{"id":111,"date":"2015-03-25T21:05:45","date_gmt":"2015-03-25T20:05:45","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/mathe\/wp\/?page_id=111"},"modified":"2020-01-29T14:32:32","modified_gmt":"2020-01-29T13:32:32","slug":"hypothesentests","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/hypothesentests\/","title":{"rendered":"Hypothesentest vollst\u00e4ndig erkl\u00e4rt"},"content":{"rendered":"\n<p>Auf diesem Artikel erkl\u00e4ren wir dir das vollst\u00e4ndige Vorgehen beim Hypothesentest. Wir gehen dabei auf folgende Themen &#038; Schritte ein:<\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#einleitung-hypothesentest\">Hypothesentest Einleitung<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#aufstellen-der-hypothese\">Aufstellen der Hypothese<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#testgroesse-stichprobenlaenge\">Testgr\u00f6\u00dfe und Stichprobenl\u00e4nge<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#annahmebereich-ablehnungsbereich\">Entscheidungsregel: Annahme- und Ablehnungsbereich<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#wahrscheinlichkeiten-bestimmen\">Wahrscheinlichkeiten bestimmen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#fehler-beim-testen\">Fehler beim Testen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#alternativtest\">Alternativtest<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#hypothesentest-sigma\">Hypothesentest mit \u03b4-Regeln<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#beidseitiger-hypothesentest\">Beidseitiger Hypothesentest<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#einseitiger-hypothesentest\">Einseitiger Hypothesentest<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#hypothesentest-mit-ablesen\">Hypothesentest mit Ablesen aus Tabelle<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"ad fullwidth lernheft amz\">\r\n    <div class=\"inner\">\r\n        <div class=\"txt\">\r\n            <span class=\"firstline\">12 Aufgaben mit L\u00f6sungen<\/span>\r\n\t\t\t<span class=\"secondline\">PDF download \u2713 vorbereitend aufs Abi\u02c820 \u2713<\/span>\r\n        <\/div>\r\n        <div class=\"btn-container\">\r\n            <a class=\"btn orange\" target=\"_blank\" href=\"%link%\">Aufgabenvorschau<\/a>\r\n        <\/div>\r\n\t\t<div class=\"media\">\r\n            <div class=\"img\">\r\n                <p><a href=\"\" alt=\"Integralrechnung Aufgabensammlung\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/Hypothestentest-Aufgabensammlung.png\" alt=\"Integralrechnung Aufgabensammlung\" title=\"Hypothesentest Aufgabensammlung\"\/><\/a> <\/p>\r\n            <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <div class=\"figure circle\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure circle2\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure square\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure triangle\"><\/div>\r\n   <div class=\"label red\"><p>1,99\u20ac<\/p><\/div>\r\n<\/div>\n<h2 class=\"anchor\" id=\"einleitung-hypothesentest\">Hypothesentest Einleitung<\/h2>\n<p>Hypothesentests werden immer dann durchgef\u00fchrt, wenn man irgendetwas mit Hilfe von erhobenen Daten nachweisen m\u00f6chte, zum Beispiel dass auf dem Oktoberfest die Ma\u00dfkr\u00fcge nicht ganz vollgemacht werden. Der Grundsatz bei allen statistischen Tests ist hierbei, dass wir das Gegenteil widerlegen m\u00fcssen &#8211; wir m\u00fcssen also widerlegen, dass der Ma\u00dfkrug tats\u00e4chlich mit einem Liter gef\u00fcllt ist.<\/p>\n<p>Wir k\u00f6nnen uns diesen Grundsatz mit einer Gerichtsverhandlung vorstellen, denn wie es so sch\u00f6n hei\u00dft: Im Zweifel f\u00fcr den Angeklagten. Man geht davon aus, dass der Angeklagte unschuldig ist (ohne es genau zu wissen). Um von der Schuld des Angeklagten \u00fcberzeugt zu werden, m\u00fcssen ausreichend Beweise gesammelt werden, welche die Schuld ohne Zweifel darlegt. Falls nicht genug Beweise vorliegen, muss davon ausgegangen werden, dass er unschuldig ist. Wir k\u00f6nnen diesen Sachverhalt in statistischen Hypothesen zusammenfassen:<\/p>\n<ul>\n<li>$H_0$: Der Angeklagte ist unschuldig.<\/li>\n<li>$H_1$: Der Angeklagte ist schuldig.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Es stehen sich damit zwei einander widersprechende Behauptungen\/Vermutungen (sog. Hypothesen) gegen\u00fcber.<\/p>\n<p>Die Nullhypothese $H_0$, die gepr\u00fcft werden soll und ihre logische Verneinung, die Alternativ- bzw. Gegenhypothese $H_1$. Die Begriffe sind hierbei so zu verstehen, dass gepr\u00fcft wird, ob $H_1$ bewiesen werden kann, man also bei ergebnisloser Suche weiter $H_0$ als g\u00fcltig erachtet. <\/p>\n<p>Der Hypothesentest dient nun dazu anhand des Ergebnisses einer Stichprobe zu einer Entscheidung dar\u00fcber zu kommen, welche der beiden Hypothesen man eher zu glauben bereit ist oder anders ausgedr\u00fcckt: welche der beiden Hypothesen angenommen (bzw. beibehalten) und welche verworfen wird.<\/p>\n<p>Eine 100%-ige Sicherheit, dass die angenommene Hypothese auch tats\u00e4chlich wahr ist, kann der Hypothesentest naturgem\u00e4\u00df niemals bieten, da wir von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit schlie\u00dfen.<\/p>\n<p>Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten eines solchen Tests benutzt man die Binomialverteilung.<\/p>\n<p>In diesem Abschnitt wollen wir euch eine grobe \u00dcbersicht zum Thema Testen geben. Dabei sei die Aussage: 30% lieben Mathe, welche unsere $H_0$ Hypothese sein soll. Mit Hilfe des Stichprobenumfangs $n=100$ (100 Sch\u00fcler wurden befragt) und der Wahrscheinlichkeit $p=0,3$ kann die Wahrscheinlichkeitsverteilung dargestellt werden. Der h\u00f6chste Wert der Verteilung entspricht dabei immer dem Erwartungswert. <\/p>\n<p>Die folgende Abbildung zeigt uns, welcher Test infolge der Aufgabenstellung durchgef\u00fchrt werden soll und wie die Gegenhypothese $H_1$ lauten muss.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"alignnone wp-image-3051 size-full\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_hypothesentest_uebersicht-e1477551977920.png\" alt=\"Hypothesentest erkl\u00e4rt\" width=\"704\" height=\"407\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_hypothesentest_uebersicht-e1477551977920.png 704w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_hypothesentest_uebersicht-e1477551977920-300x173.png 300w\" sizes=\"(max-width: 704px) 100vw, 704px\" \/><\/p>\n<p>Behauptet jemand etwas anderes, zum Beispiel das 40% Mathe lieben anstatt 30%, wird ein Alternativtest durchgef\u00fchrt. Neben dem Alternativtest gibt es noch den einseitigen Hypothesentest, der links- oder rechtsseitig sein kann und den beidseitigen Hypothesentest.<\/p>\n<p>In den n\u00e4chsten Abschnitten werden wir sehen, wie solche Hypothesen aufgestellt werden, was es mit diesen Fehlern auf sich hat und wie wir Hypothestentests mit $\\sigma$-Regeln und der Tabelle der Normalverteilung durchf\u00fchren.<\/p>\n<div class=\"ad fullwidth lernheft amz\">\r\n    <div class=\"inner\">\r\n        <div class=\"txt\">\r\n            <span class=\"firstline\">12 Aufgaben mit L\u00f6sungen<\/span>\r\n\t\t\t<span class=\"secondline\">PDF download \u2713 vorbereitend aufs Abi\u02c820 \u2713<\/span>\r\n        <\/div>\r\n        <div class=\"btn-container\">\r\n            <a class=\"btn orange\" target=\"_blank\" href=\"%link%\">Aufgabenvorschau<\/a>\r\n        <\/div>\r\n\t\t<div class=\"media\">\r\n            <div class=\"img\">\r\n                <p><a href=\"\" alt=\"Integralrechnung Aufgabensammlung\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/Hypothestentest-Aufgabensammlung.png\" alt=\"Integralrechnung Aufgabensammlung\" title=\"Hypothesentest Aufgabensammlung\"\/><\/a> <\/p>\r\n            <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <div class=\"figure circle\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure circle2\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure square\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure triangle\"><\/div>\r\n   <div class=\"label red\"><p>1,99\u20ac<\/p><\/div>\r\n<\/div>\n<h2 class=\"anchor\" id=\"aufstellen-der-hypothese\">Aufstellen der Hypothesen<\/h2>\n<p>Bevor man einen Hypothesentest durchf\u00fchrt, m\u00fcssen die Hypothesen bestimmt werden.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\" wp-image-3925 size-full aligncenter\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_hypothesen_aufstellen-1024x2021.png\" alt=\"Hypothesentest aufstellen\" width=\"467\" height=\"92\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_hypothesen_aufstellen-1024x2021.png 467w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_hypothesen_aufstellen-1024x2021-300x59.png 300w\" sizes=\"(max-width: 467px) 100vw, 467px\" \/><\/p>\n<p>Woran erkennt man, was die $H_0$-Hypothese und was die $H_1$ Hypothese ist? Merke beim Signifikanztest (gilt nicht f\u00fcr Alternativtest):<\/p>\n<ol>\n<li>In der $H_1$-Hypothese steht niemals ein =, \u2264 oder \u2265.<\/li>\n<li>Wenn in der Aufgabe das Wort h\u00f6chstens (\u2264) auftaucht, dann wissen wir, dass das die $H_0$-Hypothese kennzeichnet und wir einen rechtsseitigen Hypothesentest durchfu \u0308hren.<\/li>\n<li>Wenn in der Aufgabe das Wort mindestens (\u2265) auftaucht, dann wissen wir, dass das die $H_0$-Hypothese kennzeichnet und wir einen linksseitigen Hypothesentest durchf\u00fchren.<\/li>\n<li>Wenn in der Aufgabe das Wort mehr als oder auch gr\u00f6\u00dfer (&gt;) auftaucht, dann wissen wir, dass das die $H_1$-Hypothese kennzeichnet und wir einen rechtsseitigen Hypothesentest durchf\u00fchren.<\/li>\n<li>Wenn in der Aufgabe das Wort weniger als oder auch weniger (&lt;) auftaucht, dann wissen wir, dass das die $H_1$-Hypothese kennzeichnet und wir einen links- seitigen Hypothesentest durchf\u00fchren.<\/li>\n<\/ol>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiel:<\/h3>\n<p>Man m\u00f6chte durch einen Test nachweisen, dass Berufseinsteiger mit Masterabschluss im Durchschnitt mehr verdienen als Berufseinsteiger mit einem Bachelorabschluss. Dazu befragt man 100 Berufseinsteiger nach ihrem Abschluss und Einstiegsgehalt.<\/p>\n<p><strong>Wie lautet die Null- bzw. Alternativhypothese in diesem Fall?<\/strong><\/p>\n<p>L\u00f6sung: <\/p>\n<p>Da wir nachweisen wollen, dass Berufseinsteiger mit Masterabschluss ein h\u00f6heres Einstiegsgehalt haben, muss diese Behauptung in die Alternativhypothese. Die Nullhypothese ist das genaue Gegenteil davon. Solange wir keinen Unterschied im Einkommen nachweisen, m\u00fcssen wir annehmen, dass beide Gruppen dasselbe verdienen:<\/p>\n<ul>\n<li>\u00a0$H_0$: Bachelor- und Masterabsolventen bekommen das gleiche Einstiegsgehalt.<\/li>\n<li>\u00a0$H_1$: Masterabsolventen bekommen ein h\u00f6heres Einstiegsgehalt als Bachelorabsolventen.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Mathematisch formuliert: $H_0: \\ \\mu_M=\\mu_B$ und $H_1: \\ \\mu_M&gt;\\mu_B$ mit $\\mu_M$ bzw. $\\mu_B$ als durchschnittliches Einstiegsgehalt eines Masterstudenten bzw. Bachelorstudenten.<\/p>\n<\/div>\n<p><strong>Schau dir zur Vertiefung Daniels Lernvideo zum Thema Hypothesentest an.<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"&Uuml;bersicht, Testen, Alternativtest, Hypothesentest, einseitig, beidseitig, Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_F4c0EjsDvzo\"><div id=\"lyte_F4c0EjsDvzo\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FF4c0EjsDvzo%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">\u00dcbersicht, Testen, Alternativtest, Hypothesentest, einseitig, beidseitig, Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/F4c0EjsDvzo\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FF4c0EjsDvzo%2F0.jpg\" alt=\"&Uuml;bersicht, Testen, Alternativtest, Hypothesentest, einseitig, beidseitig, Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2 class=\"anchor\" id=\"testgroesse-stichprobenlaenge\">Testgr\u00f6\u00dfe und Stichprobenl\u00e4nge<\/h2>\n<p>Um entscheiden zu k\u00f6nnen, welche der beiden Hypothesen angenommen und welche verworfen werden soll, plant man die Durchf\u00fchrung einer Stichprobe. Das hei\u00dft, man wiederholt das betreffende Zufallsexperiment $n$-mal unabh\u00e4ngig voneinander. Bei einer Umfrage werden zum Beispiel 100 Leute befragt, ob sie Mathe lieben oder nicht. Die Anzahl der Wiederholungen bezeichnet man als L\u00e4nge der Stichprobe.<\/p>\n<p>Das, worauf bei der Durchf\u00fchrung der einzelnen Versuche geachtet wird (also die Anzahl der Eintritte des betreffenden Ereignisses), nennt man die Testgr\u00f6\u00dfe oder Teststatistik. Sie wird manchmal mit $T$, oft auch mit $X$ oder $Z$ abgek\u00fcrzt.<\/p>\n<p>Bei der Stichprobe handelt es sich dabei um eine Bernoulli-Kette. Die Testgr\u00f6\u00dfe ist daher binomialverteilt.<\/p>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiel<\/h3>\n<p>Um einen Test durchzuf\u00fchren beauftragt Herr Jung den mit der Bedienung der Videokamera betrauten Mitarbeiter seines Betriebes bei den n\u00e4chsten 100 von der Kamera gefilmten Lehrvideos darauf zu achten, wie viele davon einen schlechten Ton haben, und ihm das Ergebnis am Ende der Woche mitzuteilen. Was ist in diesem Fall die Stichprobenl\u00e4nge und was ist bei dieser Stichprobe die Testgr\u00f6\u00dfe?<\/p>\n<p>L\u00f6sung: <\/p>\n<p>Die Stichprobe hat die L\u00e4nge $n=100$ und die Testgr\u00f6\u00dfe ist die Anzahl der Videos mit schlechtem Ton unter den 100 Videos der Stichprobe.<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"ad fullwidth lernheft amz\">\r\n    <div class=\"inner\">\r\n        <div class=\"txt\">\r\n            <span class=\"firstline\">12 Aufgaben mit L\u00f6sungen<\/span>\r\n\t\t\t<span class=\"secondline\">PDF download \u2713 vorbereitend aufs Abi\u02c820 \u2713<\/span>\r\n        <\/div>\r\n        <div class=\"btn-container\">\r\n            <a class=\"btn orange\" target=\"_blank\" href=\"%link%\">Aufgabenvorschau<\/a>\r\n        <\/div>\r\n\t\t<div class=\"media\">\r\n            <div class=\"img\">\r\n                <p><a href=\"\" alt=\"Integralrechnung Aufgabensammlung\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/Hypothestentest-Aufgabensammlung.png\" alt=\"Integralrechnung Aufgabensammlung\" title=\"Hypothesentest Aufgabensammlung\"\/><\/a> <\/p>\r\n            <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <div class=\"figure circle\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure circle2\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure square\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure triangle\"><\/div>\r\n   <div class=\"label red\"><p>1,99\u20ac<\/p><\/div>\r\n<\/div>\n<h2 class=\"anchor\" id=\"annahmebereich-ablehnungsbereich\">Entscheidungsregel: Annahme- und Ablehnungsbereich<\/h2>\n<p>Die Hypothesen sind aufgestellt, die Stichprobe ist durchgef\u00fchrt und wir haben die Testgr\u00f6\u00dfe festgelegt. Um zu einer endg\u00fcltigen Entscheidung zu kommen, legen wir einen Annahme- und Ablehnungsbereich fest. Abh\u00e4ngig vom Wert, den die Testgr\u00f6\u00dfe in der Stichprobe annimmt, wird man die Richtigkeit der einen bzw. der anderen der beiden Hypothesen annehmen.<\/p>\n<p>Der Annahmebereich $A$ umfasst also die Werte zwischen $0$ und $n$, bei denen $H_0$ angenommen werden soll. Im Gegensatz dazu umfasst der Ablehnungsbereich $\\bar{A}$ die anderen Werte, bei denen $H_0$ abgelehnt bzw. verworfen werden soll.<\/p>\n<p>Wenn von <strong>Entscheidungsregel aufstellen<\/strong> gesprochen wird, sollen f\u00fcr eine der beiden Hypothesen &#8211; \u00fcblicherweise f\u00fcr die Nullhypothese &#8211; Annahme- und Ablehnungsbereich festgelegt werden. Die Entscheidungsregel sollte nicht willk\u00fcrlich oder nach Gef\u00fchl aufgestellt werden. Denn dann kann es passieren, dass Hypothesen zu leicht angenommen oder abgelehnt werden, was die Aussagekraft des Tests verschlechtert. Daher wird vorher ein Signifikanzniveau $\\alpha$ festgelegt, dass die Aussagekraft des Tests sichert. <\/p>\n<p>Die folgende Abbildung zeigt uns, wie die Ablehnungs- und Annahmebereiche bei den verschiedenen Testarten aussehen. F\u00fcr den Ablehnungsbereich bestimmt man zun\u00e4chst immer den kritischen Wert $k$, der in der Regel abh\u00e4ngig von $\\alpha$ ist und gibt dann die Bereiche an. Wie dieser kritische Wert berechnet werden kann, sehen wir in den Kapiteln zu den jeweiligen Testarten.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"alignnone wp-image-3674 size-medium\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_ablehnungsbereich_uebersicht-1024x910-Kopie-300x267.png\" alt=\"Ablehnungs- und Annahmebereiche bei verschiedenen Testarten\" width=\"300\" height=\"267\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_ablehnungsbereich_uebersicht-1024x910-Kopie-300x267.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_ablehnungsbereich_uebersicht-1024x910-Kopie.png 380w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/p>\n<p><strong>Achtung<\/strong>: Kommazahlenproblem, runde ich auf oder ab?<\/p>\n<p>Man rundet bei beidseitigen Tests immer nach innen, man spricht auch vom <em>Runden zur sicheren Seite<\/em>, z.B. $k_l=54,48$ und $k_r=78,92$: $A=[55;78]$. Bei einseitigen Tests muss man darauf achten, ob links- oder rechtsseitig. Zum Beispiel folgt bei einem linksseitigen Test mit $k=9,18$ oder $k=9,88$ der Annahmebereich $A=[10;n]$.<\/p>\n<h2 class=\"anchor\" id=\"wahrscheinlichkeiten-bestimmen\">Wahrscheinlichkeiten bestimmen<\/h2>\n<p>Beim Testen von Hypothesen m\u00f6chte man von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit schlie\u00dfen. Aus diesem Grund sollte die Stichprobe m\u00f6glichst gro\u00df gew\u00e4hlt sein, um eine gute Aussage treffen zu k\u00f6nnen. Da die Testgr\u00f6\u00dfen binomialverteilt sind, m\u00fcssen wir zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten auf die Binomialverteilung zur\u00fcckgreifen. <\/p>\n<p>Zur Erinnerung:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nP(X \\leq k)= \\sum_{i=0}^k \\left( \\begin {array} {c} n\\\\ i \\end{array} \\right) \\cdot p^ i \\cdot (1-p)^{n-i}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>F\u00fcr gro\u00dfe Werte von $k$ (typisch bei Hypothesentests) sollte man die Wahrscheinlichkeit nicht mehr per Hand rechnen. Hier lernt ihr zwei M\u00f6glichkeiten kennen, wie ihr leicht die jeweiligen Werte bestimmen k\u00f6nnt.<\/p>\n<h3>Ablesen aus der $F$-Tabelle<\/h3>\n<p>Eine einfache M\u00f6glichkeit, wenn man keinen GTR\/CAS zur Hand hat oder einfach schneller sein will, ist das Ablesen aus der $F$-Tabelle. Diese Tabelle gibt die aufsummierten Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung von 0 bis $k$ f\u00fcr verschiedene $n$ und $p$ an und sollte in der Klausur gegeben sein. Es gibt auch eine $B$-Tabelle der Binomialverteilung, die die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr genau $k$ Treffer angibt.<\/p>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiel:<\/h3>\n<p>Wird die Wahrscheinlichkeit von $P(X\\leq 2)$ mit $n=10$ und $p=0,1$ gesucht, schreiben wir das erstmal in die Form $F(n;p;k)$, also hier $F(10;0,1;2)$ und suchen uns dann die passende $F$-Tabelle f\u00fcr $n=10$ raus. Einen Ausschnitt dieser Tabelle und wie man dann auf den richtigen Wert kommt, seht ihr in der folgenden Abbildung.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3065\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_ablesen_ftabelle-1024x369.png\" alt=\"Ablesen aus der F-Tabelle\" width=\"647\" height=\"233\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_ablesen_ftabelle-1024x369.png 1024w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_ablesen_ftabelle-300x108.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_ablesen_ftabelle-768x276.png 768w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_ablesen_ftabelle.png 1653w\" sizes=\"(max-width: 647px) 100vw, 647px\" \/><\/p>\n<p><strong>Wichtig<\/strong>: Die gesuchte Wahrscheinlichkeit muss immer auf die Form $\\leq$ gebracht werden! Bevor ihr also den Wert f\u00fcr [\/latex]\\geq[\/latex] oder $&gt;$ ablesen k\u00f6nnt, m\u00fcsst ihr das umschreiben, z.B.:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nP(X\\geq 2)=1-P(X\\leq 1) \\quad \\textrm{oder} \\quad P(X &gt; 2)=1-P(X\\leq 2)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>Berechnung mit dem GTR\/CAS<\/strong><\/p>\n<p>Wenn ihr mit dem GTR\/CAS arbeitet, braucht ihr nur den Befehl: binomcdf$(n,p,k)$! Dieser Befehl berechnet die kumulierten (aufsummierten) Wahrscheinlichkeiten der Binomalverteilung und gibt euch direkt die gesuchte Wahrscheinlichkeit an. F\u00fcr das Beispiel von oben mit $P(X\\leq 2)$, $n=10$ und $p=0,1$ bekommt ihr mit dem Befehl \\texttt{binomcdf}$(10;0,1;2)$ direkt den gesuchten Wert.<\/p>\n<\/div><br \/>\n<div class=\"ad fullwidth lernheft amz\">\r\n    <div class=\"inner\">\r\n        <div class=\"txt\">\r\n            <span class=\"firstline\">12 Aufgaben mit L\u00f6sungen<\/span>\r\n\t\t\t<span class=\"secondline\">PDF download \u2713 vorbereitend aufs Abi\u02c820 \u2713<\/span>\r\n        <\/div>\r\n        <div class=\"btn-container\">\r\n            <a class=\"btn orange\" target=\"_blank\" href=\"%link%\">Aufgabenvorschau<\/a>\r\n        <\/div>\r\n\t\t<div class=\"media\">\r\n            <div class=\"img\">\r\n                <p><a href=\"\" alt=\"Integralrechnung Aufgabensammlung\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/Hypothestentest-Aufgabensammlung.png\" alt=\"Integralrechnung Aufgabensammlung\" title=\"Hypothesentest Aufgabensammlung\"\/><\/a> <\/p>\r\n            <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <div class=\"figure circle\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure circle2\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure square\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure triangle\"><\/div>\r\n   <div class=\"label red\"><p>1,99\u20ac<\/p><\/div>\r\n<\/div><\/p>\n<h2 class=\"anchor\" id=\"fehler-beim-testen\">Fehler beim Testen<\/h2>\n<p>Eine Hypothese kann nie mit absoluter Sicherheit best\u00e4tigt bzw. widerlegt werden, sondern immer nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit. Das bedeutet, dass jede Entscheidung, die wir basierend auf einer Hypothese treffen, falsch sein kann. Meistens ist der Fehler der, dass wir vorschnell unsere Schlussfolgerung getroffen haben, oder dass wir unvollst\u00e4ndige Informationen aus unserer Stichprobe benutzt haben, um damit eine allgemeine Aussage \u00fcber die Gesamtheit zu treffen.<\/p>\n<p>Denken wir daf\u00fcr nochmal an das Beispiel mit dem Angeklagten, der schuldig oder unschuldig sein kann. Das Verurteilen eines Unschuldigen ist ein Fehler 1. Art und das Freisprechen eines Schuldigen ein Fehler 2. Art.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\" wp-image-3923 size-full aligncenter\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_hypothesentest_fehler1.png\" alt=\"Hypothesentest Fehler\" width=\"350\" height=\"124\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_hypothesentest_fehler1.png 350w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_hypothesentest_fehler1-300x106.png 300w\" sizes=\"(max-width: 350px) 100vw, 350px\" \/><\/p>\n<p>Die obige Tabelle zeigt, dass 4 F\u00e4lle auftreten k\u00f6nnen:<\/p>\n<p><strong>a) Wir lehnen $H_0$ ab, also nehmen $H_1$ an.<\/strong><\/p>\n<p>1. In Wirklichkeit stimmt $H_0$: Hier wird $H_0$ f\u00e4lschlicherweise abgelehnt. Dieser Fehler wird <strong>Fehler 1. Art<\/strong> genannt bzw. $\\alpha$-Fehler und beschreibt die Irrtumswahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit einen Fehler 1. Art zu begehen hei\u00dft <strong>Signifikanzniveau<\/strong> oder Irrtumswahrscheinlichkeit $\\alpha$.<br \/>\n2. In Wirklichkeit stimmt $H_1$, also $H_0$ ist falsch: Alles ist in Ordnung, denn $H_1$ wird angenommen und stimmt tats\u00e4chlich. Man spricht von Sicherheit 2. Art.<\/p>\n<p><strong>b) Wir nehmen $H_0$ an.<\/strong><\/p>\n<p>3. In Wirklichkeit stimmt $H_0$: Alles ist in Ordnung, denn $H_0$ wird angenommen und stimmt tats\u00e4chlich. Man spricht von Sicherheit 1. Art.<br \/>\n4. In Wirklichkeit stimmt $H_1$, also $H_0$ ist falsch: Unsere Vermutung ist wahr (d.h. $H_1$, die wir ja nachweisen m\u00f6chten, stimmt), aber durch den Test konnte sie nicht best\u00e4tigt werden, da wir $H_0$ annehmen. Dieser Fehler wird als <strong>Fehler 2. Art<\/strong> bzw. $\\beta$-Fehler bezeichnet. Diese Wahrscheinlichkeit k\u00f6nnen wir nicht kontrollieren, sie ist abh\u00e4ngig von der Art des Tests und des Signifikanzniveaus $\\alpha$.<\/p>\n<p>Man muss sich vor Durchf\u00fchrung des Tests auf ein Signifikanzniveau $\\alpha$ festlegen, das die maximale Wahrscheinlichkeit festlegt, mit der uns so ein Fehler 1. Art passieren darf. Je sicherer wir mit unserer Entscheidung sein wollen, desto niedriger muss diese Fehlerwahrscheinlichkeit gew\u00e4hlt werden. In den allermeisten F\u00e4llen, sowohl in der Praxis als auch in Klausuren, ist dieser Wert festgelegt als $\\alpha=5$%.<\/p>\n<p>Im Gegensatz zum Fehler 1. Art, l\u00e4sst sich die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr den Fehler 2. Art in der Regel nicht einfach berechnen. Man kann diesen ausschlie\u00dflich berechnen, wenn man f\u00fcr die Alternativhypothese eine andere Wahrscheinlichkeit als f\u00fcr $H_0$ annimmt.<\/p>\n<p>Im Allgemeinen gilt: Je kleiner die Wahrscheinlichkeiten f\u00fcr einen Fehler der 1. und 2. Art, desto besser.<\/p>\n<p><strong>Wichtig<\/strong>: Man kann $H_0$ nie beweisen, sondern nur $H_1$. Aus diesem Grund ist es wichtig, dass man die Hypothesen richtig herum formuliert: Der Fall, den man nachweisen m\u00f6chte, kommt in die Alternativhypothese. Die Metapher mit der Gerichtsverhandlung ist eine hilfreiche Eselsbr\u00fccke, um sich an dieses Vorgehen zu erinnern.<\/p>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiel:<\/h3>\n<p>In einer Fabrik packt eine Maschine jeweils 100g Schokolade ab.<\/p>\n<ul>\n<li>$H_0$: $\\mu = 100$g (die Maschine arbeitet korrekt)<\/li>\n<li>$H_1$: $\\mu \\neq 100$g (die Maschine arbeitet nicht korrekt)<\/li>\n<\/ul>\n<p>wobei $\\mu$ das durchschnittliche Gewicht der Packungen ist.<\/p>\n<p><strong>Betrachten wir nun, welche Fehler bei unseren Hypothesen auftreten k\u00f6nnen.<\/strong><\/p>\n<p>1) Bei einem Fehler 1. Art, wird die Nullhypothese ($H_0$) abgelehnt, trotz der Tatsache, dass sie stimmt. F\u00fcr unser Beispiel w\u00fcrde dies bedeuten, dass die Maschine zwar korrekt arbeiten w\u00fcrde (daher $\\mu = 100$g), wir in unserer Stichprobe feststellen w\u00fcrden, dass das Durchschnittsgewicht $\\mu \\neq 100$g ist.<\/p>\n<p>2) >Beim Fehler 2. Art passiert genau das Gegenteil: die Maschine arbeitet nicht korrekt, sie packt also nicht ein Durchschnittsgewicht von 100g Schokolade ab, unsere Stichprobe zeigt dies allerdings nicht an. Laut ihr arbeitet die Maschine korrekt.<\/p>\n<p>Wir k\u00f6nnen nat\u00fcrlich auch eine richtige Entscheidung gem\u00e4\u00df unserer Stichprobe f\u00e4llen.<\/p>\n<p><strong>Was passiert aber, wenn unsere Stichprobe aussagt, dass unsere Nullhypothese falsch sei, weil $\\mu \\neq 100$g ist? Wie wirkt sich das auf den Fehler aus, wenn das Durchschnittsgewicht tats\u00e4chlich 100g ist und wenn es nicht 100g ist?<\/strong><\/p>\n<p>1) Wenn $\\mu = 100$g ist, ist die Nullhypothese wahr. Lehnen wir sie ab, begehen wir einen Fehler 1. Art.<\/p>\n<p>2) Wenn $\\mu\\neq 100$g ist, ist die Nullhypothese falsch. Wenn wir sie ablehnen, treffen wir die richtige Entscheidung.<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Alpha-\/Beta-Fehler, Fehler 1.\/2.Art, Testen, Stochastik, Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_h0nzc-SApFk\"><div id=\"lyte_h0nzc-SApFk\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Fh0nzc-SApFk%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Alpha-\/Beta-Fehler, Fehler 1.\/2.Art, Testen, Stochastik, Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/h0nzc-SApFk\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Fh0nzc-SApFk%2F0.jpg\" alt=\"Alpha-\/Beta-Fehler, Fehler 1.\/2.Art, Testen, Stochastik, Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2 class=\"anchor\" id=\"alternativtest\">Alternativtest<\/h2>\n<p>Wie wir bereits in der \u00dcbersicht kennengelernt haben, gibt es neben den einseitigen und beidseitigen Hypothesentests auch einen Alternativtest. Charakteristisch ist, dass nicht gesagt wird, dass die Nullhypothese sich verringert, erh\u00f6ht oder ver\u00e4ndert hat, sondern, dass eine alternative Aussage gegeben ist. Um das zu verstehen, schauen wir uns das an einem Beispiel an.<\/p>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiel:<\/h3>\n<p>Frau Wanka sagt, dass 10% aller Sch\u00fcler mit Videos lernen. Daniel ist anderer Meinung und behauptet, dass 30% aller Sch\u00fcler mit Videos lernen. Sie beschlie\u00dfen, dass wenn mindestens 3 Sch\u00fcler mit Videos lernen, die Hypothese von Daniel stimmt. <\/p>\n<p>Am Nachmittag f\u00e4hrt Daniel in die Remscheider City und fragt 10 Sch\u00fcler, ob sie mit Videos lernen.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\" wp-image-3921 size-full aligncenter\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_alternativtest1.png\" alt=\"Alternativtest\" width=\"497\" height=\"230\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_alternativtest1.png 497w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_alternativtest1-300x139.png 300w\" sizes=\"(max-width: 497px) 100vw, 497px\" \/><\/p>\n<p>Schreiben wir uns diese Informationen mal auf:<\/p>\n<ul>\n<li>Nullhypothese $H_0:\\ p_0=0,1$ und Alternativhypothese $H_1:\\ p_1=0,3$<\/li>\n<li>Testgr\u00f6\u00dfe $X$: Anzahl der Videolerner; Stichprobe: $n=10$<\/li>\n<li>Annahmebereich: $A=[0;1;2]$, Ablehnungsbereich: $\\bar{A}=[3;4;5;6;7;8;9;10]$<\/li>\n<\/ul>\n<p>Der Fehler 1. Art wird im Ablehnungsbereich von $H_0$ bestimmt mit der Wahrscheinlichkeit von $H_0$. Die Wahrscheinlichkeit betr\u00e4gt 7%, dass $H_0$ abgelehnt wird, obwohl $H_0$ tats\u00e4chlich stimmt. <\/p>\n<p>Der Fehler 2. Art wird im Annahmebereich von $H_0$ bestimmt mit der Wahrscheinlichkeit von $H_1$. Mit einer 38,3%-igen Wahrscheinlichkeit entscheiden wir uns f\u00fcr $H_0$, obwohl $H_1$ in Wirklichkeit stimmt.<\/p>\n<\/div><br \/>\n<div class=\"ad fullwidth lernheft amz\">\r\n    <div class=\"inner\">\r\n        <div class=\"txt\">\r\n            <span class=\"firstline\">12 Aufgaben mit L\u00f6sungen<\/span>\r\n\t\t\t<span class=\"secondline\">PDF download \u2713 vorbereitend aufs Abi\u02c820 \u2713<\/span>\r\n        <\/div>\r\n        <div class=\"btn-container\">\r\n            <a class=\"btn orange\" target=\"_blank\" href=\"%link%\">Aufgabenvorschau<\/a>\r\n        <\/div>\r\n\t\t<div class=\"media\">\r\n            <div class=\"img\">\r\n                <p><a href=\"\" alt=\"Integralrechnung Aufgabensammlung\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/Hypothestentest-Aufgabensammlung.png\" alt=\"Integralrechnung Aufgabensammlung\" title=\"Hypothesentest Aufgabensammlung\"\/><\/a> <\/p>\r\n            <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <div class=\"figure circle\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure circle2\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure square\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure triangle\"><\/div>\r\n   <div class=\"label red\"><p>1,99\u20ac<\/p><\/div>\r\n<\/div><\/p>\n<h2 class=\"anchor\" id=\"hypothesentest-sigma\">Hypothesentest mit \u03b4-Regeln<\/h2>\n<p>Die $\\sigma$-Regeln beziehen sich auf die Standardnormalverteilung. Sie geben an, wie viel Prozent der Fl\u00e4che unter der Glockenkurve im Bereich von 1, 2 oder 3 Standardabweichungen links und rechts vom Mittelwert liegt.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3919 size-full\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_normal31.png\" alt=\"Hypothesentest mit Sigmaregel\" width=\"397\" height=\"321\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_normal31.png 397w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_normal31-300x243.png 300w\" sizes=\"(max-width: 397px) 100vw, 397px\" \/><\/p>\n<p>Ungef\u00e4hr 68% der Werte liegen innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert. Ebenso liegen ungef\u00e4hr 95% der Werte innerhalb von zwei Standabweichungen vom Mittelwert. Und ca. 99,7% der Werte befinden sich innerhalb von drei Standardabweichungen vom Mittelwert.<\/p>\n<p>Die Standardabweichung bei der Binomialverteilung berechnet sich wie folgt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nX \\sim B(n;p): \\quad \\sigma=\\sqrt{n\\cdot p \\cdot (1-p)}.<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>Was hat man davon?<\/strong><\/p>\n<p>Ist die Streuung gro\u00df genug (Laplace-Bedingung: $\\sigma &gt; 3$), so l\u00e4sst sich die entsprechende Binomialverteilung brauchbar durch die Normalverteilung ann\u00e4hern und wir d\u00fcrfen f\u00fcr den Ablehnungs- und Annahmebereich die $\\sigma$-Umgebung verwenden.<\/p>\n<h3>Vorgehensweise:<\/h3>\n<ul>\n<li>Hypothesen $H_0$ und $H_1$ aufstellen.<\/li>\n<li>Entscheiden, ob eins- oder zweiseitiger Hypothesentest vorliegt.<\/li>\n<\/ul>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3928 size-full\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_entscheidung_testprpoblematik1.png\" alt=\"Entscheidung Testproblematik Hypothesentest\" width=\"438\" height=\"74\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_entscheidung_testprpoblematik1.png 438w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_entscheidung_testprpoblematik1-300x51.png 300w\" sizes=\"(max-width: 438px) 100vw, 438px\" \/><\/p>\n<ul>\n<li>Erwartungswert berechnen: $\\mu= n\\cdot p$<\/li>\n<li>Standardabweichung berechnen: $\\sigma=\\sqrt{n\\cdot p \\cdot (1-p)}$<\/li>\n<li>Vorgegebene Irrtumswahrscheinlichkeit beachten.<\/li>\n<\/ul>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3927 size-full\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_irrtumswahrscheinlichkeit1.png\" alt=\"Irrtumswahrscheinlichkeit Hypothesentest\" width=\"250\" height=\"49\" \/><\/p>\n<ul>\n<li>Entscheidungsregel aufstellen: Annahme- ($A$) und Ablehnungsbereich ($\\overline{A}$) mit der $\\sigma$-Regel bestimmen<\/li>\n<\/ul>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\textrm{Zweiseitiger Test:} \\quad &amp; A=\\left[ \\mu &#8211; z_{\\frac{\\alpha}{2}} \\cdot \\sigma; \\ \\mu + z_{\\frac{\\alpha}{2}} \\cdot \\sigma \\right] \\\\<br \/>\n\\textrm{Linksseitiger Test:} \\quad &amp; \\overline{A}=\\left[ 0; \\ \\mu &#8211; z_{\\alpha} \\cdot \\sigma \\right] \\\\<br \/>\n\\textrm{Rechtsseitiger Test:} \\quad &amp; \\overline{A}=\\left[ \\mu + z_{\\alpha} \\cdot \\sigma; \\ n \\right]<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>In der Entscheidungsregel werden durch Vorgabe eines Signifikanzniveaus Ablehnungsbereich und Annahmebereich festgelegt. Das Signifikanzniveau ist dabei die Gegenwahrscheinlichkeit zur Sicherheitswahrscheinlichkeit.<\/p>\n<ul>\n<li>Testentscheidung anhand der gegebenen Stichprobe $n$.<\/li>\n<li>Fehler 1. Art berechnen und im Sachzusammenhang beschreiben.<\/li>\n<li>Fehler 2. Art berechnen und im Sachzusammenhang beschreiben.<\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"ad fullwidth lernheft amz\">\r\n    <div class=\"inner\">\r\n        <div class=\"txt\">\r\n            <span class=\"firstline\">12 Aufgaben mit L\u00f6sungen<\/span>\r\n\t\t\t<span class=\"secondline\">PDF download \u2713 vorbereitend aufs Abi\u02c820 \u2713<\/span>\r\n        <\/div>\r\n        <div class=\"btn-container\">\r\n            <a class=\"btn orange\" target=\"_blank\" href=\"%link%\">Aufgabenvorschau<\/a>\r\n        <\/div>\r\n\t\t<div class=\"media\">\r\n            <div class=\"img\">\r\n                <p><a href=\"\" alt=\"Integralrechnung Aufgabensammlung\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/Hypothestentest-Aufgabensammlung.png\" alt=\"Integralrechnung Aufgabensammlung\" title=\"Hypothesentest Aufgabensammlung\"\/><\/a> <\/p>\r\n            <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <div class=\"figure circle\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure circle2\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure square\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure triangle\"><\/div>\r\n   <div class=\"label red\"><p>1,99\u20ac<\/p><\/div>\r\n<\/div>\n<h2 class=\"anchor\" id=\"beidseitiger-hypothesentest\">Beidseitiger\u00a0Hypothesentest:<\/h2>\n<p>Beim zwei- bzw. beidsetigen Hypothesentest lauten die Hypothesen allgemein<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nH_0:~p=p_0; \\quad H_1: ~p \\neq p_0.<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<div class=\"box info\">\n<p><strong>Wichtig<\/strong>: Bei einem beidseitigen Hypothesentest werden sowohl die linke als auch die rechte Seite hinsichtlich des Ablehnungsbereichs betrachtet. Wenn in Summe 10% abgelehnt werden sollen, m\u00fcssen diese Prozente auf den linken und rechten Bereich aufgeteilt werden. Was das bedeutet sehen wir im folgenden Beispiel, wenn das Signifikanzniveau $\\alpha=5$% lauten w\u00fcrde.<\/p>\n<\/div>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3088\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_htest_beidseitig-1024x406.png\" alt=\"Beidseitiger Hypothesentest\" width=\"582\" height=\"231\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_htest_beidseitig-1024x406.png 1024w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_htest_beidseitig-300x119.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_htest_beidseitig-768x304.png 768w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_htest_beidseitig.png 1670w\" sizes=\"(max-width: 582px) 100vw, 582px\" \/><\/p>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiel\u00a0zum beidseitigen Hypothesentest:<\/h3>\n<p>Es werden Fu\u00dfballfans in einer Stadt betrachtet. Dabei machen 20% die Fans einer Mannschaft A aus B. Wir nehmen nun eine Stichprobe von 158 Fu\u00dfballfans (Signifikanzniveau: 5%).<br \/>\nIn der Stichprobe befinden sich 43 Fu\u00dfballfans der Mannschaft A und 115 der Mannschaft B. <\/p>\n<p><strong>Kann $H_0$ verworfen werden?<\/strong><\/p>\n<p><strong>Berechne zudem die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr den Fehler 1. und 2. Art, wenn der tats\u00e4chliche Anteil der Fu\u00dfballfans 30% betr\u00e4gt.<\/strong><\/p>\n<p>Wir arbeiten hierf\u00fcr das allgemeine Vorgehen ab:<\/p>\n<ul>\n<li>Man stellt zun\u00e4chst Hypothesen auf.<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\nH_0:~ p =0,2;~ H_1:~ p \\neq 0,2<br \/>\n\\end{align*}<\/li>\n<li>Wir erkennen, dass es sich hierbei um einen zweiseitigen Hypothesentest handelt.<\/li>\n<li>Erwartungswert\/Punktsch\u00e4tzung berechnen:<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\mu=n\\cdot p = 158\\cdot 0,2= 31,6<br \/>\n\\end{align*}<\/li>\n<li>Standardabweichung berechnen und Laplace-Bedingung pr\u00fcfen:<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\sigma=\\sqrt{n\\cdot p \\cdot (1-p)}= \\sqrt{158 \\cdot 0,2 \\cdot (1-0,2)}=5,03 &gt; 3 \\quad<br \/>\n\\end{align*}<\/li>\n<li>Vorgegebenes Signifikanzniveau beachten:\n<ul>\n<li>$\\alpha=0,05$ als Irrtumswahrscheinlichkeit<\/li>\n<li>$1-\\alpha=0,95$ als Sicherheitswahrscheinlichkeit<\/li>\n<li>$z_{\\frac{\\alpha}{2}}$, da ein zweiseitiger Hypothesentest vorliegt<\/li>\n<\/ul>\n<p>Diesen Wert k\u00f6nnen wir in den Quantilen der Standardnormalverteilung ablesen.<\/li>\n<li>Annahme- und Ablehnungsbereich mit den $\\sigma$-Regeln bestimmen:<br \/>\n\\begin{align*}A=\\left[ \\mu &#8211; z_{\\frac{\\alpha}{2}} \\cdot \\sigma, \\mu + z_{\\frac{\\alpha}{2}} \\cdot \\sigma \\right]\\end{align*}mit $\\sigma=5,03$, $\\mu=31,6$ und $z_{\\frac{\\alpha}{2}}=1,96$ folgt\\begin{align*}A= \\left[ 31,6 &#8211; 1,96 \\cdot 5,03; \\ 31,6 + 1,96 \\cdot 5,03 \\right] = \\left[ 22; 41 \\right].\\end{align*}Der Ablehnungsbereich lautet demnach $\\overline{A}= \\left[ 0; 21 \\right] \\cup \\left[ 42; 158 \\right]$.<\/li>\n<li>Entscheidungsregel aufstellen:<br \/>\n$H_0$ wird verworfen, wenn h\u00f6chstens 21 oder mindestens 42 Personen Fu\u00dfballfans der Mannschaft A sind. Graphisch k\u00f6nnen wir uns die Entscheidungsregel auch folgenderma\u00dfen vorstellen.<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-423 size-medium\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_hypo1-300x87.png\" alt=\"Stichprobe Hypothesentest\" width=\"300\" height=\"87\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_hypo1-300x87.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_hypo1.png 655w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/li>\n<li>Testentscheidung anhand der gegebenen Stichprobe $n$: In der Aufgabe steht, dass sich in der Stichprobe 43 Fu\u00dfballfans befinden, was bedeutet, dass dieser Wert nicht in den Annahmebereich f\u00e4llt, sondern in den Ablehnungsbereich, der sich rechts und links des Annahmebereichs $[22;41]$ befindet.<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-424 size-medium\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_hypo2-300x97.png\" alt=\"Testentscheidung Stichprobe Hypothesentest\" width=\"300\" height=\"97\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_hypo2-300x97.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_hypo2.png 632w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/>Die Stichprobe liefert das Ergebnis, dass $H_0$ verworfen werden kann, da 43 Fu\u00dfballfans der Mannschaft A im Ablehnungsbereich liegt.<\/li>\n<li>Fehler 1. Art und 2. Art: Jemand behauptet, dass der tats\u00e4chliche Anteil Fu\u00dfball Fans bei 30% liegt, also liegt hier ein Alternativtest vor und wir k\u00f6nnen den Fehler 1. und 2. Art berechnen. Im Sachzusammenhang beschreibt der Fehler 1. Art die Wahrscheinlichkeit, dass die Hypothese \u201e20% der Fu\u00dfballfans sind Anh\u00e4nger von Mannschaft A&#8220; verworfen wird, obwohl sie richtig ist. Diese war im Aufgabentext gegeben und betr\u00e4gt $\\alpha=5$%.Der Fehler 2. Art bedeutet, dass eine Hypothese angenommen wird obwohl diese falsch ist. Die Berechnung erfolgt \u00fcber\\begin{align*}P(22 \\leq X \\leq 41)=F(158;0,3;41)- F(158;0,3;21)\\end{align*}und kann mit dem Taschenrechner oder mit der Tabelle gel\u00f6st werden. Da es keine Tabelle f\u00fcr $n=158$ gibt und die Laplace-Bedingung erf\u00fcllt ist, k\u00f6nnen wir die Binomialverteilung durch die Normalverteilung approximieren. Da eine Approximation von der Binomialverteilung (diskret) zur Normalverteilung (stetig) vorliegt, m\u00fcssen Stetigkeitskorrekturen beachtet werden. Es folgt:\\begin{align*}P(a \\leq X \\leq b) &amp;\\approx \\Phi \\left( \\frac{b+0,5-np}{\\sqrt{np(1-p)}} \\right)- \\Phi \\left( \\frac{a-0,5-np}{\\sqrt{np(1-p)}} \\right) \\\\ \\\\\\Rightarrow \\quad P(22 \\leq X \\leq 41) &amp;\\approx \\Phi \\left( \\frac{41+0,5-47,4}{\\sqrt{5,76}} \\right) &#8211; \\Phi \\left( \\frac{22-0,5-47,4}{\\sqrt{5,76}} \\right) \\\\ \\\\&amp;= \\Phi(-1,02)-\\Phi(-4,5) \\\\&amp;= 1- \\Phi(1,02)- ( 1 &#8211; \\Phi(4,5)) \\\\&amp;=0,1539 \\approx 15,39\\%\\end{align*}Zu 15,39% wird die $H_0$ Hypothese angenommen, obwohl diese falsch ist. Das hei\u00dft, dass zu 15,39% angenommen wird, dass der Anteil der Fu\u00dfballfans 20% betr\u00e4gt, obwohl dies nicht der Wahrheit entspricht.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<div class=\"ad fullwidth lernheft amz\">\r\n    <div class=\"inner\">\r\n        <div class=\"txt\">\r\n            <span class=\"firstline\">12 Aufgaben mit L\u00f6sungen<\/span>\r\n\t\t\t<span class=\"secondline\">PDF download \u2713 vorbereitend aufs Abi\u02c820 \u2713<\/span>\r\n        <\/div>\r\n        <div class=\"btn-container\">\r\n            <a class=\"btn orange\" target=\"_blank\" href=\"%link%\">Aufgabenvorschau<\/a>\r\n        <\/div>\r\n\t\t<div class=\"media\">\r\n            <div class=\"img\">\r\n                <p><a href=\"\" alt=\"Integralrechnung Aufgabensammlung\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/Hypothestentest-Aufgabensammlung.png\" alt=\"Integralrechnung Aufgabensammlung\" title=\"Hypothesentest Aufgabensammlung\"\/><\/a> <\/p>\r\n            <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <div class=\"figure circle\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure circle2\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure square\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure triangle\"><\/div>\r\n   <div class=\"label red\"><p>1,99\u20ac<\/p><\/div>\r\n<\/div>\n<h2 class=\"anchor\" id=\"einseitiger-hypothesentest\">Einseitiger Hypothesentest<\/h2>\n<p>Wenn es bei einem Hypothesentest lediglich darum geht, ob sich die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in eine Richtung ge\u00e4ndert hat, handelt es sich um einen einseitigen Hypothesentest.<\/p>\n<p>Wenn man vermutet, dass die Wahrscheinlichkeit kleiner ist als bislang angenommen, spricht man von einem linksseitigen Hypothesentest bzw. Signifikanztest.<br \/>\nVermutet man eine gr\u00f6\u00dfere Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, spricht man von einem rechtsseitigen Signifikanztest.<\/p>\n<h3>Linksseitiger Hypothesentest<\/h3>\n<p>Bei einem linksseitigen Hypothesentest sprechen kleine Werte der Zufallsvariablen gegen die Hypothese, also Werte, die links auf dem Zahlenstrahl bzw. links vom Erwartungswert liegen.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3091\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_htest_linksseitig-1024x405.png\" alt=\"Linksseitiger Hypothesentest\" width=\"546\" height=\"216\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_htest_linksseitig-1024x405.png 1024w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_htest_linksseitig-300x119.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_htest_linksseitig-768x304.png 768w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_htest_linksseitig.png 1617w\" sizes=\"(max-width: 546px) 100vw, 546px\" \/><\/p>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiel\u00a0zum linksseitigen Hypothesentest:<\/h3>\n<p>Bei der letzten Wahl hat ein Kandidat 40% der abgegebenen Stimmen erhalten. Um zu pr\u00fcfen, ob er seinen Stimmenanteil zumindest gehalten hat, wird einige Zeit vor der n\u00e4chsten Wahl eine Umfrage durchgef\u00fchrt. Von 100 Personen geben nur 34 an, dass sie diesen Kandidaten w\u00e4hlen werden. Kann man hieraus mit der Irrtumswahrscheinlichkeit 5% schlie\u00dfen, dass der Stimmenanteil des Kandidaten gesunken ist?<\/p>\n<ul>\n<li>Hypothesen aufstellen:<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\nH_0:~ p \\geq 0,4; ~ H_1: p &lt; 0,4<br \/>\n\\end{align*}<br \/>\nText genau lesen! \u201cmindestens 40% der Stimmen erhalten&#8230;\u201d Das w\u00e4re gut und ist daher unsere Nullhypothese.<\/li>\n<li>Wir erkennen, dass es sich hierbei um einen einseitigen Hypothesentest handelt.Linksseitiger Hypothesentest, da sehr kleine Werte gegen $H_0$ sprechen.<\/li>\n<li>Erwartungswert\/Punktsch\u00e4tzung berechnen:<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\mu= n\\cdot p = 100 \\cdot 0,4 =40<br \/>\n\\end{align*}<\/li>\n<li>Standardabweichung berechnen und Laplace-Bedingung pr\u00fcfen:<br \/>\n\\begin{align*}\\sigma= \\sqrt{n\\cdot p\\cdot (1-p)} = \\sqrt{100 \\cdot 0,4\\cdot (1-0,4)}=4,898 &gt; 3 \\quad \\end{align*}<\/li>\n<li>Signifikanzniveau beachten:\n<ul>\n<li>$\\alpha=0,05$ als Irrtumswahrscheinlichkeit<\/li>\n<li>$1-\\alpha=0,95$ als Sicherheitswahrscheinlichkeit<\/li>\n<li>$z_{\\alpha}$, da ein einseitiger Hypothesentest vorliegt<\/li>\n<\/ul>\n<p>Diesen Wert k\u00f6nnen wir in den Quantilen der Standardnormalverteilung ablesen.<\/li>\n<li>Annahme- und Ablehnungsbereich mit den $\\sigma$-Regeln bestimmen. Allgemein gilt:<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\left[ \\mu &#8211; z_\\alpha \\cdot \\sigma \\right]<br \/>\n\\end{align*}Den Erwartungswert und die Standardabweichung kennen wir. Aus den Quantilen der Standardnormalverteilung folgt f\u00fcr $z_\\alpha=1,6449$. Einsetzen und wir bekommen (abgerundet, da linksseitig) den Ablehnungs- und Annahmebereich:\\begin{align*}\\overline{A}=\\left[ 0; 31\\right] \\quad \\textrm{und} \\quad A=\\left[32; 100 \\right]\\end{align*}<\/li>\n<li>Entscheidungsregel aufstellen: $H_0$ wird verworfen, wenn h\u00f6chstens 31\u00a0Personen den Kandidaten w\u00e4hlen.<\/li>\n<li>Testentscheidung anhand der gegebenen Stichprobe $n$:In der Aufgabe steht, dass 34 Personen angaben, dass sie den Kandidaten w\u00e4hlen werden. Die Stichprobe liefert das Ergebnis, dass $H_0$ nicht verworfen werden kann, also beibehalten wird, da sich der Wert der Stichprobe im Annahmebereich befindet und nicht im Ablehnungsbereich.<\/li>\n<li>Fehler 1. Art definieren und im Folgenden berechnen\/beschreiben im Sachzusammenhang: Der Fehler 1. Art bedeutet, dass eine wahre Hypothese verworfen wird und diesen kann man Signifikanzniveau\/Irrtumswahrscheinlichkeit, hier 5% ablesen. Das hei\u00dft, dass die $H_0$-Hypothese zu 5% irrt\u00fcmlich abgelehnt wird.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<h3>Rechtsseitiger Hypothesentest<\/h3>\n<p>Bei einem rechtsseitigen Hypothesentest sprechen gro\u00dfe Werte der Zufallsvariablen gegen die Hypothese, also Werte, die rechts auf dem Zahlenstrahl bzw. rechts vom Erwartungswert liegen.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3920 size-full\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_htest_rechtsseitig1.png\" alt=\"Hypothesentest rechtsseitig\" width=\"512\" height=\"206\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_htest_rechtsseitig1.png 512w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_htest_rechtsseitig1-300x121.png 300w\" sizes=\"(max-width: 512px) 100vw, 512px\" \/><br \/>\n<div class=\"ad fullwidth lernheft amz\">\r\n    <div class=\"inner\">\r\n        <div class=\"txt\">\r\n            <span class=\"firstline\">12 Aufgaben mit L\u00f6sungen<\/span>\r\n\t\t\t<span class=\"secondline\">PDF download \u2713 vorbereitend aufs Abi\u02c820 \u2713<\/span>\r\n        <\/div>\r\n        <div class=\"btn-container\">\r\n            <a class=\"btn orange\" target=\"_blank\" href=\"%link%\">Aufgabenvorschau<\/a>\r\n        <\/div>\r\n\t\t<div class=\"media\">\r\n            <div class=\"img\">\r\n                <p><a href=\"\" alt=\"Integralrechnung Aufgabensammlung\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/Hypothestentest-Aufgabensammlung.png\" alt=\"Integralrechnung Aufgabensammlung\" title=\"Hypothesentest Aufgabensammlung\"\/><\/a> <\/p>\r\n            <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <div class=\"figure circle\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure circle2\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure square\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure triangle\"><\/div>\r\n   <div class=\"label red\"><p>1,99\u20ac<\/p><\/div>\r\n<\/div><br \/>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiel zum rechtsseitigen Hypothesentest:<\/h3>\n<p>In einer Limonaden-Fabrik werden Flaschen abgef\u00fcllt und verschlossen. Dabei werden nicht alle Flaschen ordnungsgem\u00e4\u00df verschlossen. St\u00fcndlich werden 100 Flaschen kontrolliert. Erfahrungsgem\u00e4\u00df werden nicht mehr als 20% der Flaschen falsch verschlossen. In einer Stichprobe werden 25 Flaschen gefunden, die falsch verschlossen sind.<\/p>\n<p>1) Wie viele falsch verschlossene Flaschen d\u00fcrfen h\u00f6chstens in der Kontrolle gefunden werden? (Irrtumswahrscheinlichkeit = 5%)<br \/>\n2) Berechne den Fehler 2. Art, wenn tats\u00e4chlich 20% der Flaschen falsch verschlossen werden.<\/p>\n<p>Zur L\u00f6sung der Aufgabe arbeiten wir das bekannte Vorgehen ab:<\/p>\n<ul>\n<li>Hypothesen aufstellen:<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\nH_0:~ p \\leq 0,2; ~ H_1: p &gt; 0,2<br \/>\n\\end{align*}<br \/>\nText genau lesen! \u201ch\u00f6chstens 20% der Flaschen falsch verschlossen&#8230;\u201d \u00a0ist unsere Nullhypothese.<\/li>\n<li>Wir erkennen, dass es sich hierbei um einen einseitigen Hypothesentest handelt, da hohe Werte gegen $H_0$ sprechen.<\/li>\n<li>Erwartungswert\/Punktsch\u00e4tzung berechnen:<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\mu= n\\cdot p = 100 \\cdot 0,2 =20<br \/>\n\\end{align*}<\/li>\n<li>Standardabweichung berechnen und Laplace-Bedingung pr\u00fcfen:<br \/>\n\\begin{align*}\\sigma= \\sqrt{n\\cdot p\\cdot (1-p)} = \\sqrt{100 \\cdot 0,2\\cdot (1-0,2)}=4&gt;3 \\quad \\end{align*}<\/li>\n<li>Signifikanzniveau beachten:\n<ul>\n<li>$\\alpha=0,05$ als Irrtumswahrscheinlichkeit<\/li>\n<li>$1-\\alpha=0,95$ als Sicherheitswahrscheinlichkeit<\/li>\n<li>$z_{\\alpha}$, da ein einseitiger Hypothesentest vorliegt<\/li>\n<\/ul>\n<p>Diesen Wert k\u00f6nnen wir in den Quantilen der Standardnormalverteilung ablesen.<\/li>\n<li>Annahme- und Ablehnungsbereich mit den $\\sigma$-Regeln bestimmen. Allgemein gilt:<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\left[ \\mu + z_\\alpha \\cdot \\sigma \\right]<br \/>\n\\end{align*}Den Erwartungswert und die Standardabweichung kennen wir. Aus den Quantilen der Standardnormalverteilung folgt f\u00fcr $z_\\alpha=1,6449$. Einsetzen und wir bekommen (aufgerundet, da rechtsseitig) den Ablehnungs- und Annahmebereich:\\begin{align*}\\overline{A}=\\left[27; 100 \\right] \\quad \\textrm{und} \\quad A=\\left[ 0; 26 \\right].\\end{align*}<\/li>\n<li>Entscheidungsregel aufstellen: $H_0$ wird verworfen, wenn mehr als 26\u00a0Flaschen falsch verschlossen sind.<\/li>\n<li>Testentscheidung anhand der gegebenen Stichprobe $n$:In der Aufgabe steht, dass in der Stichprobe 25 Flaschen gefunden worden sind, die falsch verschlossen waren. Das bedeutet, dass dieser Wert in den Annahmebereich f\u00e4llt. Die Stichprobe liefert das Ergebnis, dass $H_0$ nicht verworfen werden kann, also beibehalten wird, da sich der Wert der Stichprobe im Annahmebereich befindet.<\/li>\n<li>Fehler 1. Art definieren und im Folgenden berechnen\/beschreiben im Sachzusammenhang:Der Fehler 1. Art bedeutet, dass eine wahre Hypothese verworfen wird und diesen man am Signifikanzniveau ablesen kann. Das hei\u00dft, dass die $H_0$ Hypothese zu 5% irrt\u00fcmlich abgelehnt wird.<\/li>\n<li>Fehler 2. Art berechnen und im Sachzusammenhang beschreiben:Der Fehler 2. Art bedeutet, dass eine Hypothese angenommen wird obwohl diese in Wirklichkeit falsch ist. Wir berechnen den Fehler 2. Art wie gewohnt:\\begin{align*}\\beta&amp;= P( X \\leq 26) \\approx \\Phi \\left( \\frac{26+0,5-100\\cdot 0,3}{\\sqrt{100\\cdot 0,3 \\cdot (1-0,3)}} \\right) = \\Phi(-0,7637) \\\\&amp;= 1- \\Phi( 0,76) =1-0,7764 \\approx 22,36\\%\\end{align*}Der Test f\u00e4llt zu 22,36% in den Annahmebereich, obwohl mehr als 20% (n\u00e4mlich 30%) falsch verschlossene Flaschen in der Stichprobe zu finden sind.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div><\/p>\n<div class=\"ad fullwidth lernheft amz\">\r\n    <div class=\"inner\">\r\n        <div class=\"txt\">\r\n            <span class=\"firstline\">12 Aufgaben mit L\u00f6sungen<\/span>\r\n\t\t\t<span class=\"secondline\">PDF download \u2713 vorbereitend aufs Abi\u02c820 \u2713<\/span>\r\n        <\/div>\r\n        <div class=\"btn-container\">\r\n            <a class=\"btn orange\" target=\"_blank\" href=\"%link%\">Aufgabenvorschau<\/a>\r\n        <\/div>\r\n\t\t<div class=\"media\">\r\n            <div class=\"img\">\r\n                <p><a href=\"\" alt=\"Integralrechnung Aufgabensammlung\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/Hypothestentest-Aufgabensammlung.png\" alt=\"Integralrechnung Aufgabensammlung\" title=\"Hypothesentest Aufgabensammlung\"\/><\/a> <\/p>\r\n            <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <div class=\"figure circle\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure circle2\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure square\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure triangle\"><\/div>\r\n   <div class=\"label red\"><p>1,99\u20ac<\/p><\/div>\r\n<\/div>\n<h2 class=\"anchor\" id=\"hypothesentest-mit-ablesen\">Hypothesentest mit Ablesen aus Tabelle<\/h2>\n<p>Falls ihr, aus welchem Grund auch immer, die $\\sigma$-Regeln nicht verwenden d\u00fcrft, gibt es noch die M\u00f6glichkeit Hypothesentests mit Hilfe von Tabellen zu bearbeiten. Was ihr in diesem Kapitel also bereits k\u00f6nnen solltet ist das Ablesen von Werten in der $F$-Tabelle bzw. falls ihr diese Tabellen selbst mit eurem GTR\/CAS erzeugen m\u00fcsst, wie man sie mit Hilfe des Befehls binomcdf anzeigen lassen kann. Wir gehen jetzt nur auf das reine Ablesen aus der Tabelle ein, da es im Grunde genommen genau das Gleiche ist, wie wenn ihr sie vorher mit dem Taschenrechner erzeugt.<\/p>\n<p>Wo liegt der Unterschied zum Umgang mit den $\\sigma$-Regeln? Beim Aufstellen der Entscheidungsregel, also wie der Annahme- und Ablehnungsbereich bestimmt wird. Das ist hier etwas umst\u00e4ndlicher. Der restliche Ablauf ist identisch.<\/p>\n<h3>Linksseitiger Hypothesentest<\/h3>\n<p><span style=\"text-decoration: underline;\">Vorgehensweise<\/span>:<\/p>\n<p>1. Hypothesen aufstellen: $H_0: p \\geq p_0; \\ H_1: p &lt; p_0$<br \/>\n2. Festlegung des Stichprobenumfangs $n$ und des Siginifikanzniveaus $\\alpha$<br \/>\n3. Bestimmung des Ablehnungsbereiches: $\\overline{A}=[0; k]$<\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">Es muss gelten: $P(X\\leq k) \\leq \\alpha$<\/p>\n<p>4. Entscheidungsregel: Liegt der Stichprobenumfang in $\\overline{A}$, wird $H_0$ verworfen, ansonsten wird $H_0$ beibehalten.<\/p>\n<div class=\"box exercise\">\n<p><strong>Beispiel<\/strong> <\/p>\n<p>Es wird behauptet, dass mindestens 30% der Sch\u00fcler bei ihrer Mathe-Abi-Klausur spicken. Um diese These zu \u00fcberpr\u00fcfen, werden 100 Sch\u00fcler einer Schule befragt. Das Signifikanzniveau betr\u00e4gt $\\alpha = 5$%. Leite eine Entscheidungsregel her.<\/p>\n<p>Zun\u00e4chst stellen wir die Hypothesen auf. Das Signalwort im Aufgabentext ist <em>mindestens<\/em>, so dass wir direkt wissen, dass die Hypothesen wie folgt lauten:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nH_0: p_0 \\geq 0,3; \\quad \\textrm{und} \\quad H_1: p_1 &lt; 0,3<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Aus dem Aufgabentext k\u00f6nnen wir ebenfalls entnehmen, dass der Stichprobenumfang $n=100$ ist und das Signifikanzniveau bei 5% liegt. Die Irrtumswahrscheinlichkeit ist sehr wichtig, denn sie legt den kritischen Wert fest, ab wann wir die Nullhypothese annehmen. Zur Veranschaulichung ist die Funktion der Binomialverteilung nochmal grafisch dargestellt. <\/p>\n<p>Es gilt jetzt also den kritischen Wert mit Hilfe der passenden $F$-Tabelle (das war die mit den kumulierten Wahrscheinlichkeiten) zu bestimmen. Der passende Ausschnitt, den ihr in der Klausur selbst heraussuchen m\u00fcsst, ist ebenfalls dargestellt. <\/p>\n<p>Er zeigt die $F$-Tabelle f\u00fcr $n=100$ f\u00fcr die Wahrscheinlichkeit $p=0,3$.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3098\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_htest_linksseitig_bsp-1024x418.png\" alt=\"Linkseitiger Hypothesentest mit Ablesen aus Tabelle\" width=\"640\" height=\"261\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_htest_linksseitig_bsp-1024x418.png 1024w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_htest_linksseitig_bsp-300x123.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_htest_linksseitig_bsp-768x314.png 768w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_htest_linksseitig_bsp.png 1631w\" sizes=\"(max-width: 640px) 100vw, 640px\" \/><\/p>\n<p>Folgende Bedingung gilt f\u00fcr den Ablehnungsbereich: $P(X \\leq k) \\leq \\underbrace{0,05}_{\\alpha}$.<\/p>\n<p>Wir suchen in der Tabelle jetzt die Wahrscheinlichkeit, die gerade kleiner oder gleich der Irrtumswahrscheinlichkeit i.H.v. 0,05 ist. Wir sehen, dass f\u00fcr $k=22$ der Wert gerade noch unter 0,05 ist, aber bei $k=23$ wird der Wert schon \u00fcberstiegen. <\/p>\n<p>Ihr k\u00f6nnt in der Klausur dann schreiben:<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\nP(X \\leq k) = \\ &amp;F(100;~0,3~;k) \\leq 0,05 \\notag \\\\<br \/>\n&amp;F(100;~0,3~;22) = 0,0479 \\leq 0,05 \\quad\u00a0 \\notag \\\\<br \/>\n&amp;F(100;~0,3~;23) = 0,0755 &gt; 0,05 \\quad\u00a0 \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Wir nehmen f\u00fcr den kritischen Wert den Wert, der so gerade unterhalb von 0,05 liegt. Daraus folgt f\u00fcr den Ablehnungs- und Annahmebereich:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\overline{A}=[0 ; 22] \\quad \\textrm{und} \\quad A=[23 ; 100]<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Denkt daran, die Entscheidungsregeln aufzustellen und auszuformulieren! Wenn von insgesamt 100 Sch\u00fclern h\u00f6chstens 22 sagen, dass sie spicken, dann wird die Nullhypothese verworfen.<br \/>\nWenn insgesamt 23 oder mehr Sch\u00fcler sagen, dass sie spicken, dann wird die $H_0$-Hypothese beibehalten.<\/p>\n<\/div><br \/>\n<div class=\"ad fullwidth lernheft amz\">\r\n    <div class=\"inner\">\r\n        <div class=\"txt\">\r\n            <span class=\"firstline\">12 Aufgaben mit L\u00f6sungen<\/span>\r\n\t\t\t<span class=\"secondline\">PDF download \u2713 vorbereitend aufs Abi\u02c820 \u2713<\/span>\r\n        <\/div>\r\n        <div class=\"btn-container\">\r\n            <a class=\"btn orange\" target=\"_blank\" href=\"%link%\">Aufgabenvorschau<\/a>\r\n        <\/div>\r\n\t\t<div class=\"media\">\r\n            <div class=\"img\">\r\n                <p><a href=\"\" alt=\"Integralrechnung Aufgabensammlung\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/Hypothestentest-Aufgabensammlung.png\" alt=\"Integralrechnung Aufgabensammlung\" title=\"Hypothesentest Aufgabensammlung\"\/><\/a> <\/p>\r\n            <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <div class=\"figure circle\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure circle2\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure square\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure triangle\"><\/div>\r\n   <div class=\"label red\"><p>1,99\u20ac<\/p><\/div>\r\n<\/div><\/p>\n<h3>Rechtsseitiger Hypothesentest<\/h3>\n<p><span style=\"text-decoration: underline;\">Vorgehensweise<\/span>:<\/p>\n<p>1. Hypothesen aufstellen: $H_0: p \\leq p_0; \\ H_1: p &gt;\u00a0p_0$<br \/>\n2. Festlegung des Stichprobenumfangs $n$ und des Siginifikanzniveaus $\\alpha$<br \/>\n3. Bestimmung des Ablehnungsbereiches: $\\overline{A}=[k; n]$<\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">Es muss gelten: $P(X\\geq k) \\leq \\alpha \\Leftrightarrow 1- P(X\\leq k-1) \\leq \\alpha$.<\/p>\n<p>4. Entscheidungsregel: Liegt der Stichprobenumfang in $\\overline{A}$, wird $H_0$ verworfen, ansonsten wird $H_0$ beibehalten.<\/p>\n<div class=\"box exercise\">\n<p><strong>Beispiel:<\/strong> <\/p>\n<p>Es wird behauptet, dass h\u00f6chstens 30% der Sch\u00fcler bei ihrer Mathe-Abi-Klausur spicken. Um diese These zu \u00fcberpr\u00fcfen, werden 100 Sch\u00fcler einer Schule befragt. Das Signifikanzniveau betr\u00e4gt $\\alpha = 5$%. Leite eine Entscheidungsregel her.<\/p>\n<p>Zun\u00e4chst stellen wir die Hypothesen auf. Das Signalwort im Aufgabentext ist <em>h\u00f6chstens<\/em>, so dass wir direkt wissen, dass die Hypothesen wie folgt lauten:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nH_0: p_0 \\leq 0,3; \\quad \\textrm{und} \\quad H_1: p_1 &gt; 0,3<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Aus dem Aufgabentext k\u00f6nnen wir noch entnehmen, dass der Stichprobenumfang $n=100$ ist und das Signifikanzniveau bei 5% liegt. Die Irrtungswahrscheinlichkeit ist sehr wichtig, denn sie legt den kritischen Wert fest, ab wann wir die Nullhypothese annehmen.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3100\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_htest_rechtsseitig_bsp-1024x412.png\" alt=\"Rechtsseitiger Hypothesentest mit Ablesen aus Tabelle\" width=\"654\" height=\"263\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_htest_rechtsseitig_bsp-1024x412.png 1024w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_htest_rechtsseitig_bsp-300x121.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_htest_rechtsseitig_bsp-768x309.png 768w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_htest_rechtsseitig_bsp.png 1687w\" sizes=\"(max-width: 654px) 100vw, 654px\" \/><\/p>\n<p>Zur Veranschaulichung ist die Funktion der Binomialverteilung nochmal grafisch dargestellt. Es gilt jetzt also den kritischen Wert mit Hilfe der $F$-Tabelle (das war die mit den kumulierten Wahrscheinlichkeiten) zu bestimmen. Der passende Ausschnitt, den ihr in der Klausur selbst heraussuchen m\u00fcsst, ist ebenfalls dargestellt. Dieser zeigt die $F$-Tabelle f\u00fcr $n=100$ und $p=0,3$.<\/p>\n<p>Im Gegensatz zum linksseitigen Hypothesentest m\u00fcssen wir beim Festlegen des Ablehnungsbereichs etwas aufpassen, denn die Bedingung<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nP(X\\geq k)\\leq \\underbrace{0,05}_{\\alpha}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>muss zun\u00e4chst mit der Gegenwahrscheinlichkeit umgeschrieben werden. Warum? Weil wir nur mit Tabellen arbeiten, die die Wahrscheinlichkeiten von 0 bis $k$ summieren und nicht von $k$ bis $n$. <\/p>\n<p>Daher folgt aus der Bedingung:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nP(X\\geq k)\\leq 0,05 \\ \\Leftrightarrow \\ 1-P(X\\leq k-1)\\leq 0,05 \\ \\Leftrightarrow \\ 0,95 \\leq P(X\\leq k-1)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Wir suchen in der entsprechenden $F$-Tabelle den Wert, der gerade gr\u00f6\u00dfer oder gleich 0,95 ist. F\u00fcr $k=37$ liegen wir gerade noch unter 0,95, aber bei $k=38$ wird der Wert von 0,95 erstmalig \u00fcberschritten. Das ist der Wert, mit dem wir gleich den Ablehnungsbereich bestimmen. Mathematisch k\u00f6nnt ihr das in der Klausur wiefolgt aufschreiben:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n0,95 &amp;\\leq P(X\\leq k-1) \\\\<br \/>\n0,95 &amp;\\leq F(100;~0,3~;k -1) \\\\<br \/>\n0,95 &amp;\\leq F(100;~0,3~;37) = 0,947 \\quad\u00a0 \\\\<br \/>\n0,95 &amp;\\leq F(100;~0,3~;\\underbrace{38}_{=k-1}) = 0,966 \\quad\u00a0 \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Wir nehmen f\u00fcr den kritischen Wert den Wert, der so gerade oberhalb von 0,95 liegt. Jetzt m\u00fcssen wir noch kurz aufpassen, denn der kritische Wert ist $k-1=38$, also $k=39$. <\/p>\n<p>Damit folgt f\u00fcr den Ablehnungs- und Annahmebereich:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\overline{A}=[39; 100] \\quad \\textrm{und} \\quad A=[0; 38].<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Denkt daran, die Entscheidungsregeln aufzustellen und auszuformulieren! Wenn von insgesamt 100 Sch\u00fclern mindestens 39 sagen, dass sie spicken, dann wird die Nullhypothese verworfen.<br \/>\nWenn insgesamt 38 oder weniger Sch\u00fcler sagen, dass sie spicken, dann k\u00f6nnen wir die $H_0$-Hypothese best\u00e4tigen.<\/p>\n<\/div><br \/>\n<div class=\"ad fullwidth lernheft amz\">\r\n    <div class=\"inner\">\r\n        <div class=\"txt\">\r\n            <span class=\"firstline\">12 Aufgaben mit L\u00f6sungen<\/span>\r\n\t\t\t<span class=\"secondline\">PDF download \u2713 vorbereitend aufs Abi\u02c820 \u2713<\/span>\r\n        <\/div>\r\n        <div class=\"btn-container\">\r\n            <a class=\"btn orange\" target=\"_blank\" href=\"%link%\">Aufgabenvorschau<\/a>\r\n        <\/div>\r\n\t\t<div class=\"media\">\r\n            <div class=\"img\">\r\n                <p><a href=\"\" alt=\"Integralrechnung Aufgabensammlung\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/Hypothestentest-Aufgabensammlung.png\" alt=\"Integralrechnung Aufgabensammlung\" title=\"Hypothesentest Aufgabensammlung\"\/><\/a> <\/p>\r\n            <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <div class=\"figure circle\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure circle2\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure square\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure triangle\"><\/div>\r\n   <div class=\"label red\"><p>1,99\u20ac<\/p><\/div>\r\n<\/div><\/p>\n<h3>Beidseitiger Hypothesentest<\/h3>\n<p><span style=\"text-decoration: underline;\">Vorgehensweise<\/span>:<\/p>\n<p>1. Hypothesen aufstellen: $H_0: p= p_0; \\ H_1: p \\neq p_0$<br \/>\n2. Festlegung des Stichprobenumfangs $n$ und des Siginifikanzniveaus $\\alpha$<br \/>\n3. Bestimmung des Ablehnungsbereiches: $\\overline{A}=[0;k_l] \\cup [k_r; n]$<\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">Es muss gelten: $P(X\\leq k_l) \\leq \\alpha\/2$ und $P(X\\geq k_r) \\leq \\alpha\/2$.<\/p>\n<p>4. Entscheidungsregel: Liegt der Stichprobenumfang in $\\overline{A}$, wird $H_0$ verworfen, ansonsten wird $H_0$ beibehalten.<\/p>\n<div class=\"box exercise\">\n<p><strong>Beispiel:<\/strong> <\/p>\n<p>Es wird behauptet, dass sich die Quote, dass 30% der Sch\u00fcler bei ihrer Mathe-Abi-Klausur spicken, ge\u00e4ndert hat. Um diese These zu \u00fcberpr\u00fcfen, werden 100 Sch\u00fcler einer Schule befragt. Das Signifikanzniveau betr\u00e4gt $\\alpha = 5$%. Leite eine Entscheidungsregel her.<\/p>\n<p>Zun\u00e4chst stellen wir die Hypothesen auf. Das Signalwort im Aufgabentext ist <strong>ge\u00e4ndert<\/strong>, so dass wir direkt wissen, dass die Hypothesen wie folgt lauten:<\/p>\n<p>\\begin{align}<br \/>\nH_0: p_0 = 0,3 \\quad \\textrm{und} \\quad H_1: p_1 \\neq 0,3 \\notag<br \/>\n\\end{align}<\/p>\n<p>Die restlichen Abl\u00e4ufe sind wie bei dem einseitigen Test. Wir machen quasi einen links- und rechtsseitigen Test in Einem. Einziger Unterschied: Wir m\u00fcssen beim Signifikanzniveau $\\alpha$ aufpassen, da es auf die beiden Ablehnungsbereiche aufgeteilt wird. Die Verteilung ist in der folgenden Abbildung mit den entsprechenden Ausschnitten der $F$-Tabelle dargestellt.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3101\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_htest_beidseitig_bsp-1024x431.png\" alt=\"Beidseitiger Hypothesentest mit Ablesen aus Tabelle\" width=\"696\" height=\"293\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_htest_beidseitig_bsp-1024x431.png 1024w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_htest_beidseitig_bsp-300x126.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_htest_beidseitig_bsp-768x323.png 768w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_htest_beidseitig_bsp.png 1687w\" sizes=\"(max-width: 696px) 100vw, 696px\" \/><\/p>\n<p>Aus den Bedingungen folgt f\u00fcr die kritischen Werte des Ablehnungsbereichs:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nF(100;~0,3~;k_l) &amp;\\leq 0,025 \\notag \\\\<br \/>\nF(100;~0,3~;20) &amp;= 0,0165 \\leq 0,025 \\quad\u00a0 \\notag \\\\<br \/>\nF(100;~0,3~;21) &amp;= 0,0288 &gt; 0,025 \\quad\u00a0 \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n0,975 &amp;\\leq F(100;~0,3~;k_r-1) \\notag \\\\<br \/>\n0,975 &amp;\\leq F(100;~0,3~;38) = 0,966 \\quad\u00a0 \\notag \\\\<br \/>\n0,975 &amp;\\leq F(100;~0,3~;\\underbrace{39}_{k_r-1}) = 0,979 \\quad\u00a0 \\notag<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Wir nehmen f\u00fcr den kritischen Wert $k_r$ den Wert, der so gerade oberhalb von 0,975 liegt. Jetzt m\u00fcssen wir noch kurz aufpassen, denn der kritische Wert ist $k_r-1=39$, also $k_r=40$. Damit folgt f\u00fcr den Ablehnungs- und Annahmebereich:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\overline{A}=[0; 20] \\cup [40; 100] \\quad \\textrm{und} \\quad A=[21; 39]<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Wenn von insgesamt 100 Sch\u00fclern h\u00f6chstens 20 und mindestens 40 angeben, sie spicken in der Abi-Klausur, dann w\u00fcrde die Hypothese abgelehnt werden. Wenn im Bereich 21 bis 39 Sch\u00fcler angeben, dass sie in der Klausur spicken, dann wird die Hypothese best\u00e4tigt und wir bleiben dabei.<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"ad fullwidth lernheft amz\">\r\n    <div class=\"inner\">\r\n        <div class=\"txt\">\r\n            <span class=\"firstline\">12 Aufgaben mit L\u00f6sungen<\/span>\r\n\t\t\t<span class=\"secondline\">PDF download \u2713 vorbereitend aufs Abi\u02c820 \u2713<\/span>\r\n        <\/div>\r\n        <div class=\"btn-container\">\r\n            <a class=\"btn orange\" target=\"_blank\" href=\"%link%\">Aufgabenvorschau<\/a>\r\n        <\/div>\r\n\t\t<div class=\"media\">\r\n            <div class=\"img\">\r\n                <p><a href=\"\" alt=\"Integralrechnung Aufgabensammlung\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/Hypothestentest-Aufgabensammlung.png\" alt=\"Integralrechnung Aufgabensammlung\" title=\"Hypothesentest Aufgabensammlung\"\/><\/a> <\/p>\r\n            <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <\/div>\r\n    <div class=\"figure circle\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure circle2\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure square\"><\/div>\r\n    <div class=\"figure triangle\"><\/div>\r\n   <div class=\"label red\"><p>1,99\u20ac<\/p><\/div>\r\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Auf diesem Artikel erkl\u00e4ren wir dir das vollst\u00e4ndige Vorgehen beim Hypothesentest. 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