{"id":12435,"date":"2019-05-08T14:55:30","date_gmt":"2019-05-08T12:55:30","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/?page_id=12435"},"modified":"2019-06-28T13:19:55","modified_gmt":"2019-06-28T11:19:55","slug":"komplexe-zahlen","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/komplexe-zahlen\/","title":{"rendered":"Komplexe Zahlen"},"content":{"rendered":"\n<p>Komplexe Zahlen (Symbol: $z$ ) stellen eine Erweiterung des Zahlenbereichs dar. Diese Erweiterung ist notwendig um Gleichungen wie z.B. $x^2=-1$ l\u00f6sen zu k\u00f6nnen. F\u00fcr diese Gleichung finden wir keine reelle Zahl aus $\\mathbb{R}$, die diese Gleichung l\u00f6sen w\u00fcrde.<\/p>\n<p>Komplexe Zahlen k\u00f6nnen in der Form $z = a+b\\cdot i$ dargestellt werden. Der Teil $a + b$ der Funktion wird Realteil- und $i$ Imagin\u00e4rteil genannt.<\/p>\n<p><strong>Themen auf dieser Seite<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#grundlagen\">Grundlagen komplexer Zahlen<\/a><\/li>\n<li><a class=\"anchor\" href=\"#darstellungsformen-komplexer-zahlen\">Darstellungsformen komplexer Zahlen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#komplexe-folgen-und-reihen\">Komplexe Folgen und Reihen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#rechenregeln-von-komplexen-zahlen\">\u00dcbersicht von Rechenregeln<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<hr \/>\n<h2 id=\"grundlagen\" class=\"anchor\">Grundlagen komplexer Zahlen<\/h2>\n<p><strong>Schau dir zu Beginn das Lernvideo zu komplexe Zahlen an<\/strong><br \/>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Komplexe Zahlen, &Uuml;bersicht, Imagin&auml;re Einheit, Realteil, Imagin&auml;rteil | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_bOeN4FV6lJs\"><div id=\"lyte_bOeN4FV6lJs\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FbOeN4FV6lJs%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Komplexe Zahlen, \u00dcbersicht, Imagin\u00e4re Einheit, Realteil, Imagin\u00e4rteil | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/bOeN4FV6lJs\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FbOeN4FV6lJs%2F0.jpg\" alt=\"Komplexe Zahlen, &Uuml;bersicht, Imagin&auml;re Einheit, Realteil, Imagin&auml;rteil | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Komplexe Zahlen sind aufgrund ihrer Konstruktion auf der <em>komplexen Zahlenebene<\/em> angeordnet.<br \/>\n<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"size-full wp-image-12455 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/Komplexe-Zahlenebene.jpg\" alt=\"Komplexe Zahlenebene\" width=\"650\" height=\"401\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/Komplexe-Zahlenebene.jpg 650w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/Komplexe-Zahlenebene-300x185.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 650px) 100vw, 650px\" \/><\/p>\n<p><strong>Eine komplexe Zahl ist aus folgenden Teilen zusammengesetzt:<\/strong><br \/>\n$ \\quad z=a+bi$<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><strong>Realteil Re(z) und Imagin\u00e4rteil Im(z):<\/strong><br \/>\n$\\quad$Re(z) = $a \\in \\mathbb{R}$<br \/>\n$\\quad$Im(z) = $b \\in \\mathbb{R} \\quad$ <strong>Beachte:<\/strong> Im(z) $\\neq bi$!<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><strong>Betrag |z| und Argument $\\varphi$:<\/strong><br \/>\n$\\quad |z|=r=\\sqrt{(\\textrm{Re{z}})^2+(\\textrm{Im{z}})^2}=\\sqrt{a^2+b^2}\\\\<br \/>\n\\quad \\varphi=\\arg(z)\\quad \\textrm{Winkel zw. pos. Re-Achse und Strecke}\\ \\ \\overline{0z}$<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><strong>Zu jeder komplexen Zahl<\/strong> $z$ <strong>gibt es dessen komplex Konjugierte<\/strong> $\\overline{z}$:<br \/>\n$\\quad \\overline{z} = a &#8211; bi$<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><strong>Imagin\u00e4re Einheit <\/strong>$i$:<br \/>\n$\\quad i^2 = -1$<\/p>\n<p>Entgegen vieler Schreibweisen und Internetquellen ist $i$ rein mathematisch $\\textit{nicht}$ gleichzusetzen mit $\\sqrt{-1}$.<\/p>\n<p>Folgende Rechnung zeigt den Konflikt in der Annahme es g\u00e4be $\\sqrt{-1}$ und es k\u00f6nne damit gerechnet werden. vgl. $\\ast^2$: Das &#8222;$=$&#8220; w\u00e4re ohne die Annahme der Existenz von $\\sqrt{-1}$ n\u00e4mlich ebenfalls nicht korrekt!. Ab $\\ast^1$ geht dann die Rechnung schief und es entsteht ein Widerspruch:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\quad -1=i^2=i\\cdot i =^{\\ast^1} \\ \\sqrt{-1}\\cdot\\sqrt{-1} =^{\\ast^2} \\ \\sqrt{(-1)(-1)}=\\sqrt{1}=1\\quad \\Longrightarrow -1 \\neq 1<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<div class=\"box exercise\">\n<strong>N\u00fctzlich zu wissen<\/strong><br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n&amp;x^2=-4\\ \\Rightarrow\\ x=\\pm\\sqrt{-4}=\\pm\\sqrt{4}\\cdot\\sqrt{-1}=\\pm2i&amp;&amp;\\quad\\text{unsauberer Weg!}\\\\[2mm]<br \/>\n&amp;x^2=-4\\ \\Rightarrow\\ x=\\pm\\sqrt{-4}=\\pm\\sqrt{4i^2}=\\pm2i&amp;&amp;\\quad\\text{etwas besserer Weg!}\\\\[2mm]<br \/>\n&amp;x^2=-4\\ \\Rightarrow\\ x^2=4i^2\\Rightarrow\\ x=\\pm2i&amp;&amp;\\quad\\text{korrekter Weg!}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<\/div>\n<hr \/>\n<h2 id=\"darstellungsformen-komplexer-zahlen\" class=\"anchor\">Darstellungsformen komplexer Zahlen<\/h2>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Komplexe Zahlen, Eulersche Identit&auml;t, Polarform, Mathehilfe online | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe qsa_\\&amp;enablejsapi\\=1\\&amp;origin\\=https:\/\/www.studyhelp.de\" id=\"WYL_e6Cfx8hfKNo\"><div id=\"lyte_e6Cfx8hfKNo\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Fe6Cfx8hfKNo%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Komplexe Zahlen, Eulersche Identit\u00e4t, Polarform, Mathehilfe online | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/e6Cfx8hfKNo\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Fe6Cfx8hfKNo%2F0.jpg\" alt=\"Komplexe Zahlen, Eulersche Identit&auml;t, Polarform, Mathehilfe online | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<p>Da sich die komplexen Zahlen auf einer Ebene befinden, nutzen wir f\u00fcr eine eindeutige Zuordnung der Zahlen Polarkoordinaten. Damit lassen sich die Zahlen in die $\\textit{Polarform}$ \u00fcberf\u00fchren. Diese Darstellung hat bei vielen Berechnungen Vorteile gegen\u00fcber der klassischen $\\textit{kartesischen Darstellung}$ der Zahlen.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-12544 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/Darstellungsformen-komplexer-Zahlen-1.jpg\" alt=\"Darstellungsformen komplexer Zahlen\" width=\"790\" height=\"455\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/Darstellungsformen-komplexer-Zahlen-1.jpg 1146w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/Darstellungsformen-komplexer-Zahlen-1-300x173.jpg 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/Darstellungsformen-komplexer-Zahlen-1-768x442.jpg 768w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/Darstellungsformen-komplexer-Zahlen-1-1024x590.jpg 1024w\" sizes=\"(max-width: 790px) 100vw, 790px\" \/><\/p>\n<p>Wie wir der Grafik entnehmen k\u00f6nnen, wird eine komplexe Zahl entweder durch seinen Real- und Imagin\u00e4rteil oder durch &#8222;Betrag und Argument&#8220; definiert:<\/p>\n<p>$\\quad \\text{Kartesisch }z=a+bi $<br \/>\n$\\quad \\text{Polar }z=r\\exp^{\\varphi i} $<\/p>\n<p>Dass die Polarform durch die e-Funktion beschrieben wird, ergibt Sinn, da die e-Funktion im Komplexen abh\u00e4ngig von Betrag und Argument ist. Reduzieren wir diese auf reelle Zahlen, so ergibt sich wieder die \u00fcbliche Exponentialfunktion, wie schon aus der Schule bekannt.<\/p>\n<div class=\"box info\"><br \/>\n<strong>N\u00fctzlich zu wissen<\/strong><\/p>\n<p>Es gibt noch die sogenannte trigonometrische Darstellung. Diese geht jedoch unmittelbar aus der Polarform und Formel hervor. Daher listen wir sie nicht gesondert auf.<br \/>\n<\/div>\n<a href=\"https:\/\/amzn.to\/3cRvjtE\" target=\"_blank\" aria-label=\"Wide\"><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/Wide.png\" alt=\"Wide\"  srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/Wide.png 1454w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/Wide-300x50.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/Wide-768x127.png 768w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/Wide-1024x170.png 1024w\" sizes=\"(max-width: 1454px) 100vw, 1454px\" class=\"no-lazyload\" width=\"1454\" height=\"241\"   \/><\/a><\/p>\n<hr \/>\n<h3 id=\"darstellungen-umwandeln\" class=\"anchor\">Darstellungen umwandeln<\/h3>\n<p><strong>Kartesische in die Polarform<\/strong><\/p>\n<p>$r=\\sqrt{\\textrm{Re{z}}^2+\\textrm{Im{z}}^2}$<br \/>\n$\\varphi=\\begin{cases}\\arccos\\left(\\frac{\\textrm{Re{z}}}{r}\\right)&amp;\\text{f\u00fcr }\\textrm{Im{z}} \\geq 0\\\\ 2\\pi-\\arccos\\left(\\frac{\\textrm{Re{z}}}{r}\\right)&amp;\\text{f\u00fcr }\\textrm{Im{z}} &lt; 0\\end{cases}$<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div class=\"box info\">\n<strong>N\u00fctzlich zu wissen<\/strong><\/p>\n<p>Phi kann auch durch $\\arcsin(\\ldots)$ oder $\\arctan$ berechnet werden, aber mit $\\arccos$ m\u00fcssen wir 1. nicht gro\u00dfartig auf den Quadranten gucken, in dem die Zahl in der komplexen Zahlenebene liegt und 2. sind so normalerweise auch die Polarkoordinaten im $\\mathbb{R}^2$ definiert.<\/p>\n<\/div>\n<p><strong>Polarform in die Kartesische<\/strong><\/p>\n<p>$\\quad \\textrm{Re{z}}=r\\cdot \\cos(\\varphi)$<br \/>\n$\\quad \\textrm{Im{z}}=r\\cdot \\sin(\\varphi)$<\/p>\n<h3>Beispiele zur Umwandlung komplexer Zahlen<\/h3>\n<p>Von Kartesisch nach Polar:<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\nz&amp;=3+\\sqrt{3}\\cdot i\\qquad\\text{mit}\\\\<br \/>\n&amp;\\qquad r=\\sqrt{9+3}=\\sqrt{12}\\\\<br \/>\n&amp;\\qquad \\varphi\\stackrel{\\sqrt{3}&gt;0}{=}\\arccos\\left(\\frac{3}{\\sqrt{12}}\\right)=\\arccos\\left(\\frac{\\sqrt{3^2}}{\\sqrt{3\\cdot 4}}\\right)=\\arccos\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)=\\frac{\\pi}{6}\\\\<br \/>\nz&amp;=2\\sqrt{3}\\cdot\\exp^{\\frac{\\pi}{6}\\cdot i}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Von Polar nach Kartesisch:<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\nz&amp;=2\\cdot \\exp^{\\frac{5}{4}\\pi i}\\qquad\\text{mit}\\\\<br \/>\n&amp;\\qquad \\textrm{Re{z}}=2\\cos\\left(\\frac{5}{4}\\pi\\right)=2\\cos\\left(\\pi+\\frac{1}{4}\\pi\\right)=2\\Bigl(-\\cos\\left(\\frac{1}{4}\\pi\\right)\\Bigr)=-2\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\\\<br \/>\n&amp;\\qquad \\textrm{Im{z}}=2\\sin\\left(\\frac{5}{4}\\pi\\right)=2\\sin\\left(\\pi+\\frac{1}{4}\\pi\\right)=2\\Bigl(-\\sin\\left(\\frac{1}{4}\\pi\\right)\\Bigr)=-2\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\\\<br \/>\nz&amp;=\\sqrt{2}+\\sqrt{2}\\cdot i<br \/>\n\\end{align*}<br \/>\n<a href=\"https:\/\/amzn.to\/3cRvjtE\" target=\"_blank\" aria-label=\"Wide\"><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/Wide.png\" alt=\"Wide\"  srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/Wide.png 1454w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/Wide-300x50.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/Wide-768x127.png 768w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/Wide-1024x170.png 1024w\" sizes=\"(max-width: 1454px) 100vw, 1454px\" class=\"no-lazyload\" width=\"1454\" height=\"241\"   \/><\/a><\/p>\n<hr \/>\n<h2 id=\"rechenregeln-von-komplexen-zahlen\" class=\"anchor\">\u00dcbersicht von Rechenregeln<\/h2>\n<p>Es gelten alle Rechengesetze f\u00fcr Zahlen aus $\\mathbb{C}$, wie wir sie f\u00fcr die Zahlen aus $\\mathbb{R}$ kennen. Es muss lediglich aufgepasst werden, dass sich Real- und Imagin\u00e4rteile in Rechnungen nicht vermischen. Das $i$ kannst du somit wie eine Variable ansehen.<\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Rechnen mit komplexen Zahlen, Summe, Differenz, Produkt | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_Ea4BjgzMIno\"><div id=\"lyte_Ea4BjgzMIno\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FEa4BjgzMIno%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Rechnen mit komplexen Zahlen, Summe, Differenz, Produkt | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/Ea4BjgzMIno\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FEa4BjgzMIno%2F0.jpg\" alt=\"Rechnen mit komplexen Zahlen, Summe, Differenz, Produkt | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<p><strong>F\u00fcr kartesische Darstellung gilt&#8230;<\/strong><br \/>\n$\\quad z_1 = a + bi \\textrm{ und } z_2 = c + di \\textrm{ sowie } n \\in \\mathbb{N}$<\/p>\n<p><strong>Addition von komplexen Zahlen<\/strong><br \/>\n$\\quad z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i$<\/p>\n<p><strong>Multiplikation von komplexen Zahlen<\/strong><br \/>\n$\\quad z_1\\cdot z_2=(ac-bd)+(ad+bc)i$<\/p>\n<p><strong>Division von komplexen Zahlen<\/strong><br \/>\n$\\quad \\frac{z_1}{z_2}=\\frac{z_1\\overline{z_2}}{z_2\\overline{z_2}}=\\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}=\\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$<\/p>\n<p><strong>Potenzieren komplexer Zahlen<\/strong><br \/>\n$\\quad z_1^n=\\ldots\\text{nicht empfehlenswert ab }n\\geq 5$<br \/>\n$\\quad z_1^{z_2}=\\ldots\\text{nicht empfehlenswert}$<\/p>\n<p><strong>Wurzel einer komplexen Zahl ziehen<\/strong><br \/>\n$\\quad \\sqrt[n]{z_1}=\\ldots\\text{nicht empfehlenswert}$<\/p>\n<h3>F\u00fcr Polarform gilt&#8230;<\/h3>\n<p>$\\quad z_1=r_1\\cdot\\exp^{\\varphi_1i} \\textrm{ und } z_2=r_2\\cdot\\exp^{\\varphi_2i} \\textrm{ sowie } n\\in\\mathbb{N}$<br \/>\n<strong>Addition<\/strong><br \/>\n$\\quad z_1+z_2=\\ldots\\text{nicht empfehlenswert} $<\/p>\n<p><strong>Produkt<\/strong><br \/>\n$\\quad z_1\\cdot z_2=(r_1\\cdot r_2)\\cdot\\exp^{(\\varphi_1+\\varphi_2)i} $<\/p>\n<p><strong>Division<\/strong><br \/>\n$\\quad \\frac{z_1}{z_2}=\\frac{r_1\\cdot\\exp^{\\varphi_1i}}{r_2\\cdot\\exp^{\\varphi_2i}}=\\frac{r_1}{r_2}\\cdot\\exp^{(\\varphi_1-\\varphi_2)i}$<\/p>\n<p><strong>Potenzieren<\/strong><br \/>\n$\\quad z_1^n=\\left(r_1\\cdot\\exp^{\\varphi_1i}\\right)^n=r_1^n\\cdot\\exp^{n\\varphi_1i}$<br \/>\n$\\quad z_1^{z_2}=\\exp^{z_2\\cdot\\ln(z_1)}\\quad\\text{mit}\\quad z_2\\cdot\\ln(z_1) = r_2\\exp^{\\varphi_2i}\\cdot\\bigl(\\ln(r_1)+\\varphi_1i\\bigr)$<br \/>\n$\\quad \\quad \\text{dann } z_2 \\textrm{ in kartesische Darstellung umwandeln}$<\/p>\n<p><strong>Wurzel ziehen<\/strong><br \/>\n$\\quad \\sqrt[n]{z_1}=\\ldots\\text{verwende Produkt-Gleichung}$<\/p>\n<p>Allgemein l\u00e4sst sich bei gewissen Rechenoperationen eine Parallele zur Vektorrechnnug im $\\mathbb{R}^2$ erkennen:<img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-12619 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/Komplexe-Zahlen-Rechenregeln.jpg\" alt=\"Komplexe Zahlen Rechenregeln\" width=\"778\" height=\"174\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/Komplexe-Zahlen-Rechenregeln.jpg 1337w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/Komplexe-Zahlen-Rechenregeln-300x67.jpg 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/Komplexe-Zahlen-Rechenregeln-768x172.jpg 768w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/Komplexe-Zahlen-Rechenregeln-1024x229.jpg 1024w\" sizes=\"(max-width: 778px) 100vw, 778px\" \/><\/p>\n<p>Werden komplexe Zahlen Multipliziert (dividiert), werden die Betr\u00e4ge multipliziert (dividiert) und die Argumente addiert (subtrahiert).<\/p>\n<hr \/>\n<h3>Auswahl komplexer Funktionen und komplexer Wurzeln<\/h3>\n<p>Ausgew\u00e4hlte Funktionen:<\/p>\n<p><strong>Komplexe e-Funktion<\/strong><br \/>\n$\\quad \\exp^{z}=\\exp^{\\Re{z}}\\Bigl(\\cos\\bigl(\\textrm{Im{z}}\\bigr)+i\\sin\\bigl(\\textrm{Im{z}}\\bigr)\\Bigr)\\qquad\\text{damit gilt auch}$<br \/>\n$\\quad r\\cdot\\exp^{\\varphi i}=r\\cdot\\Bigl(\\cos\\bigl(\\varphi\\bigr)+i\\sin\\bigl(\\varphi\\bigr)\\Bigr)$<\/p>\n<p><strong>Komplexer Logarithmus (F\u00fcr z in Polarform gilt)<\/strong><br \/>\n$\\quad \\ln{(z)}=\\ln{(r\\exp^{\\varphi i})}=\\ln(r)+\\varphi i$<br \/>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Komplexe Zahlen, ln von z bestimmen, Mathehilfe online, Erkl&auml;rvideo | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_RR9O1l5xXg4\"><div id=\"lyte_RR9O1l5xXg4\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FRR9O1l5xXg4%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Komplexe Zahlen, ln von z bestimmen, Mathehilfe online, Erkl\u00e4rvideo | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/RR9O1l5xXg4\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FRR9O1l5xXg4%2F0.jpg\" alt=\"Komplexe Zahlen, ln von z bestimmen, Mathehilfe online, Erkl&auml;rvideo | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><strong>Komplexe trigonometrische Funktionen<\/strong><br \/>\n$\\quad \\sin(z)=\\frac{1}{2i}\\left(\\exp^{iz}-\\exp^{-iz}\\right)$<br \/>\n$\\quad \\cos(z)=\\frac{1}{2}\\left(\\exp^{iz}+\\exp^{-iz}\\right)$<\/p>\n<p><strong>Komplexes Wurzelziehen (F\u00fcr z in Polarform gilt)<\/strong><br \/>\n$\\quad \\sqrt[n]{z}=\\sqrt[n]{r}\\cdot \\text{exp}\\left\\{\\frac{\\varphi+2k\\pi}{n}\\cdot i\\right\\},\\quad \\forall\\,k\\in\\{0,1,\\ldots,n-1\\}$<\/p>\n<div class=\"box info\">\n<p><strong>Achtung!<\/strong><br \/>\nWird die <em>n<\/em>-te Wurzel aus einer komplexen Zahl gezogen, erhalten wir <em>immer<\/em> <em>n<\/em> L\u00f6sungen (Erkenntnis aus dem Fundamentalsatz der Algebra). Dies unterscheidet sich grundlegend von dem Wurzelziehen im Reellen.<br \/>\n<\/div>\n<h3>Beispiel zu &#8222;Komplexes Wurzelziehen&#8220; f\u00fcr z in Polarform<\/h3>\n<p>Die Formel zu Komplexes Wurzelziehen wirkt kompliziert. Darum stellen wir euch eine Beispielrechnung samt Skizze zur Verf\u00fcgung:<\/p>\n<p><strong>Finde alle L\u00f6sungen der Gleichung<\/strong> $z^5=3-3\\sqrt{3}$.<\/p>\n<p>Zun\u00e4chst wandeln wir wieder von kartesisch nach polar um:<\/p>\n<p>\\begin{alignat*}{2}<br \/>\n&amp;3-3\\sqrt{3}\\cdot i\\qquad\\text{mit}\\\\<br \/>\n&amp;\\qquad r=\\sqrt{9+9\\cdot 3}=\\sqrt{36}=6\\\\<br \/>\n&amp;\\qquad \\varphi\\stackrel{-3\\sqrt{3}&lt;0}{=}2\\pi-\\arccos\\left(\\frac{3}{6}\\right)=2\\pi-\\frac{\\pi}{3}=\\frac{5}{3}\\pi\\\\<br \/>\n\\rightarrow\\ &amp;3-3\\sqrt{3}\\cdot i\\ =6\\cdot\\exp^{\\frac{5}{3}\\pi\\cdot i}<br \/>\n\\end{alignat*}<br \/>\nDamit gilt f\u00fcr z:<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\Rightarrow\\ z&amp;=\\sqrt[5]{z_1}=\\sqrt[5]{6}\\cdot\\text{exp}\\left\\{\\frac{\\frac{5}{3}\\pi+2k\\pi}{5}\\cdot i\\right\\}=\\sqrt[5]{6}\\cdot\\text{exp}\\left\\{\\biggl(\\frac{1}{3}\\pi+\\frac{2}{5}k\\pi\\biggr)\\cdot i\\right\\}\\\\<br \/>\n&amp;=\\sqrt[5]{6}\\cdot\\text{exp}\\left\\{\\biggl(\\frac{5}{15}\\pi+\\frac{6}{15}k\\pi\\biggr)\\cdot i\\right\\},\\quad \\forall\\,k\\in\\{0,1,2,3,4\\}<br \/>\n\\end{align*}<br \/>\nAlso sind die L\u00f6sungen:<\/p>\n<p>\\begin{alignat*}{3}<br \/>\n&amp;z_1&amp;&amp;=\\sqrt[5]{6}\\cdot\\exp^{\\frac{1}{3}\\cdot \\pi\\cdot i}&amp;&amp;\\qquad(k=0)\\\\<br \/>\n&amp;z_2&amp;&amp;=\\sqrt[5]{6}\\cdot\\exp^{\\frac{11}{15}\\cdot \\pi\\cdot i}&amp;&amp;\\qquad(k=1)\\\\<br \/>\n&amp;z_3&amp;&amp;=\\sqrt[5]{6}\\cdot\\exp^{\\frac{17}{15}\\cdot \\pi\\cdot i}&amp;&amp;\\qquad(k=2)\\\\<br \/>\n&amp;z_4&amp;&amp;=\\sqrt[5]{6}\\cdot\\exp^{\\frac{23}{15}\\cdot \\pi\\cdot i}&amp;&amp;\\qquad(k=3)\\\\<br \/>\n&amp;z_5&amp;&amp;=\\sqrt[5]{6}\\cdot\\exp^{\\frac{29}{15}\\cdot \\pi\\cdot i}&amp;&amp;\\qquad(k=4)<br \/>\n\\end{alignat*}<\/p>\n<p>Alle L\u00f6sungen von $z^5=6-3\\sqrt{3}\\cdot i$ in der komplexen Zahlenebene:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\" wp-image-12644 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/L\u00f6sung-in-komplexer-Zahlenebene.jpg\" alt=\"L\u00f6sung in komplexer Zahlenebene\" width=\"577\" height=\"560\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/L\u00f6sung-in-komplexer-Zahlenebene.jpg 865w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/L\u00f6sung-in-komplexer-Zahlenebene-300x291.jpg 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/L\u00f6sung-in-komplexer-Zahlenebene-768x746.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 577px) 100vw, 577px\" \/><\/p>\n<p>Es reicht theoretisch aus $z_1$ auszurechnen und sich $z_{2,\\ldots,5}$ geometrisch zu konstruieren. Alle L\u00f6sungen $z_1 \\textrm{ bis } z_5$ sind die Eckpunkte eines regelm\u00e4\u00dfigen Vielecks auf dem Kreis mit Radius $\\sqrt[5]{6}$. Diese Anordnung erlaubt es uns die restlichen vier L\u00f6sungen neben $z_1$ zu bestimmen. Der Winkel ($\\frac{2\\pi}{5}$) zwischen allen L\u00f6sungen wird jeweils aufaddiert &#8211; mit $z_1$ als &#8222;Ausgangsl\u00f6sung&#8220;.<\/p>\n<p>Also:<\/p>\n<p>\\begin{alignat*}{3}<br \/>\n&amp;z^5&amp;&amp;=3-3\\sqrt{3}\\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow\\ &amp;z^5&amp;&amp;=6\\cdot\\exp^{\\frac{5}{3}\\pi\\cdot i}\\\\<br \/>\n&amp;z_1&amp;&amp;=\\sqrt[5]{6}\\cdot\\exp^{\\frac{1}{5}\\cdot\\frac{5}{3}\\pi\\cdot i}=\\sqrt[5]{6}\\cdot\\exp^{\\frac{1}{3}\\pi\\cdot i}\\\\[4mm]<br \/>\n&amp; &amp;&amp;\\text{da 5. Wurzel: }\\frac{2\\pi}{5}\\text{ von einer zur n\u00e4chsten L\u00f6sung zum Argument add.:}\\\\[4mm]<br \/>\n\\Rightarrow\\ &amp;z_2&amp;&amp;=\\sqrt[5]{6}\\cdot\\exp^{\\left(\\frac{1}{3}\\pi+\\frac{2\\pi}{5}\\right)\\cdot i}=\\sqrt[5]{6}\\cdot\\exp^{\\frac{11}{15}\\pi\\cdot i}\\\\<br \/>\n\\Rightarrow\\ &amp;z_3&amp;&amp;=\\sqrt[5]{6}\\cdot\\exp^{\\left(\\frac{11}{15}\\pi+\\frac{2\\pi}{5}\\right)\\cdot i}=\\sqrt[5]{6}\\cdot\\exp^{\\frac{17}{15}\\pi\\cdot i}\\\\<br \/>\n\\Rightarrow\\ &amp;z_4&amp;&amp;=\\sqrt[5]{6}\\cdot\\exp^{\\left(\\frac{17}{15}\\pi+\\frac{2\\pi}{5}\\right)\\cdot i}=\\sqrt[5]{6}\\cdot\\exp^{\\frac{23}{15}\\pi\\cdot i}\\\\<br \/>\n\\Rightarrow\\ &amp;z_5&amp;&amp;=\\sqrt[5]{6}\\cdot\\exp^{\\left(\\frac{23}{15}\\pi+\\frac{2\\pi}{5}\\right)\\cdot i}=\\sqrt[5]{6}\\cdot\\exp^{\\frac{29}{15}\\pi\\cdot i}<br \/>\n\\end{alignat*}<\/p>\n<p>Ob du dir die Formel merkst, oder nach diesem Schema rechnest, ist nat\u00fcrlich dir selbst \u00fcberlassen.<\/p>\n<hr \/>\n<h3>Potenzen von i und kombiniertes Beispiel<\/h3>\n<div class=\"lyte-wrapper\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_UbhXdiUwaP8\"><div id=\"lyte_UbhXdiUwaP8\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FUbhXdiUwaP8%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\"><\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/UbhXdiUwaP8\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FUbhXdiUwaP8%2F0.jpg\" alt=\"YouTube-Video-Thumbnail\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n&amp;\\begin{array}{*4{&gt;{\\displaystyle}l}}<br \/>\ni^2=-1 &amp;\\quad,\\,i^3=-i &amp;\\quad,\\,i^4=(-1)^2=1 &amp;\\quad,\\,i^{25}=i^{24}\\cdot i=i\\\\<br \/>\ni^{79}=i^{76}\\cdot i^3=-i &amp;\\quad,\\,i^{568}=1 &amp;\\quad,\\,i^{946}=i^{944}\\cdot i^2=-1 &amp;\\quad,\\,i^{-7}=\\frac{1}{i^7}=\\frac{i}{i^8}=i<br \/>\n\\end{array}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn ihre letzten beiden Ziffern eine durch 4 teilbare Zahl ergeben.<\/p>\n<div class=\"box exercise\">\n<strong>Kombiniertes Beispiel<\/strong><\/p>\n<p>Bestimme $\\textrm{Re{z}}, \\textrm{Im{z}}, \\textrm{abs{z}}, \\overline{z} \\textrm{ und } \\textrm{arg(z)}$<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\nz&amp;=2\\sqrt[i-1]{i^{57}},\\quad z=2\\sqrt[i-1]{i^{56}\\cdot i}=2\\sqrt[i-1]{i}=2i^{\\frac{1}{i-1}}{=}2\\exp^{\\frac{1}{i-1}\\ln(i)}\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;=2\\text{exp}\\left\\{\\frac{-1-i}{(i-1)(-i-1)}\\ln(\\exp^{\\frac{\\pi}{2}i})\\right\\}=2\\text{exp}\\left\\{-\\frac{1+i}{2}\\cdot\\frac{\\pi}{2}i\\right\\}=2\\text{exp}\\left\\{\\frac{\\pi}{4}-\\frac{\\pi}{4}i\\right\\}\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;=2\\exp^{\\frac{\\pi}{4}}\\left(\\cos\\Bigl(-\\frac{\\pi}{4}\\Bigr)+i\\sin\\Bigl(-\\frac{\\pi}{4}\\Bigr)\\right){=}2\\exp^{\\frac{\\pi}{4}}\\left(\\cos\\Bigl(\\frac{\\pi}{4}\\Bigr)-i\\sin\\Bigl(\\frac{\\pi}{4}\\Bigr)\\right)\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;=2\\exp^{\\frac{\\pi}{4}}\\left(\\frac{1}{\\sqrt{2}}-i\\cdot\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\right)=\\sqrt{2}\\exp^{\\frac{\\pi}{4}}-\\sqrt{2}\\exp^{\\frac{\\pi}{4}}\\cdot i\\\\ \\\\<br \/>\n\\textrm{Re{z}}&amp;=\\sqrt{2}\\exp^{\\frac{\\pi}{4}},\\quad \\ \\textrm{Im{z}}=-\\sqrt{2}\\exp^{\\frac{\\pi}{4}}, \\quad \\ =2\\exp^{\\frac{\\pi}{4}}, \\quad \\ \\overline{z}=\\sqrt{2}\\exp^{\\frac{\\pi}{4}}+\\sqrt{2}\\exp^{\\frac{\\pi}{4}}\\cdot i\\\\ \\\\<br \/>\n\\arg(z)&amp;=-\\frac{\\pi}{4}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<\/div>\n<h2 id=\"komplexe-folgen-und-reihen\" class=\"anchor\">Komplexe Folgen und Reihen<\/h2>\n<p>Wir wollen hier kurz das Thema &#8222;Konvergenzverhalten von komplexen Folgen und <a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/reihen\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Reihen<\/a>&#8220; anrei\u00dfen. Eine komplexe Folge oder <a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/reihen\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Reihe<\/a> ist dann konvergent, wenn ihr Real- und Imagin\u00e4rteil konvergiert.<\/p>\n<p>Die Grenzwertberechnung und der Nachweis von Konvergenz oder Divergenz von Folgen und Reihen funktioniert mit komplexen Zahlen genauso, wie mit reellen Zahlen. Die Anwendung der Konvergenzkriterien ist allerdings eingeschr\u00e4nkt. Es gibt kein Vergleichskriterium bei Folgen und kein Majoranten-, Minoranten- und Leibnizkriterium bei <a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/reihen\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Reihen<\/a> sowie allgemein keine Absch\u00e4tzungen nach oben oder unten, da &lt; und &gt; bei komplexen Zahlen nicht existiert.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\na_n = \\frac{n+3i}{2n-i}\\ ,\\quad \\lim\\limits_{n\\to \\infty}{a_n} = \\lim\\limits_{n\\to \\infty}{\\frac{n+3i}{2n-i}} = \\lim\\limits_{n\\to \\infty}{\\frac{n\\left(1+\\frac{3i}{n}\\right)}{n\\left(2-\\frac{i}{n}\\right)}}=\\frac{1}{2}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<hr \/>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nb_n = \\frac{n+3i}{2n-ni}\\ ,\\quad \\lim\\limits_{n\\to \\infty}{b_n} = \\lim\\limits_{n\\to \\infty}{\\frac{n\\left(1+\\frac{3i}{n}\\right)}{n\\left(2-i\\right)}}=\\frac{1}{2-i}=\\frac{1(2+i)}{4+1}=\\frac{2}{5}+\\frac{1}{5}i<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<hr \/>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nc_n = \\left(\\frac{3}{4}\\cdot \\text{e}^{i\\pi}\\right)^n\\ ,\\quad \\lim\\limits_{n\\to \\infty}{c_n} = \\lim\\limits_{n\\to \\infty}{\\left(\\frac{3}{4}\\cdot \\text{e}^{i\\pi}\\right)^n} = \\lim\\limits_{n\\to \\infty}{\\left(\\frac{3}{4}\\right)^n\\cdot \\text{e}^{i\\pi n}} = 0<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<hr \/>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\sum_{k=0}^{\\infty}&amp;{\\frac{(2+i)^k}{k!}}\\ , \\quad \\left|\\frac{a_{k+1}}{a_k}\\right|=\\left|\\frac{\\frac{(2+i)^{k+1}}{(k+1)!}}{\\frac{(2+i)^k}{k!}}\\right|=\\left|\\frac{(2+i)(2+i)^k\\cdot k!}{k!(k+1)\\cdot (2+i)^k}\\right|=\\left|\\frac{2+i}{k+1}\\right|\\lim\\limits_{k\\to \\infty} 0&lt;1\\\\<br \/>\n&amp;\\Rightarrow \\sum_{k=0}^{\\infty}{\\frac{(2+i)^k}{k!}}\\text{ konvergiert (absolut).}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Komplexe Zahlen (Symbol: ) stellen eine Erweiterung des Zahlenbereichs dar. Diese Erweiterung ist notwendig um Gleichungen wie z.B. l\u00f6sen zu k\u00f6nnen. F\u00fcr diese Gleichung finden wir keine reelle Zahl aus , die diese Gleichung l\u00f6sen w\u00fcrde. Komplexe Zahlen k\u00f6nnen in der Form dargestellt werden. Der Teil der Funktion wird Realteil- und Imagin\u00e4rteil genannt. Themen auf [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"parent":6291,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"categories":[64],"tags":[],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v14.7 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Komplexe Zahlen erkl\u00e4rt - StudyHelp Online-Lernen<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Die komplexen Zahlen stellen eine Erweiterung des Zahlenbereichs dar. Sie werden in der Mathematik mit dem Symbol i darsgestellt. 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