{"id":109,"date":"2015-03-25T21:05:30","date_gmt":"2015-03-25T20:05:30","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/mathe\/wp\/?page_id=109"},"modified":"2020-01-31T15:37:22","modified_gmt":"2020-01-31T14:37:22","slug":"spezielle-stetige-verteilungen","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/spezielle-stetige-verteilungen\/","title":{"rendered":"Spezielle stetige Verteilungen"},"content":{"rendered":"\n<p>In diesem Artikel kl\u00e4ren wir alle wichtigen Themen zum Thema &#8222;Spezielle stetige Verteilungen&#8220;. Wir besprechen dabei anhand von Beispielen, Videos und Erkl\u00e4rungen folgende Bereiche:<\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#Stetige-Zufallsvariablen\">Stetige Zufallsvariablen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#Verteilungsparameter\">Verteilungsparameter stetiger Zufallsvariablen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#Normalverteilung\">Normalverteilung<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#Standardisieren\">Standardisieren von normalverteilten Zufallsvariablen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#Werte\">Wie lese ich \u03a6-Werte ab?<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#Wahrscheinlichkeiten\">Wahrscheinlichkeiten f\u00fcr Intervalle<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#Quantile\">Quantile bestimmen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#Approximation\">Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung<\/a><\/li>\n<\/ul>\n\n<h2 id=\"Stetige-Zufallsvariablen\" class=\"anchor\">Stetige Zufallsvariablen<\/h2>\n<p>Diskrete Zufallsvariablen sind dadurch gekennzeichnet, dass man die Anzahl ihrer Auspr\u00e4gungen abz\u00e4hlen kann. Das Zufallsverhalten einer diskreten Zufallsvariablen $X$ mit $k$ Auspr\u00e4gungen $x_i$ mit $i = 1,2,\\dots,k$ und den Eintrittswahrscheinlichkeiten $p_i = P(X = x_i)$ l\u00e4sst sich vollst\u00e4ndig durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion $f(x)$ oder die Verteilungsfunktion $F(x)$ charakterisieren.<\/p>\n<p>Bei stetigen Zufallsvariablen ist die Tr\u00e4germenge, also die Menge der m\u00f6glichen Realisationen, ein Intervall. Das Verhalten einer stetigen Zufallsvariablen $X$ l\u00e4sst sich wie im diskreten Fall durch die Verteilungsfunktion<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nF(x) = P(X\\leq x)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>vollst\u00e4ndig charakterisieren.<\/p>\n<div class=\"box formula\">\n<p><strong>Definition:<\/strong> Eine Zufallsvariable $X$ hei\u00dft stetig, wenn sich ihre Verteilungsfunktion als Integral einer Funktion: $f (x): \\mathbb{R} \\rightarrow [0,1)$ schreiben l\u00e4sst:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nF (x)=P(X\\leq x)=\\int_{-\\infty}^x f (t)~\\textrm{d}t, \\quad \\forall x \\in \\mathbb{R}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<\/div>\n<p><strong>Bemerkungen:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Wer sich nun wundert, warum wir auf einmal $f(t)$ statt $f(x)$ schreiben: Weil wir das $x$ schon f\u00fcr die Verteilungsfunktion $F$ verwenden, m\u00fcssen wir uns bei der Dichte kurzfristig einen neuen Buchstaben \u00fcberlegen.<\/li>\n<li>Die Funktion $f (x)$ hei\u00dft Dichtefunktion und vermittelt einen visuellen Eindruck der Verteilung.<\/li>\n<li>Merke: $f(x)\\neq P(X=x)$ und $F(x)=P(X\\leq x)$<\/li>\n<li>Dichten sind keine Wahrscheinlichkeiten, aber vielmehr gibt die Fl\u00e4che unter der Dichtefunktion die Wahrscheinlichkeit an: Integralrechnung!<\/li>\n<li>Eine Zufallsvariable $X$ wird als stetig bezeichnet, wenn sie \u00fcberabz\u00e4hlbar unendlich viele Werte annimmt.<\/li>\n<li>Der Wertebereich ist meistens ein Intervall aller reellen Zahlen oder die Menge aller reellen Zahlen selbst.<\/li>\n<li>Bei einer stetigen Zufallsvariablen ist $P(X = x) = 0$, da es als unm\u00f6glich angesehen wird, genau einen bestimmten Wert $x$ zu \u201etreffen\u201c. Man betrachtet bei einer stetigen Zufallsvariablen nur Wahrscheinlichkeiten der Art $P(X \\leq x)$, welche durch die Verteilungsfunktion charakterisiert wird, siehe Gl. (1).<\/li>\n<li>Die Dichtefunktion $f$ und die Verteilungsfunktion $F$ enthalten die gleiche Information. Der Unterschied besteht lediglich in der Darstellung dieser Information.<\/li>\n<\/ul>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3718\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_stetig1.png\" alt=\"Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariablen\" width=\"669\" height=\"232\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_stetig1.png 839w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_stetig1-300x104.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_stetig1-768x266.png 768w\" sizes=\"(max-width: 669px) 100vw, 669px\" \/><\/p>\n<p>Es gelten folgende Eigenschaften f\u00fcr die <strong>Dichtefunktion<\/strong>:<\/p>\n<ul>\n<li>Nichtnegativit\u00e4t: $f(x)&gt;0 ~ \\forall x \\in \\mathbb{R}$<\/li>\n<li>Normiertheit: $\\int_{-\\infty}^{\\infty} f(x) ~\\textrm{d}x=1$, das entspricht der Fl\u00e4che unter der Funktion!<\/li>\n<\/ul>\n<p>Merke:<\/p>\n<ul>\n<li>Es wird immer ein Intervall betrachtet.<\/li>\n<li>Die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr exakt einen Wert ist immer gleich Null!<\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiel<\/h3>\n<p>Carlo fragt Markus, wie hoch die Wahrscheinlichkeit sei, dass es heute 32 Grad werden. Markus hat den StudyHelpKurs Stochastik bereits im letzten Jahr geh\u00f6rt und sagt: \u201e0\u201c. Carlo fragt nach einer Begr\u00fcndung. Als erstes antwortet Markus, dass es sich um eine stetige ZV handelt und f\u00fchrt dann folgende Rechnung aus. Er denkt sich als Funktion $f(x) = 1\/10$ aus.<\/p>\n<ol>\n<li>$P=(32 \\leq X \\leq 32)$ f\u00fcr $P(X=32)$<\/li>\n<li>Es gilt: $\\int_{-\\infty}^{\\infty} f(x) ~\\textrm{d}x = \\int_{32}^{32} \\frac{1}{10} ~\\textrm{d}x = \\left[ \\frac{1}{10}\\cdot 32-\\frac{1}{10} \\cdot 32 \\right] = 0$<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n\n<h2 id=\"Verteilungsparameter\" class=\"anchor\">Verteilungsparameter stetiger Zufallsvariablen<\/h2>\n<p>Verteilungsparameter sind Gr\u00f6\u00dfen, die bestimmte Aspekte einer Verteilung charakterisieren, wie zum Beispiel Lage, Streuung oder Schiefe einer Verteilung.<br \/>\nWichtige Parameter sind:<\/p>\n<h3>Erwartungswert\u00a0(Lageparameter):<\/h3>\n<ul>\n<li>Der Erwartungswert ist der Schwerpunkt der Verteilung und beschreibt die Zahl, die die Zufallsvariable im Mittel annimmt.<\/li>\n<li>Ist die Zufallsvariable $X$ stetig, so ist die Verteilung durch die Dichte $f(x)$ bestimmt. Die Randwerte von $-\\infty$ bis $\\infty$ bedeuten, dass \u00fcber den gesamten definierten Bereich integriert wird.<\/li>\n<li>Der Erwartungswert wird auch oft als $\\mu$ bezeichnet.<\/li>\n<\/ul>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\mu=E(X)=\\int_{-\\infty}^{\\infty} x\\cdot f(x) ~\\textrm{d}x<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<h3>Varianz (Streuungsparameter):<\/h3>\n<ul>\n<li>Varianz beschreibt die Streuung einer ZV.<\/li>\n<li>Die Varianz von der stetigen ZV $X$ ist der Erwartungswert der quadrierten Abweichung von ihrem Erwartungswert:<\/li>\n<\/ul>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\sigma^2=V(X) =\\int_{-\\infty}^{\\infty} (x_j-\\mu)^2 \\cdot f(x) ~\\textrm{d}x<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<ul>\n<li>Der Verschiebungssatz $\\sigma^2=\\int_{-\\infty}^{\\infty} x^2 f(x)~\\textrm{d}x &#8211; \\mu^2$ erleichtert meist die Berechnung der Varianz.<\/li>\n<\/ul>\n<h3>Standardabweichung (Streuungsparameter):<\/h3>\n<ul>\n<li>Die Standardabweichung ist die positive Wurzel aus der Varianz und gibt die Streuung der Werte um den Mittelwert an.<\/li>\n<li>Damit ist die Standardabweichung ebenfalls ein Ma\u00df f\u00fcr die Streuung, nur dass sie etwas langsamer ansteigt als die Varianz. Kennt man die Varianz, dann kann diese leicht in die Standardabweichung umgerechnet werden (und umgekehrt).<\/li>\n<\/ul>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\sigma=\\sqrt{V(X)}=\\sqrt{\\sigma^2}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiel:<\/h3>\n<p>An einem Uni-Tag, falls dieser Tag nicht Freitag ist, geht Daniel zwischen 10:00 Uhr und 10:36 Uhr zur Bushaltestelle. Seine dortige Wartezeit auf den Bus betr\u00e4gt zwischen 0 und 12 Minuten. Es sei zudem die Dichtefunktion der Wartezeit bekannt mit $f(x) = 1\/12$ f\u00fcr $x \\in [0,12]$ und 0 sonst.<\/p>\n<p><strong>1. Berechne Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung.<\/strong><\/p>\n<p>Hierbei handelt sich um eine stetige Zufallsvariable, da die Wartezeit immer weiter unterteilt werden kann (Minuten, Sekunden, Millisekunden). Aus diesem Grund sind die Formeln der stetigen Zufallsvariablen zu w\u00e4hlen.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\mu=E(X)&amp;=\\int_{0}^{12} x\\cdot f(x) ~\\textrm{d}x=\\int_{0}^{12} \\frac{1}{12}~x~\\textrm{d}x \\\\<br \/>\n&amp;= \\left[\\frac{1}{24}~x^2 \\right]_0^{12}=\\frac{1}{24}\\cdot 12^2 &#8211; \\frac{1}{24} \\cdot 0^2=6<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Die erwartete Wartezeit betr\u00e4gt 6 Minuten.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\sigma^2=V(X)&amp;=\\int_{0}^{12} x^2\\cdot f(x) ~\\textrm{d}x &#8211; \\mu^2=\\int_{0}^{12} \\frac{1}{12}~x^2~\\textrm{d}x &#8211; 6^2 \\\\<br \/>\n&amp;= \\left[\\frac{1}{36}~x^3 \\right]_0^{12}=\\left( \\frac{1}{36}\\cdot 12^3 &#8211; \\frac{1}{36} \\cdot 0^3 \\right)-36=12<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>2. Wie gro\u00df ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zwischen 5 Minuten und 8 Minuten warten muss?<\/strong><\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nP(X\\leq x)&amp;=\\int_{5}^{8} f(x) ~\\textrm{d}x = \\int_{5}^{8} \\frac{1}{12} ~\\textrm{d}x \\\\<br \/>\n&amp;= \\left[\\frac{1}{12}~x^3 \\right]_5^{8}=\\frac{1}{12}\\cdot 8 &#8211; \\frac{1}{12} \\cdot 5=0,25<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Die Wahrscheinlichkeit, dass er zwischen 5 Minuten und 8 Minuten warten muss, betr\u00e4gt 25%.<\/p>\n<\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2 id=\"Normalverteilung\" class=\"anchor\">Normalverteilung<\/h2>\n<p>Die Normal- oder Gau\u00df-Verteilung (oder Glockenkurve) ist die wichtigste stetige Verteilung.<\/p>\n<p>$X$ hei\u00dft normalverteilt oder Gau\u00df-verteilt mit den Parametern $\\mu \\in \\mathbb{R}$ und $\\sigma^2&gt;0$, kurz $X \\sim N(\\mu,\\sigma^2)$, wenn $X$ folgende Dichte hat<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf(x)=\\frac{1}{\\sigma \\cdot \\sqrt{2 \\pi}} \\cdot e^{- \\frac{1}{2} \\cdot (\\frac{x-\\mu}{\\sigma})^2}, \\ \\forall x \\in \\mathbb{R} \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Gucken wir uns kurz die Formel genau an.<\/p>\n<ul>\n<li>$\\frac{1}{\\sigma \\cdot \\sqrt{2 \\pi}}$: Der Vorfaktor normiert alle Funktionswerte, so dass diese zwischen 0 und 1 liegen.<\/li>\n<li>$e^{- \\frac{1}{2} \\cdot (\\frac{x-\\mu}{\\sigma})^2}$: Dieser Faktor gibt die H\u00e4ufigkeit von $x$ an.<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Verteilungsparameter:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Erwartungswert: $E(x)=\\mu$, beschreibt $x$ mit der gr\u00f6\u00dften H\u00e4ufigkeit (Hochpunkt der Glocke)<\/li>\n<li>Varianz: $V(x)=\\sigma^2$<\/li>\n<li>Standardabweichung: $\\sigma$, gibt Breite der Kurve an<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Daniel erkl\u00e4rt dir in seinem Lernvideo was eine Normalverteilung ist!<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Was ist die Normalverteilung, Gau&szlig;-Verteilung, Schaubilder, &Uuml;bersicht | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL__f1vgWUiavY\"><div id=\"lyte__f1vgWUiavY\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F_f1vgWUiavY%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Was ist die Normalverteilung, Gau\u00df-Verteilung, Schaubilder, \u00dcbersicht | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/_f1vgWUiavY\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F_f1vgWUiavY%2F0.jpg\" alt=\"Was ist die Normalverteilung, Gau&szlig;-Verteilung, Schaubilder, &Uuml;bersicht | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2 id=\"Standardisieren\" class=\"anchor\">Standardisieren von normalverteilten Zufallsvariablen<\/h2>\n<p>Die Verteilungsfunktion der Normalverteilung kann man nicht mit einer Formel im Taschenrechner berechnen. Das Integral \u00fcber der Dichtefunktion l\u00e4sst sich n\u00e4mlich nicht mit Stift und Papier l\u00f6sen:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nF(x)=\\frac{1}{\\sigma \\cdot \\sqrt{2 \\pi}} \\int_{-\\infty}^x e^{- \\frac{1}{2} \\cdot (\\frac{t-\\mu}{\\sigma})^2}~\\textrm{d}t, \\ \\forall x \\in \\mathbb{R} \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Wir nehmen daf\u00fcr eine Verteilungstabelle mit der man Werte $F(x)$ der Verteilungsfunktion jeder beliebigen Normalverteilung bestimmen kann. Allerdings gibt es unendlich viele Normalverteilungen, sodass wir ausschlie\u00dflich eine Tabelle f\u00fcr Standardnormalverteilungen $X \\sim N(0,1)$ mit $\\mu=0$ und $\\sigma^2=1$ verwenden. Wir m\u00fcssen also die normalverteilten Zufallsvariablen standardisieren und dann deren Wert anhand der Verteilungstabelle bestimmen!<\/p>\n<p>Es gilt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nP(X\\leq x)= P(Z \\leq \\frac{x-\\mu}{\\sigma}) = \\Phi (\\frac{x-\\mu}{\\sigma})=\\Phi(z)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>mit der standardisierten Zufallsvariable $Z=\\frac{X-\\mu}{\\sigma}$. Die Standardnormalverteilung wird dabei statt $F(x)$ mit $\\Phi(z)$ notiert, um Verwechslungen mit der unstandardisierten Verteilungsfunktion zu vermeiden.<\/p>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiel<\/h3>\n<p>Angenommen, wir haben eine Zufallsvariable $X\\sim N(4,1)$ und m\u00f6chten ihre Verteilungsfunktion an der Stelle $x=3$ wissen. Wir suchen also die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich 3 erh\u00e4lt.<\/p>\n<p>Man muss sich jetzt klar dar\u00fcber werden, dass das genau dasselbe ist, wie wenn ich f\u00fcr eine Zufallsvariable $Z\\sim N(0,1)$ die Verteilungsfunktion an der Stelle $x=-1$ suche. Warum? Weil wir die Normalverteilung um $\\mu=4$ in den Ursprung verschieben und die Standardnormalverteilung erhalten: $Z=(3-4)\/1=-1$.<\/p>\n<\/div>\n<h2 id=\"Werte\" class=\"anchor\">Wie lese ich \u03a6-Werte ab?<\/h2>\n<p>Um die Werte von $\\Phi$ (ausgesprochen: Phi) abzulesen, verwenden wir die Tabelle der Standardnormalverteilung, die ihr dann in der Klausur bekommen werdet. In der folgenden Abbildung seht ihr einen Ausschnitt einer solchen Tabelle und Beispiele, wie man mit der Tabelle umgehen muss. Das Ablesen sollte euch keine Probleme machen!<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3726\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_phiablesen.png\" alt=\"Wie lese ich Phi-Werte ab?\" width=\"516\" height=\"255\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_phiablesen.png 800w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_phiablesen-300x149.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_phiablesen-768x380.png 768w\" sizes=\"(max-width: 516px) 100vw, 516px\" \/><\/p>\n<h2 id=\"Wahrscheinlichkeiten\" class=\"anchor\">Wahrscheinlichkeiten f\u00fcr Intervalle<\/h2>\n<p>Es sei $X \\sim N(\\mu,\\sigma^2)$ und $a,\\ b \\in \\mathbb{R},\\ a \\leq b$, dann gilt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nP(a \\leq X \\leq b)&amp;= \\Phi \\left( \\frac{b-\\mu}{\\sigma} \\right) &#8211; \\Phi \\left( \\frac{a-\\mu}{\\sigma} \\right) \\notag \\\\<br \/>\nP(X\\leq b)&amp;= \\Phi \\left( \\frac{b-\\mu}{\\sigma} \\right) \\notag \\\\<br \/>\nP(X &gt; a)&amp;=1- \\Phi \\left( \\frac{a-\\mu}{\\sigma} \\right) \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<div class=\"box info\">\n<p><strong>Wichtig<\/strong>: Wegen Symmetrie der Dichtefunktion gilt $\\Phi(-z)=1- \\Phi(z)$. Falls also in der Klammer von $\\Phi$ eine negative Zahl rauskommt, k\u00f6nnt ihr diese so umschreiben.<\/p>\n<\/div>\n<p>Es folgt eine Skizze einer Normalverteilungsdichte mit $\\mu=0$ und $\\sigma^2=1$. Sie hat ihr Maximum an der Stelle $\\mu$ und f\u00e4llt im Bereich von ungef\u00e4hr $\\pm 3 \\pi$. Au\u00dferhalb eines Abstandes von $3\\pi$ ist die Dichte nahe bei Null.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3730\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_normal5.png\" alt=\"Normalverteilung\" width=\"446\" height=\"361\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_normal5.png 594w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_normal5-300x242.png 300w\" sizes=\"(max-width: 446px) 100vw, 446px\" \/><\/p>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiele zur Normalverteilung<\/h3>\n<p><strong>1) Die Punktevergabe der Abi-Klausur ist normalverteilt mit $\\mu=81,07$ und $\\sigma =3$. Die Sch\u00fclerin Chantalle hat 85 Punkte erreicht. Wie viel Prozent ihrer Mitsch\u00fcler waren schlechter als sie?<\/strong><\/p>\n<p>Aus dem Aufgabentext geht hervor, dass es sich um eine normalverteile Zufallsvariable handet mit $X \\sim N(81,07;9)$. Um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, standardisieren wir die Zufallsvariable und erhalten f\u00fcr $Z=\\frac{85-81,07}{3}=1,31$.<\/p>\n<p>Es folgt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nP(X \\leq 85) = P(Z \\leq 1,31)= \\Phi \\left( Z \\right)= \\Phi \\left( 1,31 \\right)=90,49<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Ein Blick in die Tabelle der Standardnormalverteilung verr\u00e4t uns, dass 90,49% der der Mitsch\u00fcer schlechter als Chantalle waren.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3731\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_normal11.png\" alt=\"Normalverteilung\" width=\"416\" height=\"231\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_normal11.png 581w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_normal11-300x167.png 300w\" sizes=\"(max-width: 416px) 100vw, 416px\" \/><\/p>\n<p><strong>2) Bestimme die Werte f\u00fcr folgende Normalverteilungen.<\/strong><\/p>\n<p>i)\u00a0$X\\sim N(-1;4)$ und $P(X\\leq 0)$:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nP(X\\leq 0) = P\\left(Z \\leq \\frac{0-(-1)}{2}\\right) = P(Z\\leq 0,5) = \\Phi (0,5)=0,6915<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>ii) $X\\sim N(0;5)$ und $P(X &gt; 2)$:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nP(X &gt; 2) = 1-P(X\\leq 2)=1- P\\left(Z \\leq \\frac{2-0}{\\sqrt{5}}\\right) = 1- \\Phi (0,89)=0,1867<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>iii) $X\\sim N(150;100)$ und $P(160&lt;X \\leq 170)$:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nP(X \\leq 170) &#8211; P(X\\leq 160) &amp;= P\\left(Z \\leq \\frac{170-150}{10}\\right) &#8211; P\\left(Z \\leq \\frac{160-150}{10}\\right) \\\\ &amp;= \\Phi (2) &#8211; \\Phi(1)=0,977-0,841=0,136<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<\/div>\n<h2 id=\"Quantile\" class=\"anchor\">Quantile bestimmen<\/h2>\n<p>Quantile oder genauer gesagt $\\alpha$-Quantile sind Werte, die eine Menge an Daten in zwei Teile spalten. Ein Anteil dieser Daten ist mindestens $\\alpha$ kleiner oder gleich dem $\\alpha$-Quantil und mindestens ein Anteil ist $1-\\alpha$ gr\u00f6\u00dfer oder gleich dem $\\alpha$-Quantil. Ein 0,3-Quantil ist dasselbe wie ein 30%-Quantil und bedeutet, dass die Daten in die niedrigen 30% und die hohen 70% aufgeteilt werden. \u00dcbrigens: Der Median ist nichts anderes als das 50%-Quantil.<\/p>\n<p>Das $\\alpha$-Quantil einer Normalverteilung bestimmt man genau umgekehrt wie den Wert der Verteilungsfunktion.<\/p>\n<p>Wir schlagen zuerst das $\\alpha$-Quantil der Standardnormalverteilung in der Verteilungstabelle nach. Nennen wir es $z_\\alpha$. Anschlie\u00dfend transformieren wir es in das Quantil $q_\\alpha$ der tats\u00e4chlichen Normalverteilung, indem wir es erst mit $\\sigma$ multiplizieren und dann noch $\\mu$ addieren. Es gilt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nq_\\alpha = \\mu + \\sigma \\cdot z_\\alpha<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiele<\/h3>\n<p><strong>Bestimme das<\/strong><br \/>\n<strong>i) 50%-Quantil<\/strong> $q_{0,5}$ und es sei $X\\sim N(-1;4)$:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nq_{0,5}= \\mu + \\sigma \\cdot z_{0,5} = -1 + \\sqrt{4} \\cdot 0 = -1<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Merke: Das 50\\%-Quantil jeder Normalverteilung ist immer $\\mu$.<\/p>\n<p><strong>ii) 97,5%-Quantil<\/strong> $q_{0,975}$ und es sei $X\\sim N(0;5)$:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nq_{0,975}= \\mu + \\sigma \\cdot z_{0,975} = 0 + \\sqrt{5} \\cdot 1,96 = 4,382<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>iii) 10%-Quantil<\/strong> $q_{0,1}$ und es sei $X\\sim N(150;100)$:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nq_{0,1}= \\mu + \\sigma \\cdot \\underbrace{z_{0,1}}_{=-z_{0,9}} = 150 + \\sqrt{100} \\cdot (-1,28) = 137,2<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<\/div>\n<h2 id=\"Approximation\" class=\"anchor\">Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung<\/h2>\n<p>Bei der praktischen Anwendung der Binomialverteilung kann es vorkommen, das sehr gro\u00dfe Werte von $n$, z.B. $n=10000$ auftreten, wodurch das Berechnen der Wahrscheinlichkeiten sehr zeitaufwendig wird. Wir haben dann die M\u00f6glichkeit, die Binomialverteilung durch die Normalverteilung anzun\u00e4hern (approximieren).<br \/>\nDie Ann\u00e4herung geht aber nur, wenn eine der beiden folgenden Bedingungen erf\u00fcllt ist:<\/p>\n<ul>\n<li>Laplace-Bedingung $\\sigma = \\sqrt{n\\cdot p \\cdot (1-p)}&gt;3$ oder<\/li>\n<li>\u00a0$n\\cdot p &gt;4$ \\underline{und} $n\\cdot (1-p) &gt;4$<\/li>\n<\/ul>\n<p>Die nachfolgende \u00dcbersicht zeigt die Ann\u00e4herung der Normalverteilung an die Binomialverteilung. Wenn die Bedingungen erf\u00fcllt sind, kann man mit den N\u00e4herungswerten gut arbeiten.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3736\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_vonbinzunormal.png\" alt=\"Binomialverteilung durch Normalverteilung ann\u00e4herung\" width=\"650\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_vonbinzunormal.png 800w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_vonbinzunormal-300x138.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_vonbinzunormal-768x354.png 768w\" sizes=\"(max-width: 650px) 100vw, 650px\" \/><\/p>\n<p>Warum hilft uns das \u00fcberhaupt? Bei der Binomialverteilung k\u00f6nnen nur ganze Zahlen \u00fcber Null eingesetzt werden. Durch die Ersetzung durch die Normalverteilung k\u00f6nnen f\u00fcr $x$ nun alle Werte, egal ob Komma-Zahlen oder negative Zahlen eingesetzt werden. Wenn eine der beiden Bedingungen erf\u00fcllt ist, gilt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nP(X \\leq x)=\\Phi \\left( \\frac{x-np}{\\sqrt{np(1-p)}} \\right) =\\Phi \\left(\\frac{x-\\mu}{\\sigma} \\right)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Bei der Approximation einer diskreten Verteilungsfunktion durch eine stetige, muss noch eine Stetigkeitskorrektur vorgenommen werden. Man erh\u00e4lt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nP(X \\leq x) &amp;\\approx \\Phi \\left( \\frac{x+0,5-np}{\\sqrt{np(1-p)}} \\right) \\\\<br \/>\nP(X \\geq x) &amp;\\approx 1-\\Phi \\left( \\frac{x-0,5-np}{\\sqrt{np(1-p)}} \\right) \\\\<br \/>\nP(a &lt; X \\leq b) &amp;\\approx \\Phi \\left( \\frac{b+0,5-np}{\\sqrt{np(1-p)}} \\right)<br \/>\n&#8211; \\Phi \\left( \\frac{a-0,5-np}{\\sqrt{np(1-p)}} \\right)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n\n<p>Merke: Es wird hier eine diskrete Verteilung durch eine stetige Verteilung approximiert, deswegen muss eine Stetigkeitskorrektur durchgef\u00fchrt werden, die je nach Aufgabenstellung $\\pm$ 0,5 betr\u00e4gt.<\/p>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiel:<\/h3>\n<p>Ein Drittel aller Ehepaare sind im Mittel kinderlos. $X$ sei die Anzahl der kinderlosen Paare unter 120 zuf\u00e4llig ausgew\u00e4hlten. Grundlegend handelt es sich hierbei um eine Binomialverteilung mit den Parametern $n = 120$ und $p=1\/3$. Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich darunter<\/p>\n<p><strong>1.\u00a0nicht mehr als 48 kinderlose Paare?<\/strong><\/p>\n<p>Aus der Fragestellung geht hervor, dass die Berechnung der Einzeltreffer sehr lange dauern w\u00fcrde. Zudem sollte erkannt werden, dass die Laplace-Bedingung mit $\\sigma\\approx 5,16&gt;3$ erf\u00fcllt ist. Dadurch ist eine Approximation von der Binomialverteilung durch die Normalverteilung m\u00f6glich.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nX \\sim B(n,p) \\approx N(\\mu, \\sigma^2)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Zur Berechnung der Normalverteilung ist es allerdings notwendig die Parameter $\\mu$ und $\\sigma^2$ zu kennen.<br \/>\nErwartungswert: $\\mu=E(X) = n\\cdot p = 120\\cdot 1\/3 = 40$<br \/>\nVarianz: $\\sigma^2 = V(X) = n \\cdot p \\cdot (1-p) = 120\\cdot 1\/3 \\cdot (1-1\/3)=26,67$<\/p>\n<p>Dann folgt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nP(X \\leq 48) \\approx \\Phi \\left( \\frac{48+0,5-40}{\\sqrt{26,67}} \\right)<br \/>\n=\\Phi(1,65)=0,9505<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Die Wahrscheinlichkeit betr\u00e4gt ungef\u00e4hr 95,05 %.<\/p>\n<p><strong>2.\u00a0mehr als 30 aber h\u00f6chstens 50 kinderlose Ehepaare?<\/strong><\/p>\n<p>In dieser Aufgabenstellung wird ersichtlich, dass es sich um ein Intervall handelt. Wie wir schon festgestellt haben, k\u00f6nnen wir die Binomialverteilung durch die Normalverteilung approximieren:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nX \\sim B (n,p) \\approx N (\\mu,\\sigma^2)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Den Erwartungswert und die Varianz haben wir bereits ermittelt. Dann folgt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nP(30 &lt; X \\leq 50) &amp;\\approx \\Phi \\left( \\frac{50+0,5-40}{\\sqrt{26,67}} \\right)- \\Phi \\left( \\frac{30-0,5-40}{\\sqrt{26,67}} \\right) \\\\ &amp;= \\Phi(2,03)-\\Phi(-2,03) \\\\ &amp;= \\Phi(2,03)- ( 1- \\Phi(2,03)) \\\\ &amp;= 2\\cdot \\Phi(2,03) &#8211; 1 = 2 \\cdot 0,9788 &#8211; 1 = 0,9576<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 30 aber h\u00f6chstens 50 kinderlose Ehepaare unter allen Ehepaaren befinden betr\u00e4gt ungef\u00e4hr 95,76 %.<\/p>\n<\/div>\n\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Artikel kl\u00e4ren wir alle wichtigen Themen zum Thema &#8222;Spezielle stetige Verteilungen&#8220;. Wir besprechen dabei anhand von Beispielen, Videos und Erkl\u00e4rungen folgende Bereiche: Stetige Zufallsvariablen Verteilungsparameter stetiger Zufallsvariablen Normalverteilung Standardisieren von normalverteilten Zufallsvariablen Wie lese ich \u03a6-Werte ab? 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