{"id":12,"date":"2015-03-25T20:48:33","date_gmt":"2015-03-25T19:48:33","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/mathe\/wp\/?page_id=12"},"modified":"2020-01-30T16:07:33","modified_gmt":"2020-01-30T15:07:33","slug":"sekante-tangente-normale","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/sekante-tangente-normale\/","title":{"rendered":"Sekante, Tangente und Normale"},"content":{"rendered":"\n<p>Themen auf dieser Seite:<\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#sekantengleichung\">Sekantengleichung aufstellen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#tangente-berechnen\">Tangente berechnen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#orthogonale\">Normale, Senkrechte bzw. Orthogonale <\/a><\/li>\n<\/ul>\n<h2 class=\"anchor\" id=\"sekantengleichung\">Sekantengleichung aufstellen<\/h2>\n<p>Die <strong>Sekante<\/strong>\u00a0schneidet eine Funktion $f(x)$ in zwei Punkten. Im Sachzusammenhang gesehen beschreibt die Steigung der Sekante die durchschnittliche \u00c4nderung in einem Bereich, der durch die Schnittpunkte $P_1$ und $P_2$ der Geraden mit der Funktion gegeben ist.<\/p>\n<p>Zur Erinnerung:\u00a0$m=\\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$\u00a0bzw.\u00a0$m =\\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-3940 size-full\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_sekante1.png\" alt=\"Sekante\" width=\"391\" height=\"278\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_sekante1.png 391w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_sekante1-300x213.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 391px) 100vw, 391px\" \/><br \/>\n<strong>Was ist in der Regel gegeben?<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/funktionen\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Funktion<\/a>, hier $f(x)=3x^2+1 $<\/li>\n<li>zwei Punkte oder 2 $x$-Werte, hier $P_1(-1|f(-1))$, $P_2(2|f(2))$<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Vorgehen:<\/strong><\/p>\n<ol>\n<li>Allgemeine Geradengleichung: $y=mx+b$ &#8211; Wir suchen also $m$ und $b$!<\/li>\n<li>F\u00fcr $m$: Steigung durch zwei Punkte $m=\\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$<\/li>\n<li>F\u00fcr $b$: $m$ und einen der beiden Punkte in allgemeine Geradengleichung einsetzen.<\/li>\n<\/ol>\n<p>F\u00fcr unser Beispiel wird die Sekantengleichung wie folgt berechnet:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\ny&amp;=m \\cdot x+b \\quad \\textrm{mit} \\quad m=\\frac{(3\\cdot 2^2+1)-(3\\cdot 1^2+1)}{2-(-1)}=\\frac{9}{3}=3 \\ \\textrm{und} \\ P_2(2|13) \\\\<br \/>\n\\Rightarrow \\quad 13&amp;= 3 \\cdot 2 + b \\quad |-6 \\quad \\Leftrightarrow \\quad b= 7<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Die gesuchte Sekantengleichung lautet $y=3x+7$.<\/p>\n<p><strong>Schau dir zur Vertiefung Daniels Lernvideo zu dem Thema an!<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Sekantensteigung, Tangentensteigung, Ableitung, Ableiten, &Uuml;bersicht | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_XDut2uzXfGk\"><div id=\"lyte_XDut2uzXfGk\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FXDut2uzXfGk%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Sekantensteigung, Tangentensteigung, Ableitung, Ableiten, \u00dcbersicht | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><button tabindex=\"0\" class=\"play\"><\/button><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/XDut2uzXfGk\" rel=\"nofollow\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FXDut2uzXfGk%2F0.jpg\" alt=\"Sekantensteigung, Tangentensteigung, Ableitung, Ableiten, &Uuml;bersicht | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2 class=\"anchor\" id=\"tangente-berechnen\">Tangentengleichung aufstellen<\/h2>\n<p>Die <strong>Tangente<\/strong> ber\u00fchrt eine Funktion $f(x)$ in einem Punkt $P_0$. Die Steigung der Tangente $m_{tan}$ beschreibt die Steigung in einem beliebigen Punkt $x_0$. <\/p>\n<p>Im Sachzusammenhang gesehen beschreibt die Steigung die momentane \u00c4nderung.<\/p>\n<p>Zur Erinnerung:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nm_{tan}=f'(x_0)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-3941 size-full\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_tangente1.png\" alt=\"Tangente einer Funktion\" width=\"433\" height=\"275\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_tangente1.png 433w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_tangente1-300x191.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 433px) 100vw, 433px\" \/><\/p>\n<p><strong>Was ist in der Regel gegeben?<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Funktion, hier $f(x)=3x^2+1 $<\/li>\n<li>$x$-Wert, hier $P(1\/f(1))$<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Vorgehen:<\/strong><\/p>\n<ol>\n<li>Allgemeine Geradengleichung gesucht: $y=m \\cdot x+b$ &#8211; Wir suchen also $m$ und $b$!<\/li>\n<li>Ableitung bestimmen $f'(x)$ , hier $f'(x)=m=6x$<\/li>\n<li>f\u00fcr $y$: $x$-Wert in $f(x)$ einsetzen, hier $f(1)=3 \\cdot 1^2+1 \\Rightarrow y=4$<\/li>\n<li>f\u00fcr $m$: $x$-Wert in $f'(x)$ einsetzen, hier $f'(1)=6 \\cdot 1 \\Rightarrow m=6$<\/li>\n<li>f\u00fcr $b$: $m$ und $y$ in allgemeine Geradengleichung einsetzen.<\/li>\n<\/ol>\n<p>F\u00fcr unser Beispiel folgt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\ny&amp;=m \\cdot x+b \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow \\quad 4&amp;= 6 \\cdot 1 + b \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow \\quad 4&amp;=6+b \u00a0\\quad |-6 \\quad \\Rightarrow \\quad b= -2<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Die gesuchte Tangentengleichung lautet: $y=6x-2$<\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Playlist: Specials\/Sonderheiten wie Tangentengleichung, Winkel, Parallelen, etc...\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe playlist\" id=\"WYL_PLLTAHuUj-zHiWMNldBgZJol2Mq6Kd5BqS\"><div id=\"lyte_PLLTAHuUj-zHiWMNldBgZJol2Mq6Kd5BqS\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FrddqJQ0Urj0%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Playlist: Specials\/Sonderheiten wie Tangentengleichung, Winkel, Parallelen, etc...<\/div><\/div><button tabindex=\"0\" class=\"play\"><\/button><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtube.com\/playlist?list=PLLTAHuUj-zHiWMNldBgZJol2Mq6Kd5BqS\" rel=\"nofollow\"><br \/>Diese Wiedergabeliste auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h2 class=\"anchor\" id=\"orthogonale\">Normale, Senkrechte bzw. Orthogonale<\/h2>\n<p>Die <a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/ableiten\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Ableitung<\/a> einer <a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/funktionen\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Funktion<\/a> $f(x)$ an einem Punkt $P_0$ ist gleich der Steigung der Tangente $m_{tan}$ an diesem Punkt. Die Normale verl\u00e4uft senkrecht (othogonal) zur Tangente an diesem Ber\u00fchrungspunkt. Ihre Steigung ist der negative Kehrwert der Steigung der Tangente.<\/p>\n<p>Wie wir bereits kennengelernt haben, wird die Steigung der Tangente durch<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nm_{tan}=f'(x_0)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>bestimmt. Die Steigung der Normalen lautet demnach:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nm_{norm}=-\\frac{1}{m_{tan}}=-\\frac{1}{f'(x_0)}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-3942 size-full\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_normale1.png\" alt=\"Normale einer Funktion\" width=\"338\" height=\"219\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_normale1.png 338w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_normale1-300x194.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 338px) 100vw, 338px\" \/><\/p>\n\n<p><strong>Was ist in der Regel gegeben?<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Funktion, hier $f(x)=3x^2+1 $<\/li>\n<li>$x$-Wert, hier $P(1|f(1))$<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Vorgehen:<\/strong><\/p>\n<ol>\n<li>Allgemeine Geradengleichung gesucht: $y=m \\cdot x+b$<\/li>\n<li>Ableitung $f'(x)$ und Steigung der Tangente $m_{tan}$ bestimmen, hier $f'(1)=6=m_{tan}$<\/li>\n<li>Steigungen der Normalen bestimmen, hier $m_{norm}=-1\/m_{tan}=-1\/6$<\/li>\n<li>f\u00fcr $b$: $m_{norm}$ und $P(1|4)$ in Geradengleichung einsetzen<\/li>\n<\/ol>\n<p>F\u00fcr unser Beispiel folgt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\ny&amp;=m \\cdot x+b \\\\<br \/>\n\\Rightarrow \\quad 4&amp;= -\\frac{1}{6}\\cdot 1 + b \\quad |+\\frac{1}{6} \\quad \\Rightarrow b = \\frac{25}{6}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Die gesuchte Normalengleichung lautet: $y=-\\frac{1}{6}x+\\frac{25}{6}$<br \/>\nGanz wichtig: Es muss immer $m_{tan}\\cdot m_{norm}=-1$ gelten!<\/p>\n<p><strong>Schau dir zur Vertiefung Daniels Playlist zu dem Thema an!<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Playlist: Von Sekantensteigung zur Tangentensteigung (Ableitung), Differentialrechnung, Momentane\/durchschnittliche &Auml;nderungsrate\/Geschwindigkeit\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe playlist\" id=\"WYL_PLLTAHuUj-zHgagLP5dhJW6xvPckY4kgRm\"><div id=\"lyte_PLLTAHuUj-zHgagLP5dhJW6xvPckY4kgRm\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Fvzhioccb0IY%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Playlist: Von Sekantensteigung zur Tangentensteigung (Ableitung), Differentialrechnung, Momentane\/durchschnittliche \u00c4nderungsrate\/Geschwindigkeit<\/div><\/div><button tabindex=\"0\" class=\"play\"><\/button><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtube.com\/playlist?list=PLLTAHuUj-zHgagLP5dhJW6xvPckY4kgRm\" rel=\"nofollow\"><br \/>Diese Wiedergabeliste auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><br \/>\n<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Themen auf dieser Seite: Sekantengleichung aufstellen Tangente berechnen Normale, Senkrechte bzw. Orthogonale Sekantengleichung aufstellen Die Sekante\u00a0schneidet eine Funktion in zwei Punkten. Im Sachzusammenhang gesehen beschreibt die Steigung der Sekante die durchschnittliche \u00c4nderung in einem Bereich, der durch die Schnittpunkte und der Geraden mit der Funktion gegeben ist. Zur Erinnerung:\u00a0\u00a0bzw.\u00a0 Was ist in der Regel gegeben? [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":5,"featured_media":0,"parent":6291,"menu_order":3,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"categories":[15],"tags":[],"class_list":["post-12","page","type-page","status-publish","hentry","category-analysis"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v28.6 - https:\/\/yoast.com\/product\/yoast-seo-wordpress\/ -->\n<title>Tangentengleichung &amp; Sekantengleichung- StudyHelp<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Du suchst nach einer verst\u00e4ndlichen Erkl\u00e4rung zum Thema Tangente und Sekante? 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