{"id":107,"date":"2015-03-25T21:05:11","date_gmt":"2015-03-25T20:05:11","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/mathe\/wp\/?page_id=107"},"modified":"2020-01-31T15:29:21","modified_gmt":"2020-01-31T14:29:21","slug":"zufallsvariablen-und-verteilungen","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/zufallsvariablen-und-verteilungen\/","title":{"rendered":"Zufallsvariablen und Verteilungen"},"content":{"rendered":"\n<p>In diesem Artikel erkl\u00e4ren wir dir alles zum Thema Zufallsvariablen und Verteilungen. Wir besprechen folgende Unterthemen im Detail:<\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#was-ist-eine-zufallsvariable\">Was ist eine Zufallsvariable?<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#Zufallsvariablen\">Diskrete Zufallsvariablen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#Traeger\">Tr\u00e4ger einer diskreten Zufallsvariablen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#Wahrscheinlichkeitsfunktion\">Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#Verteilungsfunktion\">Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#Verteilungsparameter\">Verteilungsparameter einer diskreten Zufallsvariablen (Erwartungswert, Varianz, &#8230;)<\/a><\/li>\n<\/ul>\n\n<h2 class=\"anchor\" id=\"was-ist-eine-zufallsvariable\">Was ist eine Zufallsvariable?<\/h2>\n<p>Eine Zufallsvariable ($X$) ist eine Funktion, die den Ergebnissen eines Zufallsexperimentes reelle Zahlen zuordnet:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nX: \\Omega \\rightarrow \\mathbb{R}, \\quad X: \\omega \\rightarrow X(\\omega)=x<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiel 1<\/h3>\n<p>Zweimaliges W\u00fcrfeln mit der Zufallsvariable \u201e$X$= Augensumme\u201c<\/p>\n<p><center>$<br \/>\n\\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}<br \/>\ne_i &amp; (1|1) &amp; (1|2) &amp; (2|1) &amp; (2|2) &amp; \\dots &amp; (6|6) \\\\ \\hline<br \/>\nX(e_i)=x_i &amp; 2 &amp; 3 &amp; 3 &amp; 4 &amp; \\dots &amp; 12<br \/>\n\\end{array}$<\/center><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-405 size-medium\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_verteilung-300x176.png\" alt=\"bil_verteilung\" width=\"300\" height=\"176\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_verteilung-300x176.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_verteilung.png 668w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/p>\n<p><strong>Hinweis<\/strong>: Die Realisation (gew\u00fcrfelte Augenzahl) kann durch verschiedene Wurfkombinationen erreicht werden. So kann man die Realisation &#8222;4&#8220; mit den W\u00fcrfen (2|2), (1|3) und (3|1) erreichen. Aus der Anzahl der Elementarereignisse erfolgt die Wahrscheinlichkeit 3\/36.<\/p>\n<\/div><br \/>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiel 2<\/h3>\n<p>Eine M\u00fcnze wird 2 mal geworfen mit der Zufallsvariable \u201e$X$= Anzahl der Zahl-W\u00fcrfe\u201c<\/p>\n<p>Was f\u00fcr M\u00f6glichkeiten gibt es? Wie sieht der Ergebnisraum aus? Wenn wir das wissen, k\u00f6nnen wir folgende Tabelle erstellen:<\/p>\n<p><center>$<br \/>\n\\begin{array}{c|c|c|c}<br \/>\ne_i &amp; (K|K) &amp; (Z|K),(K|Z) &amp; (Z|Z) \\\\ \\hline<br \/>\nX(e_i)=x_i &amp; 0 &amp; 1 &amp; 2 \\\\ \\hline<br \/>\nP(x_i) &amp; 1\/4 &amp; 1\/2 &amp; 1\/4<br \/>\n\\end{array}<br \/>\n$<\/center><br \/>\n<\/div>\n<p><strong>Daniel erkl\u00e4rt euch nochmals was eine Zufallsvariable ist.<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Zufallsgr&ouml;&szlig;e und Wahrscheinlichkeitsverteilung, Grundlagen mit Beispiel | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_unwJSkloq8M\"><div id=\"lyte_unwJSkloq8M\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FunwJSkloq8M%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Zufallsgr\u00f6\u00dfe und Wahrscheinlichkeitsverteilung, Grundlagen mit Beispiel | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/unwJSkloq8M\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FunwJSkloq8M%2F0.jpg\" alt=\"Zufallsgr&ouml;&szlig;e und Wahrscheinlichkeitsverteilung, Grundlagen mit Beispiel | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2 class=\"anchor\" id=\"Zufallsvariablen\">Diskrete Zufallsvariablen<\/h2>\n<p>Eine Zufallsvariable hei\u00dft <strong>diskret<\/strong>, wenn es <strong>endlich<\/strong> oder<strong> abz\u00e4hlbar unendlich viele Werte<\/strong> $X_1$, $X_2$, $X_3$, $\\dots$, $X_n$ annehmen kann.<\/p>\n<p>Eine Zufallsvariable $(X)$, die nur endlich oder abz\u00e4hlbar unendlich viele Werte annimmt, ist immer diskret.<\/p>\n<p>Beispiele: Augenzahl beim W\u00fcrfeln, M\u00fcnzwurf<\/p>\n<h2 class=\"anchor\" id=\"Traeger\">Tr\u00e4ger einer diskreten Zufallsvariablen<\/h2>\n<ul>\n<li>Der Tr\u00e4ger $T_X$ einer diskreten $ZV$ $X$ ist die Menge aller Werte, die $X$ mit positiver Wahrscheinlichkeit annimmt.<\/li>\n<li>Meist ist der Tr\u00e4ger einer diskreten Zufallsvariablen eine Teilmenge der nat\u00fcrlichen Zahlen $(1,2,3,\\dots,n)$.<\/li>\n<li>Den Tr\u00e4ger $T_X$ kann man auch als Ereignisraum verstehen.<\/li>\n<li>Wichtig: Es m\u00fcssen zun\u00e4chst immer alle Tr\u00e4ger der Zufallsvariablen ermittelt werden um dann die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen.<\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiele diskreter Zufallsvariablen<\/h3>\n<ul>\n<li>Augenzahl beim einmaligen W\u00fcrfeln (Ereignisraum $\\Omega=\\{1,2,3,4,5,6\\})$ .<\/li>\n<li>Anzahl von der Ziehung eines normalen Kartenspiels ohne Zur\u00fccklegen, bis die Karo 7 gezogen wird ($\\Omega=\\{1,2,3,\\dots,32\\}$).<\/li>\n<\/ul>\n<\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2 class=\"anchor\" id=\"Wahrscheinlichkeitsfunktion\">Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen<\/h2>\n<p>Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt an, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die m\u00f6glichen Werte einer Zufallsvariablen verteilen und ist nur f\u00fcr diskrete Zufallsvariablen definiert. <\/p>\n<p><strong>Definition:<\/strong><\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf: \\mathbb{R} \\rightarrow [0;1], \\quad f:x \\rightarrow f(x)=P(X=x)=p<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>$P(X=x)$ gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die ZV $X$ den Wert $x$ annimmt. Mag auf den ersten Blick kompliziert sein, aber wir betrachten daf\u00fcr mal ein kleines Beispiel:<\/p>\n<p>Es wird ein normaler W\u00fcrfel geworfen. Wie bereits beschrieben m\u00fcssen erst die Tr\u00e4ger der Zufallsvariablen bestimmt werden, welche auch als Ereignisraum verstanden werden k\u00f6nnen. Der Ereignisraum lautet also<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\Omega=\\{1,2,3,4,5,6\\}.<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Danach werden die Wahrscheinlichkeiten, analog zu den bisherigen Wahrscheinlichkeiten, mit Hilfe der Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnet.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3937 size-full\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_diskreteverteilung1.png\" alt=\"\" width=\"398\" height=\"194\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_diskreteverteilung1.png 398w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_diskreteverteilung1-300x146.png 300w\" sizes=\"(max-width: 398px) 100vw, 398px\" \/><br \/>\n<\/p>\n<h2 class=\"anchor\" id=\"Verteilungsfunktion\">Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen<\/h2>\n<p>Die Verteilungsfunktion ist ein Hilfsmittel zur Beschreibung einer diskreten (oder stetigen) Wahrscheinlichkeitsverteilung. Eine Funktion $F$, die jedem $x$ einer Zufallsvariablen $X$ genau eine Wahrscheinlichkeit $P(X \\leq x)$ zuordnet, hei\u00dft Verteilungsfunktion.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nF: \\mathbb{R} \\rightarrow [0,1], \\quad<br \/>\nF : x \\rightarrow \\ F (x)=P(X\u2264x)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Ahja, und was bedeutet das? Interpretation:<\/p>\n<p>Die Verteilungsfunktion misst die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable $X$ h\u00f6chstens den Wert $x$ annimmt: $F(X)=P(X\\leq x)$ = \u201eWahrscheinlichkeit das $X$ weniger oder gleich einen bestimmten Wert $x$ hat.\u201c<\/p>\n<p><strong>Eigenschaften:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen ist eine Treppenfunktion.<\/li>\n<li>$F(x)$ ist f\u00fcr jedes $x$ definiert und nimmt Werte von 0 bis 1 an.<\/li>\n<li>Wird bei Hypothesentests verwendet! Signalwort: <em>H\u00f6chstens<\/em>.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Merke:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nP(X \\geq x)=1-P(X &lt; x)=1-P(X \\leq x-1) \\quad \\textrm{und} \\quad P(X&gt;x)=1-P(X\\leq x)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiel<\/h3>\n<p><strong>Eine M\u00fcnze wird zwei mal geworfen mit der Zufallsvariable $X$= Anzahl der \u201eZahl-W\u00fcrfe\u201c!<\/strong><\/p>\n<p><center>$<br \/>\n\\begin{array}{c|c|c|c}<br \/>\ne_i &amp; (K|K) &amp; (Z|K),(K|Z) &amp; (Z|Z) \\\\ \\hline<br \/>\nX(e_i)=x_i &amp; 0 &amp; 1 &amp; 2 \\\\ \\hline<br \/>\nP(x_i) &amp; 1\/4 &amp; 1\/2 &amp; 1\/4 \\\\ \\hline<br \/>\nF(X) &amp; 0,25 &amp; 0,75 &amp; 1 \\\\<br \/>\n\\end{array}<br \/>\n$<\/center><center><\/center><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3695\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_diskreteverteilung_1.png\" alt=\"Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen\" width=\"538\" height=\"266\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_diskreteverteilung_1.png 800w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_diskreteverteilung_1-300x148.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_diskreteverteilung_1-768x379.png 768w\" sizes=\"(max-width: 538px) 100vw, 538px\" \/><\/p>\n<p><strong>1) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem obigen Zufallsexperiment mindestens einmal \u201eZahl\u201c geworfen wird?<\/strong><\/p>\n<p>Grundlegend dr\u00fccken wir den Operator mindestens als $\\geq$ aus und schreiben aus der Aufgabenstellung heraus, was gesucht ist. Daraus folgt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nP(X \\geq 1)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Im zweiten Schritt ist aus der Aufgabenstellung ersichtlich, dass die Tr\u00e4ger der Zufallsvariablen $\\Omega = \\{0,1,2\\}$ sind.<\/p>\n<p>An dieser Stelle muss man sich die Frage stellen, was wirklich gr\u00f6\u00dfer gleich Eins ist. Daraus folgt, dass wirklich gr\u00f6\u00dfer gleich Eins nur $P(X =1)$ und $P(X=2)$ sind und die Wahrscheinlichkeiten f\u00fcr beide Zufallsvariablen bekannt sind.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nP(X \\geq 1) = P(X =1) + P(X=2) = 0,5 +0,25 = 0,75<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Alternativ k\u00f6nnt ihr wie folgt vorgehen: Stellt euch doch die Frage, was echt kleiner als Eins ist. Echt kleiner als Eins ist nur $P(X =0)$, wobei hierf\u00fcr die Wahrscheinlichkeit bekannt ist. Es folgt<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nP(X \\geq 1) = 1- P(X &lt; 1) = 1 &#8211; P(X =0) = 1 \u2013 0,25 = 0,75<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>2)\u00a0Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Zufallsexperiment h\u00f6chstens einmal \u201eZahl\u201c geworfen wird?<\/strong><\/p>\n<p>Grundlegend dr\u00fccken wir den Operator h\u00f6chstens als $\\leq$ aus und schreiben aus der Aufgabenstellung raus, was gesucht ist. Daraus folgt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nP(X \\leq 1)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>An dieser Stelle muss man sich die Frage stellen, was wirklich kleiner gleich Eins ist. Daraus folgt, dass wirklich kleiner gleich Eins nur $P(X =0)$ und $P(X=1)$ sind und die Wahrscheinlichkeiten f\u00fcr beide Zufallsvariablen bekannt sind.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nP(X \\leq 1) = P(X =0) + P(X=1) = 0,25 +0,5 = 0,75<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>>Man kann sich hier auch bei der Beantwortung die Verteilungsfunktion zu Nutze machen, da die Verteilungsfunktion die Wahrscheinlichkeit misst, dass die Zufallsvariable $X$ h\u00f6chstens ($\\leq$) den Wert $x$ annimmt! Es folgt<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nP(X \\leq 1) = F(X=1) = 0,75.<br \/>\n\\end{align*}<br \/>\n<\/div>\n<p><strong>Schau dir vertiefend dazu Daniels Lernvideo zum Thema Verteilungsfunktion an.<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Verteilungsfunktion, kumulativ, Stochastik, Wahrscheinlichkeitstheorie, Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_yHvEZQfvogs\"><div id=\"lyte_yHvEZQfvogs\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FyHvEZQfvogs%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Verteilungsfunktion, kumulativ, Stochastik, Wahrscheinlichkeitstheorie, Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/yHvEZQfvogs\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FyHvEZQfvogs%2F0.jpg\" alt=\"Verteilungsfunktion, kumulativ, Stochastik, Wahrscheinlichkeitstheorie, Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2 class=\"anchor\" id=\"Verteilungsparameter\">Verteilungsparameter einer diskreten Zufallsvariablen<\/h2>\n<p>Verteilungsparameter sind Gr\u00f6\u00dfen, die bestimmte Aspekte einer Verteilung charakterisieren, wie zum Beispiel Lage, Streuung oder Schiefe einer Verteilung.<\/p>\n<p>Wichtige Parameter sind:<\/p>\n<h3>Erwartungswert (Lageparameter):<\/h3>\n<ul>\n<li>Der Erwartungswert ist der Schwerpunkt der Verteilung und beschreibt die Zahl, die die Zufallsvariable im Mittel annimmt.<\/li>\n<li>Der Erwartungswert $E(X)$ wird auch oft als $\\mu$ bezeichnet.<\/li>\n<\/ul>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\mu=E(X)= \\sum_{i=1}^k x_i \\cdot \\underbrace{P(X=x_i)}_{=p_i} = x_1\\cdot p_1 + x_2 \\cdot p_2 + \\dots + x_k \\cdot p_k<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<h3>Varianz\u00a0(Streuungsparameter):<\/h3>\n<ul>\n<li>Varianz beschreibt die Streuung einer Zufallsvariablen und h\u00e4ngt nicht vom Zufall ab.<\/li>\n<li>Die Varianz von der Zufallsvariablen $X$ ist der Erwartungswert der quadrierten Abweichung von ihrem Erwartungswert.<\/li>\n<li>Oft wird statt $V(X)$ einfach $\\sigma^2$ geschrieben.<\/li>\n<\/ul>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\sigma^2=V(X)= \\sum_{i=1}^k (x_i- \\mu)^2 \\cdot p_i<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<ul>\n<li>Der Verschiebungssatz $\\sigma^2= \\sum_{i=1}^k x_i^2 \\cdot p_i &#8211; \\mu^2$ erleichtert meist die Berechnung der Varianz.<\/li>\n<\/ul>\n<h3>Standardabweichung\u00a0(Streuungsparameter):<\/h3>\n<ul>\n<li>Die Standardabweichung ist die positive Wurzel aus der Varianz und gibt die Streuung der Werte um den Mittelwert an.<\/li>\n<li>Damit ist die Standardabweichung ebenfalls ein Ma\u00df f\u00fcr die Streuung, nur dass sie etwas langsamer ansteigt als die Varianz. Kennt man die Varianz, dann kann diese leicht in die Standardabweichung umgerechnet werden (und umgekehrt).<\/li>\n<\/ul>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\sigma = \\sqrt{V(X)} = \\sqrt{\\sigma^2} \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<h3>Grundaufgaben<\/h3>\n<ul>\n<li>Erwartungswert und Standardabweichung berechnen und interpretieren<\/li>\n<li>Wahrscheinlichkeit daf\u00fcr berechnen, dass die Zufallsvariable Werte annimmt, die um vorgegebene Werte vom Erwartungswert abweichen.<\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiel<\/h3>\n<p>Ein Lehrer m\u00f6chte wissen, wie seine Sch\u00fcler abschneiden und wie sehr die guten bzw. schlechten Sch\u00fcler vom Schnitt abweichen. Folgende Tabelle zeigt die Notenverteilung<\/p>\n<p><center>$<br \/>\n\\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}<br \/>\n\\text{Note} \\ x_j &amp; 1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 4 &amp; 5 &amp; 6\\\\ \\hline<br \/>\np_j &amp; 0,1 &amp; 0,15 &amp; 0,5 &amp; 0,2 &amp; 0 &amp; 0,05<br \/>\n\\end{array}<br \/>\n$<\/center><\/p>\n<p>Der Erwartungswert berechnet sich wie folgt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\mu = E(x) = 1 \\cdot 0,1 + 2 \\cdot 0,15 + 3 \\cdot 0,5 + 4 \\cdot 0,2 + 5 \\cdot 0 + 6 \\cdot 0,05 = 3 \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Interpretation: Der Notendurchschnitt betr\u00e4gt somit $3$.<\/p>\n<p>Die Standardabweichung berechnen wir \u00fcber die Varianz:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\sigma^2 &amp;= (1-3)^2 \\cdot 0,1 + (2-3)^2 \\cdot 0,15 + (3-3)^2 \\cdot 0,5 + (4-3)^2 \\cdot 0,2\\notag \\\\ &amp;+ (5-3)^2 \\cdot 0 + (6-3)^2 \\cdot 0,05 = 1,2 \\notag \\\\<br \/>\n\\Rightarrow \\quad \\sigma &amp;= \\sqrt{1,2} \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Die Streuung um den Notendurchschnitt ist gering. Ein Stabdiagramm w\u00fcrde das weiter verdeutlichen. Bei solchen Aufgaben m\u00fcsst ihr oft mehrere Szenarien vergleichen und sagen, welches Szenario mehr streut.<\/p>\n<\/div>\n\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Artikel erkl\u00e4ren wir dir alles zum Thema Zufallsvariablen und Verteilungen. Wir besprechen folgende Unterthemen im Detail: Was ist eine Zufallsvariable? Diskrete Zufallsvariablen Tr\u00e4ger einer diskreten Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen Verteilungsparameter einer diskreten Zufallsvariablen (Erwartungswert, Varianz, &#8230;) Was ist eine Zufallsvariable? 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