B|A)=\\frac{P(A\\cap B)}{P(A)} \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>errechnen. <\/p>\n<p>Wichtig: Nutze zur Vereinfachung eine Vierfeldertafel um die Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen.<\/p>\n<h2 class=\"anchor\" id=\"Vierfeldertafel\">Vierfeldertafel<\/h2>\n<p>Eine Vierfeldertafel eignet sich zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten der Verkn\u00fcpfungen zweier Ereignisse $A$ und $B$. Unten\u00a0sehen wir eine allgemeine Vierfeldertafel.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\" wp-image-3930 size-full aligncenter\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_4felder1.png\" alt=\"4 Felder Tafel\" width=\"288\" height=\"134\" \/><\/p>\n<p>Hinweis: In den Feldern k\u00f6nnen auch absolute H\u00e4ufigkeiten stehen.<\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Bedingte Wahrscheinlichkeit mit Vierfeldertafel und Baumdiagramm, Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_LonDC-l4IVs\"><div id=\"lyte_LonDC-l4IVs\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FLonDC-l4IVs%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Bedingte Wahrscheinlichkeit mit Vierfeldertafel und Baumdiagramm, Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/LonDC-l4IVs\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FLonDC-l4IVs%2F0.jpg\" alt=\"Bedingte Wahrscheinlichkeit mit Vierfeldertafel und Baumdiagramm, Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2 class=\"anchor\" id=\"Bayes\">Satz von Bayes<\/h2>\n<p>Zwischen den bedingten Wahrscheinlichkeiten $P(A|B)$ und $P(B|A)$ besteht die auch als <em>Satz von Bayes<\/em> bezeichnete Beziehung:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nP(A|B)=\\frac{P(B | A) \\cdot P(A)}{P(B)}= \\frac{P(B | A) \\cdot P(A)}{P(A) \\cdot P(B|A) + P(\\bar{A}) \\cdot P(B|\\bar{A})} \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Der Satz von Bayes wird verwendet, wenn man das Ergebnis schon kennt und die Wahrscheinlichkeiten f\u00fcr eine m\u00f6gliche Ursache herausfinden m\u00f6chte. Wenn man die Gleichung n\u00e4her betrachtet, sollte uns $P(A|B)= P$(Was suchen wir $|$ Was wissen wir) bekannt vorkommen. Ferner steht im Nenner der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit, welcher die Summe der m\u00f6glichen Ausg\u00e4nge darstellt.<\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Bedingte Wahrscheinlichkeit, Satz von Bayes, Bayes-Theorem, Formel | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_2xCRBxHnsvg\"><div id=\"lyte_2xCRBxHnsvg\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F2xCRBxHnsvg%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Bedingte Wahrscheinlichkeit, Satz von Bayes, Bayes-Theorem, Formel | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/2xCRBxHnsvg\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F2xCRBxHnsvg%2F0.jpg\" alt=\"Bedingte Wahrscheinlichkeit, Satz von Bayes, Bayes-Theorem, Formel | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2 class=\"anchor\" id=\"StochastischeUnabh\u00e4ngigkeit\">Stochastische Unabh\u00e4ngigkeit<\/h2>\n<p>Zwei zuf\u00e4llige Ereignisse $A$ und $B$ werden als unabh\u00e4ngig oder auch als stochastisch unabh\u00e4ngig bezeichnet, wenn das Eintreten eines Ereignisses keinen Einfluss auf das andere Ereignis hat.<\/p>\n<p>Zwei Ereignisse $A$, $B$ mit $P(A) &gt; 0$ und $P(B) &gt;0$ hei\u00dfen unabh\u00e4ngig, wenn eine der folgenden \u00e4quivalenten Bedingungen gilt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nP(A \\cap B)=P(A) \\cdot P(B)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>Wichtig<\/strong>: Die Unabh\u00e4ngigkeit darf nicht verwechselt werden mit der Unvereinbarkeit zweier Ereignisse:<\/p>\n<ol>\n<li>Unabh\u00e4ngigkeit: $P(A \\cap B) = P(A) \\cdot P(B)$<\/li>\n<li>Unvereinbarkeit: $A \\cap B = \\{ \\}$<\/li>\n<\/ol>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Stochastisch abh&auml;ngig, unabh&auml;ngig, Beispiele, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_S7vIOGZI5ZM\"><div id=\"lyte_S7vIOGZI5ZM\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FS7vIOGZI5ZM%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Stochastisch abh\u00e4ngig, unabh\u00e4ngig, Beispiele, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/S7vIOGZI5ZM\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FS7vIOGZI5ZM%2F0.jpg\" alt=\"Stochastisch abh&auml;ngig, unabh&auml;ngig, Beispiele, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<div class=\"box exercise\">\n<strong>Beispiel<\/strong><\/p>\n<p>In einer Schule werden neben dem Unterricht ein F\u00f6rderkurs und eine AG angeboten. 70% der Sch\u00fcler besuchen keinen F\u00f6rderkurs und 40% der Sch\u00fcler keine AG. 25% der Sch\u00fcler nehmen weder an dem F\u00f6rderkurs noch an der AG teil.<\/p>\n<p>Alle Informationen des Aufgabentextes haben wir zun\u00e4chst \u00fcbersichtlich in eine Vierfeldertafel geschrieben. Das ist der erste Schritt, den ihr machen solltet, wenn es um bedingte Wahrscheinlichkeiten geht.<\/p>\n<p><center>$<br \/>\n\\renewcommand{\\arraystretch}{1.3}<br \/>\n\\begin{array}{c|c|c|c}<br \/>\n&amp; F &amp; \\overline{F} &amp; \\sum \\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\nAG &amp; 0,15 &amp; 0,45 &amp; 0,6 \\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\n\\overline{AG} &amp; 0,15 &amp; 0,25 &amp; 0,4 \\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\n\\sum &amp; 0,3 &amp; 0,7 &amp; 1<br \/>\n\\end{array}<br \/>\n$<\/center><\/p>\n<p>Wie gro\u00df ist die Wahrscheinlichkeit, dass<\/p>\n<p><strong>1. ein Sch\u00fcler den F\u00f6rderkurs nicht w\u00e4hlt, unter der Bedingung, dass er auch keine AG besucht?<\/strong><\/p>\n<p>Aus der Aufgabenstellung m\u00fcssen wir die Bedingung identifizieren, in dem man auf die Signalw\u00f6rter (\u201eunter der Bedingung\u201c, \u201ewenn\u201c, \u201eobgleich\u201c) achtet. Mit der Kenntnis, welches Ereignis bereits eingetreten ist, folgt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nP(\\textrm{Was suchen wir}|\\textrm{Was wissen wir})=P(\\overline{F}|\\overline{AG})<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Im n\u00e4chsten Schritt berechnen wir mit der Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit die gesuchte Wahrscheinlichkeit.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nP(\\overline{F}|\\overline{AG}) = \\frac{P(\\overline{F} \\cap \\overline{AG} )}{P(\\overline{AG})}=\\frac{0,25}{0,4}=0,625<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>2.\u00a0ein Sch\u00fcler die AG nicht w\u00e4hlt, unter der Bedingung, dass er auch keinen F\u00f6rderkurs besucht?<\/strong><\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nP(\\overline{AG}|\\overline{F}) = \\frac{P(\\overline{AG} \\cap \\overline{F} )}{P(\\overline{F})}=\\frac{0,25}{0,7}=0,3571<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>3.\u00a0ein Sch\u00fcler die AG w\u00e4hlt, unter der Bedingung, dass er schon den F\u00f6rderkurs gew\u00e4hlt hat?<\/strong><\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nP(AG|F) = \\frac{P(AG \\cap F )}{P(F)}=\\frac{0,15}{0,3}=0,5<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>4.\u00a0Sind die Ereignisse unabh\u00e4ngig?<\/strong><\/p>\n<p>Wir verwenden die Formel $P(A \\cap B)$=$P(A) \\cdot P(B)$ und setzen die f\u00fcr uns passenden Ereginisse ein. Es folgt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nP(F \\cap AG) &amp;= P(F) \\cdot P(AG) \\\\<br \/>\n0,15 &amp;= 0,3 \\cdot 0,6 \\\\<br \/>\n0,15 &amp;\\neq 0,18<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>In dem Beispiel sind die beiden Ereignisse voneinander abh\u00e4ngig, also nicht stochastisch unabh\u00e4ngig. Demnach w\u00e4hlt ein Sch\u00fcler den F\u00f6rderkurs (F\u00f6rderkurs nicht) abh\u00e4ngig davon ob er die AG (AG nicht) w\u00e4hlt.<\/p>\n<\/div>\n\n<p><strong>Vertiefend findest du in Daniels Playlist weitere Videos zum Thema Bedingte Wahrscheinlichkeit.<\/strong><br \/>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Playlist: Bedingte Wahrscheinlichkeit, Vier-Felder-Tafel, Satz von Bayes, Stochastik\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe playlist\" id=\"WYL_PLLTAHuUj-zHicH1h-mTMed1zchxNylvRP\"><div id=\"lyte_PLLTAHuUj-zHicH1h-mTMed1zchxNylvRP\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FY7i3zsaYT40%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Playlist: Bedingte Wahrscheinlichkeit, Vier-Felder-Tafel, Satz von Bayes, Stochastik<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtube.com\/playlist?list=PLLTAHuUj-zHicH1h-mTMed1zchxNylvRP\" rel=\"nofollow\"><br \/>Diese Wiedergabeliste auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><br \/>\n<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Du willst mehr erfahren zum Thema Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabh\u00e4ngigkeit? 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Wir geben euch Hilfestellung in Form von Beispielen, Lernvideos und Erkl\u00e4rungen.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow\" \/>\n<meta name=\"googlebot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<meta name=\"bingbot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/bedingte-wahrscheinlichkeit-und-unabhaengigkeit\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabh\u00e4ngigkeit\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabh\u00e4ngigkeit ist ein schwieriges Thema. 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