n<\/em>-ten Wurzeln, die nicht den bekannten Folgen zuzuordnen sind und in denen z.B. nicht einfach Terme gek\u00fcrzt werden k\u00f6nnen, begegnet uns meistens der Fall $\\infty^0$ (Beachte, dass $\\sqrt[n]{\\ldots}=(\\ldots)^\\frac{1}{n}$ gilt). Bei einigen solcher Folgen eignet sich das Vergleichskriterium, um den Grenzwert zu ermitteln:<\/p>\n\\begin{align*}
\na_n &= \\sqrt[n]{9^n+6^n+2^n}\\\\[3mm]
\n&\\hspace{0cm}\\begin{array}{rrcccl}\\hline
\n& u_n &\\leq& a_n &\\leq& o_n \\quad (\\forall n\\in\\mathbb{N})\\\\ \\\\
\n\\text{mit: } &u_n = \\sqrt[n]{9^n+0+0} &\\leq& a_n &\\leq& \\sqrt[n]{9^n+9^n+9^n} = o_n\\\\ \\\\
\n\\Rightarrow & \\lim\\limits_{n \\to \\infty}{\\sqrt[n]{9^n}}&\\leq& \\lim\\limits_{n \\to \\infty}{a_n} &\\leq& \\lim\\limits_{n \\to \\infty}{\\sqrt[n]{3\\cdot 9^n}}\\\\ \\\\
\n\\Leftrightarrow & \\lim\\limits_{n \\to \\infty}{9}&\\leq& \\lim\\limits_{n \\to \\infty}{a_n} &\\leq& 9\\cdot \\lim\\limits_{n \\to \\infty}{\\sqrt[n]{3}}\\\\ \\\\
\n\\Leftrightarrow & 9&\\leq& \\lim\\limits_{n \\to \\infty}{a_n} &\\leq& 9\\cdot 1 = 9\\\\[3mm]\\hline
\n\\end{array}\\\\ \\\\[3mm]
\n\\Rightarrow a_n &= \\sqrt[n]{9^n+6^n+2^n} \\rightarrow{9} \\ \\text{(f\u00fcr n $\\rightarrow$ 9)}
\n\\end{align*}<\/p>\n
\nWenn wir durch solche Standardverfahren nicht weiter kommen, bedienen wir uns der m\u00e4chtigen Regel von l’hospital. Hier m\u00fcssen die Einzelfolgen aus dem gerade vorliegenden Problem zu einer Funktion umdefiniert werden. Denn die Regel von l’hospital ist aufgrund ihrer Wirkweise nur f\u00fcr differenzierbare Funktionen definiert.<\/p>\n
\\begin{align*}
\n&a_n=(3n^3+e^n)^{\\frac{1}{n-1}}\\quad \\lim\\limits_{n \\to \\infty}{a_n}{=}\\lim\\limits_{n \\to \\infty}{e^{\\frac{1}{(n-1)}\\ln(3n^3+e^n)}}=\\lim\\limits_{n \\to \\infty}{e^{\\frac{\\ln(3n^3+e^n)}{(n-1)}}}\\ \\left(=e^{„\\frac{\\infty}{\\infty}“}\\right)\\\\ \\\\
\n&\\text{Definiere: }\\text{f: }{(0,\\infty)}\\rightarrow{\\mathbb{R}}, \\ f(x)={\\ln(3x^3+e^x)},\\ \\text{g: }{(0,\\infty)}\\rightarrow{\\mathbb{R}},\\ g(x)={x-1}\\\\ \\\\
\n&\\text{Nur Exponent: }\\lim\\limits_{x \\to \\infty}{\\frac{\\ln(3x^3+e^x)}{x-1}}\\stackrel{\\text{l.’h.}}{=}\\lim\\limits_{x \\to \\infty}{\\frac{\\frac{9x^2+e^x}{3x^3+e^x}}{1}}\\stackrel{\\text{l.’h.}}{=}\\ldots\\stackrel{\\text{l.’h.}}{=}\\lim\\limits_{x \\to \\infty}{\\frac{e^x}{e^x}}=1\\\\ \\\\
\n&\\lim\\limits_{x \\to \\infty}{\\exp^{\\frac{f(x)}{g(x)}}}=\\exp^1=e,\\quad \\text{also auch }\\lim\\limits_{n \\to \\infty}{a_n}=e
\n\\end{align*}<\/p>\n
\nGrenzwertnachweis durch das $\\varepsilon$-Kriterium. Vorgehen ausf\u00fchrlich notiert:<\/p>\n
$a_n=\\frac{42n^3+2n-10}{-n^3-n^2+4},\\quad$ $a=-42$, denn:<\/p>\n
Sei $\\varepsilon>0$, dann existiert zu jedem $\\varepsilon$ ein $\\underbrace{n_\\varepsilon {:=} \\left\\lceil \\frac{404}{\\varepsilon}\\right\\rceil}_{\\ast^1}$, sodass:<\/p>\n
\\begin{align*}
\n|{a_n-(-42)}| & = |\\frac{42n^3+2n-10}{-n^3-n^2+4}+\\frac{42(-n^3-n^2+4)}{-n^3-n^2+4}| {=} |\\frac{-42n^2+2n+158}{-n^3-n^2+4}| \\\\ \\\\
\n&=|\\underbrace{\\frac{-(42n^2-2n-158)}{-(n^3+n^2-4)}}_{\\ast^2}|\\stackrel{n\\geq 2}{<}|{\\underbrace{\\frac{42n^2+2n^2+158n^2}{n^3+0-\\frac{1}{2}n^3}}_{\\ast^3}}|=|{\\underbrace{\\frac{202n^2}{\\frac{1}{2}n^3}}_{\\ast^4}}| \\\\ \\\\
\n&=404\\frac{1}{n}\\leq \\underbrace{404\\frac{1}{n_\\varepsilon}{<}\\varepsilon}_{\\ast^5}
\n\\end{align*}<\/p>\n
mit $404\\frac{1}{n_\\varepsilon}$ < $\\varepsilon \\ \\Leftrightarrow \\ n_\\varepsilon$ < $\\frac{404}{\\varepsilon} \\stackrel{\\text{da } n_\\epsilon\\in\\mathbb{N}}{\\Rightarrow} \\ \\underbrace{n_\\epsilon\\text{:=}\\left\\lceil \\frac{404}{\\epsilon}\\right\\rceil}_{\\ast^6}$<\/p>\n
$\\ast^1$: Das hier wird erst notiert, wenn die ganze Rechnung fertig ist. Oft hat es den Anschein, dass dieser Ausdruck „vom Himmel f\u00e4llt‘. Dem ist nicht so!<\/p>\n
$\\ast^2$: Minus ausgeklammert, damit vor den h\u00f6chsten Potenzen positive Vorzeichen stehen. Nicht unbedingt n\u00f6tig, aber angenehmer zu rechnen.<\/p>\n
$\\ast^3$: Der Ausdruck musste gr\u00f6\u00dfer werden. Ziel ist es, einen Ausdruck zu finden, den wir auf n<\/em> umformen k\u00f6nnen, der aber eine Nullfolge bleibt! Daher hier den Z\u00e4hler vergr\u00f6\u00dfern (alle Terme, die nicht der h\u00f6chsten Potenz entsprechen, einfach zur h\u00f6chsten Potenz machen!) und Nenner verkleinern (alle positiven zu 0 setzen und negativen zur h\u00f6chsten Potenz machen mit einem Vorfaktor, der die urspr\u00fcnglich h\u00f6chste Potenz nicht ausl\u00f6scht. Die 4 ist zwar gr\u00f6\u00dfer als $\\frac{1}{2}$, aber ab $n\\geq 2$ ist der umgeschriebene Term wieder gr\u00f6\u00dfer).<\/p>\n$\\ast^4$: Ab hier kann theoretisch auf n<\/em> umgeformt werden. Also n<\/em> durch das $n_\\epsilon$ ersetzen.<\/p>\n$\\ast^5$: Das ist der „Zielausdruck“. Diesen k\u00f6nnen wir jetzt explizit auf $n_\\varepsilon$ umformen. Das liefert uns n\u00e4mlich passend zur Definition einen Folgenindex ($n_\\varepsilon$), ab dem die Folge einen vorgegebenen Bereich (den $\\varepsilon$-Bereich) nicht mehr verl\u00e4sst. Merke: Dieser Ausdruck hat mit dem Grenzwert von $a_n$ augenscheinlich \u00fcberhaupt nichts zu tun.<\/p>\n
$\\ast^6$: Hier nur noch den Term $\\frac{404}{\\varepsilon}$ zur n\u00e4chsten nat\u00fcrlichen Zahl aufrunden, fertig.<\/p>\n
\nRekursive Folgen<\/h2>\n
Wie schon zu Beginn des Kapitels beschrieben, stellen die rekursiven Folgen eine andere Form der Berechnung von Folgengliedern dar. F\u00fcr viele Folgen gibt es eine rekursive und eine explizite Darstellung. Die rekursive ist meistens sehr viel kompakter, weswegen diese h\u00e4ufig in Computerprogrammen benutzt wird (Realisierung einfach durch rekursive Funktionsaufrufe). Die explizite Darstellung ist jedoch sehr viel schneller in der Berechnung, da jedes Folgenglied direkt berechnet werden kann.<\/p>\n
\n
Beispiel zur Fibonacci-Folge<\/h3>\n
$(a_n)_{n\\in\\mathbb{N}}=(1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,\\ldots)$ benannt nach Leonardo Fibonacci[im Jahr 1202]. Die Folgenglieder werden auch Fibonacci-Zahlen genannt.<\/p>\n
Rekursive Darstellung: Diese ist ziemlich kompakt definiert. Die aktuelle Fibonacci-Zahl ist die Aufsummierung der jeweils vorherigen beiden:<\/p>\n
$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}\\quad \\quad \\text{mit}\\quad \\quad a_1=1,\\quad a_2=1$<\/p>\n
Explizite Darstellung: Auf den ersten Blick nicht ersichtlich, dass die Folgenglieder \u00fcbereinstimmen.<\/p>\n
$a_n=\\frac{1}{\\sqrt{5}}\\left[\\left(\\frac{1+\\sqrt{5}}{2}\\right)^n-\\left(\\frac{1-\\sqrt{5}}{2}\\right)^n\\right] $<\/p>\n
Diese Folge ist in vielerlei Hinsicht faszinierend. Ein paar Beispiele:<\/p>\n
\n- Es gab \u00fcber 500 Jahre keine explizite Darstellung dieser Folge. Offiziell entdeckt haben sie \\textsc{Moivre} und \\textsc{Binet} unabh\u00e4ngig von einander im Jahr 1718 und 1843.<\/li>\n
- Der Grenzwert vom Verh\u00e4ltnis zweier aufeinander folgenden Folgenglieder ($\\lim\\limits_{n \\to \\infty}{\\frac{a_{n+1}}{a_n}}$) ist der sogenannte goldene Schnitt<\/strong> $\\varphi=\\frac{1+\\sqrt{5}}{2}\\approx 1,618$. Diese Zahl taucht z.B. als Proportion in vielen Lebewesen auf. Sogar Architekten benutzen diese Zahl beim Entwurf von Geb\u00e4uden f\u00fcr L\u00e4ngenverh\u00e4ltnisse.<\/li>\n
- Der goldene Schnitt wird in der Fotografie genutzt, um Szenen in diesem Bildverh\u00e4ltnis interessanter wirken zu lassen.<\/li>\n
- Die Fibonacci-Zahlen sind Grundlage vieler Kunstgegenst\u00e4nde und tauchen aufgrund ihrer Faszination sogar in manchen Filmen, Serien oder Musikst\u00fccken auf.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n
\n
Beispiel zur Fakult\u00e4t<\/h3>\n
$(a_n)_{n\\in\\mathbb{N}}=(1,2,6,24,120,720,\\ldots)$ mit der Schreibweise der Zuordnungsvorschrift $n!=a_n$<\/p>\n
Rekursive Darstellung:<\/p>\n
$a_n=n\\cdot a_{n-1}\\quad\\quad\\text{mit}\\quad\\quad (a_0=1),\\quad a_1=1$<\/p>\n
Explizite Darstellung:
\n$a_n=\\prod_{k=1}^{n}{k}=1\\cdot 2\\cdot 3\\cdot\\ldots\\cdot(n-1)\\cdot n $<\/p>\n
Ausblick f\u00fcr Interessierte: Die Fakult\u00e4t kann von den nat\u00fcrlichen Zahlen auf den Bereich der reellen Zahlen erweitert werden. Dazu dient z.B. die sogenannte Gamma-Funktion <\/strong> $\\Gamma$:
\n$\\Gamma (x) = \\int\\limits_0^\\infty {s^{x – 1} e^{ – s} ds}\\quad \\text{mit Eigenschaft}\\quad x!=\\Gamma(x+1)=x\\cdot\\Gamma(x)\\quad\\text{z.B. ist } \\left(\\frac{1}{2}\\right)!=\\frac{\\sqrt{\\pi}}{2}$<\/p>\n<\/div>\n <\/p>\n
Zuordnungsvorschrift aufstellen<\/h3>\n
Muster in der Realit\u00e4t zu entdecken und daraus ein mathematisches Modell (z.B. in Form einer rekursiven Folge) aufzustellen, geh\u00f6rt auf jeden Fall zu den spannenden Seiten der Mathematik, da nat\u00fcrlich der Anwendungsbezug direkt gegeben ist. Wichtiger f\u00fcr dich d\u00fcrfte an dieser Stelle jedoch sein, f\u00fcr eine …-Schreibweise eines mathematischen Ausdrucks eine rekursive Bildungsvorschrift zu entwickeln. Dabei musst du ebenfalls (sich wiederholende) Muster in dem Ausdruck erkennen und versuchen, dieses Muster als rekursiven Aufruf in dem darauf folgenden Folgenglied zu nutzen. Falls es m\u00f6glich ist das Muster durch eine Rekursionsvorschrift zu beschreiben, sind diese mit etwas \u00dcbung relativ leicht zu identifizieren, da ansonsten diese Schreibweise nicht klar werden w\u00fcrde. Meistens ist direkt der Grenzwert als „…“ -Schreibweise notiert. Dieser kann dann \u00fcber die gefundene Bildungsvorschrift berechnet werden.<\/p>\n
\n$a=1+\\frac{1}{1+\\frac{1}{1+\\frac{1}{\\ldots}}}$<\/p>\n
Hier sollte euch auffallen, dass sich das Muster $1+\\frac{1}{\\ldots}$ an der Stelle der … wiederholt. Daher setzen wir an die Stelle der … unser $a_n$ und das Muster ist dann $a_{n+1}$. Damit haben wir:<\/p>\n
$a_{n+1} =1+\\frac{1}{a_n}\\quad \\quad \\text{mit (f\u00fcr dieses Problem unbedeutendem)}\\quad \\quad a_1=1$
\n$\\Rightarrow\\ a =1+\\frac{1}{a}\\ \\Leftrightarrow\\ a^2-a-1=0\\ \\Leftrightarrow\\ a_{1,2}=\\frac{1\\pm\\sqrt{5}}{2}$<\/p>\n
Es ist offensichtlich, dass a > 0 gelten muss, also ist $a=\\frac{1+\\sqrt{5}}{2}$<\/p>\n<\/div>\n
<\/p>\n
Rekursiv zu Explizit<\/h3>\n
F\u00fcr eine rekursiv definierte Folge die explizite Zuordnungsvorschrift zu bestimmen, ist meistens eine schwierige — oftmals sogar un\u00fcberwindbare — Aufgabe. Es gibt hier kein Kochrezept, wie du dir vielleicht schon denken kannst. Man sollte damit beginnen, die ersten Folgenglieder zu bestimmen und m\u00f6gliche Muster zu entdecken. Was ist von einem Schritt zu dem n\u00e4chsten passiert und wie kann diese Berechnung unabh\u00e4ngig von vorherigen Folgengliedern „modelliert“ werden.<\/p>\n
\n
Rekursive Darstellung: $\\displaystyle a_{n+1}=(a_n)^2\\qquad \\text{ mit } \\qquad a_1=2$<\/p>\n
\\begin{array}{ccccc}
\na_1 & a_2&a_3&a_4&\\cdots\\\\\\hline
\n2 & 4 & 16 & 256 &\\cdots\\end{array}<\/p>\n
Du solltest erkennen:<\/p>\n
\\begin{array}{ccccc}
\na_1 & a_2&a_3&a_4&\\cdots\\\\\\hline
\n2^1 & 2^2 & 2^4 & 2^8 &\\cdots
\n\\end{array}<\/p>\n
Nun solltest du weiter sehen, dass der Exponent der Folgenglieder einem Bildungsgesetz folgt wie in etwa $2^n$. Jetzt muss dieses nur noch mit dem Index der rekursiven Folgenglieder \u00fcbereinstimmen:<\/p>\n
\\begin{array}{ccccc}
\na_1 & a_2&a_3&a_4&\\cdots\\\\\\hline
\n2^{\\left(2^0\\right)} & 2^{\\left(2^1\\right)} & 2^{\\left(2^2\\right)} & 2^{\\left(2^3\\right)} &\\cdots
\n\\end{array}<\/p>\n
Du solltest nun erkennen:\\quad<\/p>\n
\\begin{array}{cc}
\n\\cdots& a_n\\\\\\hline
\n\\cdots& 2^{\\left(2^{n-1}\\right)}
\n\\end{array}<\/p>\n
Also folgt die explizite Darstellung: $\\displaystyle a_n=2^{\\left(2^{n-1}\\right)}$<\/p>\n
Achtung: Dies ist offiziell erst die Vermutung \u00fcber die explizite Darstellung, da das Bildungsgesetz nur \u00fcber die ersten Folgenglieder abgeleitet wurde. Gilt diese auch allgemein? Beweis mit vollst\u00e4ndiger Induktion!<\/strong><\/p>\nIA: $a_{1,\\text{rek.}}=2\\stackrel{!}{=}2^{\\left(2^{1-1}\\right)}=2^{\\left(2^0\\right)}=2^1=2=a_{1,\\text{expl.}}$<\/p>\n
IS: $n \\rightarrow n+1$<\/p>\n
IV: $a_n=2^{\\left(2^{n-1}\\right)}$ gilt f\u00fcr ein beliebiges, aber festes.<\/p>\n
IB: Gilt auch $a_{n+1}=2^{\\left(2^{(n+1)-1}\\right)}$?<\/p>\n
IV $\\rightarrow$ IB:
\n\\begin{align*}
\na_{n+1,\\text{rek.}}=\\left(a_n\\right)^2\\stackrel{IV}{=}\\left(2^{(2^{n-1})}\\right)^2=2^{2^1\\cdot 2^{n-1}}=2^{2^{n-1+1}}=2^{2^{(n+1)-1}}=a_{n+1,\\text{expl.}}
\n\\end{align*}
\nNach dem Prinzip der vollst\u00e4ndigen Induktion gilt also $\\displaystyle a_n=2^{\\left(2^{n-1}\\right)}$ f\u00fcr alle $n\\in\\mathbb{N}$.<\/p>\n<\/div>\n
<\/p>\n
Grenzwertberechnung<\/h3>\n
Grenzwerte von rekursiv definierten Folgen zu berechnen ist in der Regel leichter als bei expliziten Folgen. Wir bedienen uns dabei folgender Eigenschaft:$\\lim\\limits_{n \\to \\infty}{a_n}=\\lim\\limits_{n \\to \\infty}{a_{n+1}}=a$<\/p>\n
Da f\u00fcr $a_{n+1}$ ein Bildungsgesetz vorliegt, das von $a_n$ (evtl. auch von $a_{n-1},\\ a_{n-2},\\ldots$) abh\u00e4ngt, brauchen wir bei der Grenzwertberechnung nur auf $a$ aufzul\u00f6sen. Doch was ist, wenn kein eindeutiges Ergebnis vorliegt? Und wie best\u00e4tigen wir, dass \u00fcberhaupt ein Grenzwert existieren kann? Dies h\u00e4ngt stark mit der Anfangsbedingung der Folge zusammen. Dazu m\u00fcssen die Eigenschaften Beschr\u00e4nktheit und Monotonie nachgewiesen werden. Verfahren wie das $\\varepsilon$-Kriterium, Vergleichskriterium oder Folge umformen, wie sie bei den expliziten Folgen \u00fcblich sind, liefern hier in der Regel keine Ergebnisse.<\/p>\n
Falls es eine explizite Zuordnungsvorschrift f\u00fcr die vorliegende rekursiv definierte Folge gibt, kann nat\u00fcrlich auf die Methoden aus Kapitel „Explizitefolgen“ zur\u00fcckgegriffen werden. Versuche jedoch nicht, erst so eine Vorschrift zu finden, wenn es lediglich um eine Grenzwertberechnung geht!<\/em><\/p>\nGrenzwertberechnung rekursive Folgen — Schema<\/p>\n
\n- Beschr\u00e4nktheit} der Folge nachweisen; durch vollst\u00e4ndige Induktion<\/li>\n
- Monotonie} nachweisen (fallend oder steigend), auch oft durch Induktion<\/li>\n
- „Aufgrund der nachgewiesenen Beschr\u00e4nktheit und Monotonie existiert ein Grenzwert der Folge“<\/li>\n
- Grenzwert ausrechnen nach Grenzwertberechnenrekursivefolge. M\u00f6glicherweise gibt es mehrere durch die reine Rechnung; durch den Startwert und Punkt 1) und 2) den korrekten ausw\u00e4hlen und die restlichen ausschlie\u00dfen<\/li>\n<\/ol>\n
Beispiel:<\/strong>
\n$a_{n+1}=\\frac{2a_n}{3a_n+1}\\ ,\\quad a_1=10$<\/p>\n1. Beschr\u00e4nktheit:<\/strong> $a_{n}$ ist nach unten durch $\\frac{1}{3}$ beschr\u00e4nkt (also $a_{n}>\\frac{1}{3}\\ \\forall n\\in\\mathbb{N}$):<\/p>\nIA: $n=1: a_1=10>\\frac{1}{3}$<\/p>\n
IS: $n\\rightarrow n+1$<\/p>\n
IV: $a_n>\\frac{1}{3}$ gilt f\u00fcr ein beliebiges, aber festes $n\\in\\mathbb{N}$<\/p>\n
IB: Gilt auch $a_{n+1}>\\frac{1}{3}$?<\/p>\n
IV $\\rightarrow$ IB:
\n\\begin{align*}
\n\\ a_{n+1}>\\frac{1}{3}\\ \\Leftrightarrow\\ \\frac{2a_n}{3a_n+1}>\\frac{1}{3}\\ \\Leftrightarrow\\ 6a_n>3a_n+1\\ \\Leftrightarrow\\ 3a_n>1\\ \\Leftrightarrow\\ a_n>\\frac{1}{3}
\n\\end{align*}
\nNach dem Prinzip der vollst\u00e4ndigen Induktion gilt also $\\displaystyle a_n>\\frac{1}{3}$ f\u00fcr alle $n\\in\\mathbb{N}$.<\/p>\n
<\/p>\n
2. Monotonie:<\/strong> $a_n$ ist monoton fallend (also $a_n>a_{n+1}\\ \\forall n\\in\\mathbb{N}$):<\/p>\nIA: $n=1: a_1=10>\\frac{20}{31}=a_2$<\/p>\n
IS: $n \\rightarrow n+1$<\/p>\n
IV: Die Aussage $a_n$ > $a_{n+1}$ gilt f\u00fcr ein beliebiges, aber festes $n\\in\\mathbb{N}$<\/p>\n
IB: Gilt auch $a_{n+1}>a_{n+2}$?<\/p>\n
IV $\\rightarrow$ IB:
\n\\begin{align*}
\n&a_{n+1}>a_{n+2}\\ \\Leftrightarrow\\ \\frac{2a_n}{3a_n+1}>\\frac{2a_{n+1}}{3a_{n+1}+1}\\ \\Leftrightarrow\\ 2a_n(3a_{n+1}+1)>2a_{n+1}(3a_n+1)\\\\
\n\\Leftrightarrow\\ & 6a_na_{n+1}+2a_n>6a_{n+1}a_n+2a_{n+1}\\ \\Leftrightarrow\\ 2a_n>2a_{n+1}\\ \\Leftrightarrow\\ a_n>a_{n+1} \\text{ gilt nach IV}
\n\\end{align*}
\nNach dem Prinzip der vollst\u00e4ndigen Induktion gilt also $\\displaystyle a_n>a_{n+1}$ f\u00fcr alle $n\\in\\mathbb{N}$.<\/p>\n
<\/p>\n
3. Aufgrund der nachgewiesenen Beschr\u00e4nktheit und Monotonie existiert ein Grenzwert der Folge<\/strong><\/p>\n <\/p>\n
4. Grenzwert:<\/strong> $\\lim a_n = \\lim a_{n+1} = a$
\n\\begin{align*}
\n&a=\\frac{2a}{3a+1}\\ \\Leftrightarrow\\ 3a^2+a=2a\\ \\Leftrightarrow\\ 3a^2-a=0\\ \\Leftrightarrow\\ a(3a-1)=0\\\\
\n\\ \\Leftrightarrow\\ &a=0 \\vee a=\\frac{1}{3}\\\\
\n\\end{align*}
\nAufgrund der Beschr\u00e4nktheit von $a_n$ kommt $a=0$ nicht als Grenzwert infrage. Also muss $a=\\frac{1}{3}$ der Grenzwert der Folge sein.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"Themen auf dieser Seite Einleitung in das Thema Folgen Definition von Folgen Bekannte Folgen und deren Grenzwerte Konvergenzkriterien Rechenregeln Explizite Folgendarstellung Rekursive Folgen Einleitung in das Thema Folgen Eine Folge ist eine Auflistung von nummerierten Objekten: Die Zuordnungsvorschrift ist dann eine Funktionsvorschrift, in die nur nat\u00fcrliche Zahlen eingesetzt werden d\u00fcrfen. Die Zuordnungsvorschrift ordnet jeder Zahl […]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"parent":6291,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"categories":[64],"tags":[],"yoast_head":"\n
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