{"id":13043,"date":"2019-05-27T15:28:35","date_gmt":"2019-05-27T13:28:35","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/?page_id=13043"},"modified":"2021-02-09T11:02:06","modified_gmt":"2021-02-09T10:02:06","slug":"reihen","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/reihen\/","title":{"rendered":"Reihen"},"content":{"rendered":"\n<p>Eine Reihe ist der Grenzwert der Partialsummen ($s_n$) einer <a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/folgen\/\">Folge<\/a> (hier $(a_k)_{k\\in\\mathbb{N}}$ ), sprich die Aufsummierung aller Folgenglieder von $a_k$:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\text{Erste Partialsumme}\\quad s_1 &amp;=\\sum_{k=1}^{1}{a_k} = a_1\\\\<br \/>\ns_2 &amp;=\\sum_{k=1}^{2}{a_k} = a_1 + a_2\\\\<br \/>\n\\vdots &amp; \\\\<br \/>\n\\text{n-te Partialsumme}\\quad s_n &amp;=\\sum_{k=1}^{n}{a_k} = a_1 + a_2 + \\ldots + a_n\\\\<br \/>\n\\Rightarrow\\quad\\lim\\limits_{n\\to\\infty}{s_n} &amp;= \\sum_{k=1}^{n}{a_k} = \\sum_{k=1}^{\\infty}{a_k}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>$ \\sum_{k=1}^{\\infty}{a_k} $ ist die (unendliche) Reihe!<\/p>\n<hr \/>\n<p><strong>Themen auf dieser Seite<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#grundlagen-zu-reihen\">Grundlagen zu Reihen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#bekannte-reihen\">Bekannte Reihen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#reihenwert-berechnen\">Reihenwert berechnen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#konvergenzkriterien\">Konvergenzkriterien<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#konvergenzverhalten-zeigen\">Konvergenzverhalten zeigen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#potenzreihen\">Potenzreihen<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<hr \/>\n<h2 id=\"grundlagen-zu-reihen\" class=\"anchor\">Grundlagen zu Reihen<\/h2>\n<p>Im Allgemeinen geht es bei Reihen darum, Konvergenz oder Divergenz nachzuweisen. Bei speziellen Reihen l\u00e4sst sich zudem ein Grenzwert berechnen. Es existiert dabei nicht die eine L\u00f6sung, Konvergenz oder Divergenz zu zeigen. Bei vielen Reihen funktioniert der Nachweis mit mehr als einem Kriterium. Die Auswahl eines Kriteriums, welches &#8222;funktioniert&#8220;, ist hier oft die gro\u00dfe H\u00fcrde.<\/p>\n<p>\\begin{alignat*}{2}<br \/>\n&amp;\\sum_{k}^{\\infty}{a_k} &amp;&amp;\\quad \\text{konvergiert }\\rightarrow \\text{ Konvergenz}\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\sum_{k}^{\\infty}{|{a_k}|} &amp;&amp;\\quad \\text{konvergiert }\\rightarrow \\text{ absolute Konvergenz}<br \/>\n\\end{alignat*}<\/p>\n<p>Damit gilt:<br \/>\n\\begin{align}<br \/>\n&amp;\\sum_{k}^{\\infty}{|{a_k}|} \\text{ konvergent}\\ \\Rightarrow\\ \\sum_{k}^{\\infty}{a_k} \\text{ konvergent}\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\sum_{k}^{\\infty}{|{a_k}|}\\geq|{\\sum_{k}^{\\infty}{a_k}|}\\geq\\sum_{k}^{\\infty}{a_k}<br \/>\n\\end{align}<\/p>\n<p><strong>Noch nicht verstanden? Dann schau dir dieses Erkl\u00e4rvideo an!<\/strong><br \/>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Absolute Konvergenz, normale Konvergenz, Folgen und Reihen, Unimathematik | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_ThhZQGUJwik\"><div id=\"lyte_ThhZQGUJwik\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FThhZQGUJwik%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Absolute Konvergenz, normale Konvergenz, Folgen und Reihen, Unimathematik | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/ThhZQGUJwik\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FThhZQGUJwik%2F0.jpg\" alt=\"Absolute Konvergenz, normale Konvergenz, Folgen und Reihen, Unimathematik | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr \/>\n<h2 id=\"rechenregeln\" class=\"anchor\">Rechenregeln<\/h2>\n<p>Aus einer Reihe d\u00fcrfen konstante Faktoren (nicht vom derzeitigen Laufindex abh\u00e4ngig) herausgezogen werden, egal ob die Reihe konvergiert oder divergiert (eine konvergente Reihe bleibt konvergent; ein divergente Reihe wird auch durch das Herausziehen von konstanten Faktoren immer noch divergieren):<br \/>\n\\begin{align}<br \/>\n&amp;\\sum_k^\\infty{\\lambda\\cdot a_k}=\\lambda\\cdot\\sum_k^\\infty{a_k},\\qquad \\lambda\\in\\mathbb{R},\\quad k\\in\\mathbb{Z}<br \/>\n\\end{align}<br \/>\n\u00c4hnlich wie bei Folgen gilt: Wenn zwei Reihen $\\sum{a_k}$, $\\sum{b_k}$ konvergent sind, so gilt<br \/>\n\\begin{align}<br \/>\n&amp;\\left(\\sum_k^\\infty{a_k}\\right)+\\left(\\sum_k^\\infty{b_k}\\right)=\\sum_k^\\infty{(a_k+b_k)}<br \/>\n\\end{align}<br \/>\nHier ist Vorsicht geboten! Wenn eine Summe $\\sum_k^\\infty{(a_k+b_k)}$ konvergiert, bedeutet das keineswegs, dass die einzelnen Reihen $\\sum{a_k}$, $\\sum{b_k}$ konvergent sind!<\/p>\n<p>Falls zwei Reihen $\\sum{a_k}$, $\\sum{b_k}$ absolut konvergent sind, dann ist $\\sum{c_k}$ mit<br \/>\n\\begin{align}<br \/>\n&amp;\\sum_{k=0}^{\\infty}{c_k}=\\sum_{k=0}^{\\infty}{\\left(\\sum_{n=0}^{k}{a_nb_{k-n}}\\right)}=\\left(\\sum_{k=0}^{\\infty}{a_k}\\right)\\cdot\\left(\\sum_{k=0}^{\\infty}{b_k}\\right)<br \/>\n\\end{align}<br \/>\nebenfalls absolut konvergent. Das Produkt wird <strong>Cauchy-Produkt<\/strong> dieser beiden Reihen genannt. F\u00fcr eine <strong>Doppelreihe<\/strong> gilt allgemein:<br \/>\n\\begin{align}<br \/>\n\\begin{aligned}<br \/>\n\\sum_{k=0}^{K}{\\left(\\sum_{n=0}^{N}{a_kb_n}\\right)}&amp;=(a_0b_0+a_0b_1+\\ldots+a_0b_N)+(a_1b_0+a_1b_1+\\ldots+a_1b_N)\\\\<br \/>\n&amp;+\\ldots+(a_Kb_0+a_Kb_1+\\ldots+a_Kb_N)<br \/>\n\\end{aligned}<br \/>\n\\end{align}<\/p>\n<hr \/>\n<h2 id=\"bekannte-reihen\" class=\"anchor\">Bekannte Reihen<\/h2>\n<p>F\u00fcr die Grenzwertberechnung von speziellen Reihen m\u00fcssen diese Reihen nat\u00fcrlich bekannt sein. Ebenfalls ist es wichtig (besonders f\u00fcr das Majoranten- und Minorantenkriterium) zu wissen, welche (Standard)Reihen konvergieren\/divergiere.<\/p>\n<p><strong>Exponentialreihe:<\/strong><br \/>\n\\begin{align}<br \/>\n&amp;\\sum_{k=0}^{\\infty}{\\frac{x^k}{k!}} = \\text{e}^x<br \/>\n\\end{align}<\/p>\n<p><strong>Reihe des Logarithmus:<\/strong><br \/>\n\\begin{align}<br \/>\n&amp;\\sum_{k=0}^{\\infty}{(-1)^{k}\\frac{x^{k+1}}{k+1}} = \\ln(x+1)\\quad\\text{ mit x &gt; 1}<br \/>\n\\end{align}<\/p>\n<p><strong>Reihendarstellungen der trigonometrischen Funktionen:<\/strong><br \/>\n\\begin{alignat}{2}<br \/>\n&amp;\\sum_{k=0}^{\\infty}{(-1)^k\\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}} &amp;&amp;= \\sin(x)\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\sum_{k=0}^{\\infty}{(-1)^k\\frac{x^{2k}}{(2k)!}} &amp;&amp;= \\cos(x)<br \/>\n\\end{alignat}<br \/>\nWichtig bei den oben genannten Reihen ist, dass der Laufindex bei 0 beginnt.<\/p>\n<hr \/>\n<h3>Teleskopreihe:<\/h3>\n<p>Dies ist keine explizite Reihe, sondern eher eine Eigenschaft, die diese besitzen. Bei Teleskopreihen lassen sich fast alle Summanden zu Null addieren. Daher stammt auch der Name, da sich die Reihe wie ein Teleskop &#8222;zusammenzieht&#8220;. Das g\u00e4ngigste Beispiel hierf\u00fcr ist folgende Reihe:<\/p>\n<p>\\begin{alignat}{2}<br \/>\n&amp;\\sum_{k=1}^{\\infty}{\\left(\\frac{1}{k(k+1)}\\right)}&amp;&amp;\\stackrel{\\text{PBZ}}{=}\\sum_{k=1}^{\\infty}{\\left(\\frac{1}{k}-\\frac{1}{k+1}\\right)}=1,\\quad\\text{da}\\label{teleskopreihe}\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\sum_{k=1}^{n}{\\left(\\frac{1}{k}-\\frac{1}{k+1}\\right)}&amp;&amp;=\\frac{1}{1}-\\frac{1}{2}+\\frac{1}{2}-\\frac{1}{3}+\\frac{1}{3}-\\frac{1}{4}+\\ldots+\\frac{1}{n}-\\frac{1}{n+1}\\notag\\\\ \\\\<br \/>\n&amp; &amp;&amp;=1-\\frac{1}{n+1}\\overset{{n \\to \\infty}}{\\longrightarrow}1-0=1\\notag<br \/>\n\\end{alignat}<\/p>\n<p>Auch hier ist Vorsicht geboten! Untersuchen wir z.B. die Reihe $\\sum_k^\\infty{(-1)^k}$ und sagen, dass sich alle Summanden herausk\u00fcrzen (da 1-1 immer 0 ist) und damit der Wert 0 ist, liegen wir falsch. Auf jeden Fall notwendig ist, dass die Folge in der Reihe eine Nullfolge ist.<\/p>\n<hr \/>\n<h3>Geometrische Reihe und deren Partialsumme:<\/h3>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\sum_{k=0}^{\\infty}{q^k} \\ &amp;\\overset{{|{q}|\\text{&lt;}1}}{=} \\ \\frac{1}{1-q}<br \/>\n\\begin{cases}<br \/>\n|q|&lt;1&amp;\\text{Reihe konvergiert}\\\\<br \/>\n|q|\\geq 1&amp;\\text{Reihe divergiert}<br \/>\n\\end{cases}\\\\<br \/>\n\\sum_{k=0}^{n}{q^k}&amp;=\\frac{1-q^{n+1}}{1-q}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Wenn lediglich Konvergenz oder Divergenz gezeigt werden muss, ist es egal, ab welcher Zahl der Laufindex <em>k<\/em> beginnt, wie z.B. bei der harmonischen Reihe.<\/p>\n<hr \/>\n<h3>(Allgemeine) Harmonische Reihe:<\/h3>\n<p>\\begin{align}<br \/>\n&amp;\\sum_{k=1}^{\\infty}{\\frac{1}{k^a}}\\; \\begin{cases}a\\leq 1&amp;\\text{Reihe divergiert}\\\\ a &gt; 1&amp;\\text{Reihe konvergiert}\\end{cases}\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\sum_{k=1}^{\\infty}{\\frac{1}{k}} \\quad \\text{divergiert }(a=1)<br \/>\n\\end{align}<\/p>\n<hr \/>\n<h3>Einige bekannte Grenzwerte:<\/h3>\n<p>Achtung: $k$ beginnt hier jeweils bei 1<br \/>\n\\begin{alignat*}{3}<br \/>\n&amp;\\sum_{k=1}^{\\infty}{\\frac{1}{k^2}}=\\frac{\\pi^2}{6} \\quad\\qquad &amp;&amp;\\sum_{k=1}^{\\infty}{\\frac{1}{k^4}}=\\frac{\\pi^4}{90} \\quad\\qquad &amp;&amp;\\sum_{k=1}^{\\infty}{\\frac{1}{k^6}}=\\frac{\\pi^6}{945}\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\sum_{k=1}^{\\infty}{\\frac{(-1)^{k+1}}{2k-1}}=\\frac{\\pi}{4}\\quad\\qquad &amp;&amp;\\sum_{k=1}^{\\infty}{\\frac{(-1)^{k+1}}{k}}=\\ln(2) \\quad\\qquad &amp;&amp;<br \/>\n\\end{alignat*}<\/p>\n<hr \/>\n<h3>Summenformeln:<\/h3>\n<p>\\begin{alignat}{2}<br \/>\n&amp;\\sum_{k=1}^{n}{k} &amp;&amp;= \\frac{n(n+1)}{2}\\quad (\\text{Gau\u00df&#8217;sche Summenformel})\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\sum_{k=1}^{n}{k^2} &amp;&amp;= \\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\sum_{k=1}^{n}{k^3} &amp;&amp;= \\left(\\frac{n(n+1)}{2}\\right)^2<br \/>\n\\end{alignat}<\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Summenformeln, Mathehilfe online | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe qsa_\\&amp;enablejsapi\\=1\\&amp;origin\\=https:\/\/www.studyhelp.de\" id=\"WYL_kvNeuZX5TA4\"><div id=\"lyte_kvNeuZX5TA4\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FkvNeuZX5TA4%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Summenformeln, Mathehilfe online | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/kvNeuZX5TA4\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FkvNeuZX5TA4%2F0.jpg\" alt=\"Summenformeln, Mathehilfe online | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr \/>\n<h2 id=\"reihenwert-berechnen\" class=\"anchor\">Reihenwert berechnen<\/h2>\n<p>Um konkrete Werte einer Reihe berechnen zu k\u00f6nnen, muss diese in einer aus dem vorherigen Kapitel bekannter Darstellungsweise vorliegen. Eine Indexverschiebung wird ben\u00f6tigt, um Reihendarstellungen derart umschreiben zu k\u00f6nnen:<\/p>\n<p><strong>Arten der Indexverschiebung<\/strong><\/p>\n<ol>\n<li>Verschiebung durch Ab\u00e4ndern des Laufindex innerhalb der Summe<\/li>\n<li>Verschiebung durch Herausziehen\/Hinzuf\u00fcgen von einzelnen Summanden<\/li>\n<\/ol>\n<p><strong>1. Art<\/strong><br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\sum_{k=-1}^{\\infty}\\frac{2^{k+1}}{(k+1)!}=\\sum_{k-1=-1}^{(k-1=)\\infty}\\frac{2^k}{(k-1+1)!}=\\sum_{k=0}^{(k=)\\infty+1}\\frac{2^k}{k!}=\\sum_{k=0}^{\\infty}\\frac{2^k}{k!}=\\text{e}^2<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Falls bei einer solchen Indexverschiebung zu einem endlichen Wert aufsummiert wird, muss auch der Endwert entsprechend angepasst werden. Bei $\\infty$ ist das nat\u00fcrlich nicht n\u00f6tig.<\/p>\n<p><strong>2. Art<\/strong><br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n&amp;\\sum_{k=1}^{\\infty}\\frac{3^{k}}{k!}=\\sum_{k=0}^{\\infty}\\frac{3^{k}}{k!}-\\underbrace{\\frac{3^0}{0!}}_{- 0. \\text{Eintrag}}=\\sum_{k=0}^{\\infty}\\frac{3^{k}}{k!}-1=\\text{e}^3-1\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\sum_{k=2}^{\\infty}{\\left(\\frac{1}{3}\\right)^k} = \\sum_{k=0}^{\\infty}{\\left(\\frac{1}{3}\\right)^k} \\underbrace{- 1}_{- 0. \\text{Eintrag}}\\underbrace{- \\frac{1}{3}}_{- 1. \\text{Eintrag}} = \\frac{1}{1-\\frac{1}{3}} &#8211; 1 &#8211; \\frac{1}{3} = \\frac{1}{6}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>Kombiniertes Beispiel<\/strong><br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\sum_{n=0}^{\\infty}\\frac{4^{n}}{(n+2)!}&amp;=\\sum_{n-2=0}^{\\infty}\\frac{4^{n-2}}{(n+2-2)!}=\\sum_{n=2}^{\\infty}\\frac{4^{-2}\\cdot 4^n}{n!}\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;=4^{-2}\\left(\\sum_{n=0}^{\\infty}\\frac{4^n}{n!}-\\frac{4^0}{0!}-\\frac{4^1}{1!}\\right)=4^{-2}\\left(\\text{e}^4-1-4\\right)=\\frac{1}{16}\\cdot(\\text{e}^4-5)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<div class=\"box info\">\n<p>Immer zuerst die Darstellung innerhalb der Summe (hier Verschiebung 1. Art) und dann die ersten Summanden (hier Verschiebung 2. Art) anpassen!<\/p>\n<\/div>\n<hr \/>\n<h2 id=\"konvergenzkriterien\" class=\"anchor\">Konvergenzkriterien<\/h2>\n<p>Es existieren eine handvoll Konvergenzkriterien, mit denen Reihen auf ihr Konvergenzverhalten untersucht werden k\u00f6nnen. Manche Kriterien eignen sich bei bestimmten Reihen besser als andere. Hier werden die Kriterien zun\u00e4chst vorgestellt.<\/p>\n<h3>Nullfolgenkriterium<\/h3>\n<p>Mit dem Nullfolgenkriterium\/Trivialkriterium\/notwendigen Kriterium wird <strong>ausschlie\u00dflich Divergenz<\/strong> nachgewiesen. Wenn wir bemerken, dass die Folge $a_k$ in der Reihe keine Nullfolge ist, ist sofort klar, dass die Reihe divergiert. Dann werden n\u00e4mlich &#8222;im Unendlichen&#8220; immer Werte addiert\/subtrahiert, die sich nicht der Null n\u00e4hern. Es ist somit unm\u00f6glich, dass die Reihe konvergieren kann.<\/p>\n<p><strong>Nullfolgenkriterium &#8211; Verfahren<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Nachweis: ausschlie\u00dflich Divergenz (Die Umkehrung &#8222;Wenn es eine Nullfolge ist, konvergiert die Reihe&#8220; gilt nicht!)<\/li>\n<li>Einsatz: Wenn $a_k$ keine Nullfolge ist<\/li>\n<\/ul>\n<p>\\begin{align}<br \/>\n\\sum_{k=1}^{\\infty}{a_k}\\ , \\quad \\lim\\limits_{k}{a_k} \\neq 0 \\Rightarrow \\text{Die Reihe divergiert}<br \/>\n\\end{align}<\/p>\n<p><strong>Schau dir zur Vertiefung das Erkl\u00e4rvideo zum Nullfolgekriterium an<\/strong><br \/>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Notwendiges Kriterium f&uuml;r Konvergenz bei Reihen, Unimathematik, Erkl&auml;rvideo | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_uafZtktPqN0\"><div id=\"lyte_uafZtktPqN0\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FuafZtktPqN0%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Notwendiges Kriterium f\u00fcr Konvergenz bei Reihen, Unimathematik, Erkl\u00e4rvideo | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/uafZtktPqN0\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FuafZtktPqN0%2F0.jpg\" alt=\"Notwendiges Kriterium f&uuml;r Konvergenz bei Reihen, Unimathematik, Erkl&auml;rvideo | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<hr \/>\n<p><strong>Beispiele &#8211; Nullfolgenkriterium<\/strong><br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n&amp;\\sum_{k=1}^{\\infty}{\\frac{k}{2k+1}}\\ , \\quad \\lim\\limits_{k\\to\\infty}{a_k}=\\lim\\limits_{k\\to\\infty}{\\frac{k}{2k+1}} = \\frac{1}{2} \\neq 0 \\Rightarrow \\text{Die Reihe divergiert}\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\sum_{k=0}^{\\infty}{\\left(1+\\frac{1}{k}\\right)^k}\\ , \\quad \\lim\\limits_{k\\to\\infty}{a_k}=\\lim\\limits_{k\\to\\infty}{\\left(1+\\frac{1}{k}\\right)^k} = \\text{e} \\neq 0 \\Rightarrow \\text{Die Reihe divergiert}\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\sum_{k=1}^{\\infty}{\\sqrt[k]{\\frac{1}{2k}}}\\ , \\quad \\lim\\limits_{k\\to\\infty}{a_k}=\\lim\\limits_{k\\to\\infty}{\\sqrt[k]{\\frac{1}{2k}}} = \\lim\\limits_{k\\to\\infty}{\\frac{1}{\\sqrt[k]{2}\\sqrt[k]{k}}} = 1 \\neq 0 \\Rightarrow \\text{Die Reihe divergiert}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<hr \/>\n<p><strong>Beispiele &#8211; Umkehrung des Kriteriums gilt nicht<\/strong><br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n&amp;\\sum_{k=1}^{\\infty}{\\frac{1}{k^2}}\\ , \\quad \\lim\\limits_{k\\to\\infty}{a_k}=\\lim\\limits_{k\\to\\infty}{\\frac{1}{k^2}} = 0 \\quad \\text{(Diese Reihe konvergiert)}\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\sum_{k=1}^{\\infty}{\\frac{1}{k}}\\ , \\quad \\lim\\limits_{k\\to\\infty}{a_k}=\\lim\\limits_{k\\to\\infty}{\\frac{1}{k}} = 0 \\quad \\text{(Aber diese Reihe divergiert)}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<hr \/>\n<h3>Majorantenkriterium<\/h3>\n<p>Die Idee hierbei ist die Folge in der Reihe nach oben abzusch\u00e4tzen, sodass eine bekannte Reihe herauskommt, die konvergiert.<\/p>\n<p><strong>Schau dir zur Einf\u00fchrung in das Majorantenkriterium dieses Erkl\u00e4rvideo an!<\/strong><br \/>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Majorantenkriterium, Definition am Beispiel, Konvergenz von Reihen | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_jDUTuij9y8Q\"><div id=\"lyte_jDUTuij9y8Q\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FjDUTuij9y8Q%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Majorantenkriterium, Definition am Beispiel, Konvergenz von Reihen | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/jDUTuij9y8Q\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FjDUTuij9y8Q%2F0.jpg\" alt=\"Majorantenkriterium, Definition am Beispiel, Konvergenz von Reihen | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<p><strong>Majorantenkriterium &#8211; Verfahren<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Nachweis: ausschlie\u00dflich (absolute) Konvergenz<\/li>\n<li>Einsatz: Wenn $a_k$ nur Polynome, Wurzeln, sin, cos enth\u00e4lt<\/li>\n<\/ul>\n<p>\\begin{align}<br \/>\n&amp;\\sum_{k=1}^{\\infty}{a_k}\\ ,\\quad |{a_k}| \\leq b_k \\text{ mit } \\sum_{k=1}^{\\infty}{b_k}\\\\ \\\\<br \/>\n\\text{Wenn f\u00fcr }&amp;\\sum{b_k} \\text{ die Konvergenz bekannt ist, ist }\\sum{b_k} \\text{ Majorante f\u00fcr }\\sum{a_k}\\notag\\\\ \\\\<br \/>\n\\Rightarrow &amp;\\sum_{k=1}^{\\infty}{a_k}\\text{ konvergiert.}\\notag<br \/>\n\\end{align}<\/p>\n<div class=\"box info\">\n<ul>\n<li>In der Regel wird die allg. harmonische Reihe (evtl. auch die geometrische Reihe) als Majorante verwendet, wenn diese konvergiert<\/li>\n<li>Bei Br\u00fcchen den Nenner verkleinern und\/oder den Z\u00e4hler vergr\u00f6\u00dfern, um die richtige Ungleichungsreihenfolge zu bekommen<\/li>\n<li>$\\sum{a_k} \\geq \\sum{b_k}$ darf theoretisch notiert werden, da beide Reihen konvergieren und konkrete Werte besitzen<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<hr \/>\n<p><strong>Beispiel 1: Majorantenkriterium<\/strong><br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\sum_{k=1}^{\\infty}&amp;{\\frac{1}{2k(k+1)}}\\ , \\quad \\text{da }|{\\frac{1}{2k(k+1)}}|&lt;\\frac{1}{2k^2}&lt;\\frac{1}{k^2}\\text{ gilt, ist }\\sum_{k=1}^{\\infty}{\\frac{1}{k^2}}\\text{ Majorante.}\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\Rightarrow \\sum_{k=1}^{\\infty}{\\frac{1}{2k(k+1)}}\\text{ konvergiert (absolut).}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<hr \/>\n<p><strong>Beispiel 2: Majorantenkriterium<\/strong><br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\sum_{k=0}^{\\infty}&amp;{\\frac{k\\sqrt{2^k}}{(k+1)2^k}}\\ , \\quad \\text{da }|{\\frac{k\\sqrt{2^k}}{(k+1)2^k}}|&lt;\\frac{k\\sqrt{2^k}}{k2^k}=\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^k=\\left(\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\right)^k\\text{ gilt,}\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\text{ist }\\sum_{k=1}^{\\infty}{\\left(\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\right)^k}\\text{ Majorante (geometrische Reihe mit \\frac{1}{\\sqrt{2}}=q).}\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\Rightarrow \\sum_{k=0}^{\\infty}{\\frac{k\\sqrt{2^k}}{(k+1)2^k}}\\text{ konvergiert (absolut).}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<hr \/>\n<p><strong>Beispiel 3: Majorantenkriterium<\/strong><br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\sum_{k=1}^{\\infty}&amp;{\\frac{\\sqrt{k^2+1}-\\sqrt{k^2-1}}{k}}\\ , \\quad \\text{mit &#8222;1&#8220; erweitert ergibt (3. bin. Formel nutzen): }\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\text{da }|{\\frac{\\sqrt{k^2+1}-\\sqrt{k^2-1}}{k}\\cdot \\frac{\\sqrt{k^2+1}+\\sqrt{k^2-1}}{\\sqrt{k^2+1}+\\sqrt{k^2-1}}}|=|{\\frac{(k^2+1)-(k^2-1)}{k(\\sqrt{k^2+1}+\\sqrt{k^2-1})}}|\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;=|{\\frac{2}{k(\\sqrt{k^2+1}+\\sqrt{k^2-1})}}\\stackrel{\\ast^1}|{&lt;}\\frac{2}{k(\\sqrt{k^2+1})}&lt;\\frac{2}{k\\sqrt{k^2}}=\\frac{2}{k^2}\\text{ gilt,}\\\\ \\\\[2mm]<br \/>\n&amp;\\text{ist }\\sum_{k=1}^{\\infty}{\\frac{2}{k^2}}=2\\sum_{k=1}^{\\infty}{\\frac{1}{k^2}}\\text{ Majorante.}\\\\[2mm] &amp;\\Rightarrow \\sum_{k=1}^{\\infty}{\\frac{\\sqrt{k^2+1}-\\sqrt{k^2-1}}{k}}\\text{ konvergiert (absolut).} \\end{align*}<\/p>\n<div class=\"box info\">\n<strong>Info<\/strong><br \/>\n$*^1:$ Die Wurzel $\\sqrt{k^2-1}$ ist auf jedenfall &gt; 0. Durch das Streichen im Nenner wird der ganze Bruch damit gr\u00f6\u00dfer; genau das Gleiche im n\u00e4chsten Schritt mit der +1 in der verbleibenden Wurzel.<br \/>\n<\/div>\n<hr \/>\n<h3>Minorantenkriterium<\/h3>\n<p>Die Idee ist \u00e4hnlich dem Majorantenkriterium, jedoch genau umgekehrt: Die Folge in der Reihe nach unten abzusch\u00e4tzen, sodass eine bekannte Reihe herauskommt, die divergiert.<\/p>\n<p><strong>In diesem Video erkl\u00e4rt Daniel das Minorantenkriterium<\/strong><br \/>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Minorantenkriterium, Definition am Beispiel, Konvergenz\/Divergenz von Reihen\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_-DDWDnyN6lw\"><div id=\"lyte_-DDWDnyN6lw\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F-DDWDnyN6lw%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Minorantenkriterium, Definition am Beispiel, Konvergenz\/Divergenz von Reihen<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/-DDWDnyN6lw\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F-DDWDnyN6lw%2F0.jpg\" alt=\"Minorantenkriterium, Definition am Beispiel, Konvergenz\/Divergenz von Reihen\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<p><strong>Minorantenkriterium &#8211; Verfahren<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Nachweis: ausschlie\u00dflich Divergenz<\/li>\n<li>Einsatz: Wenn $a_k$ nur Polynome, Wurzeln, sin, cos enth\u00e4lt<\/li>\n<\/ul>\n<p>\\begin{align}<br \/>\n&amp;\\sum_{k=1}^{\\infty}{a_k}\\ ,\\quad a_k \\geq b_k \\text{ mit } \\sum_{k=1}^{\\infty}{b_k}\\\\ \\\\<br \/>\n\\text{Wenn f\u00fcr }&amp;\\sum{b_k} \\text{ die Divergenz bekannt ist, ist }\\sum{b_k} \\text{ Minorante f\u00fcr }\\sum{a_k}\\notag\\\\ \\\\<br \/>\n\\Rightarrow &amp;\\sum_{k=1}^{\\infty}{a_k}\\text{ divergiert.}\\notag<br \/>\n\\end{align}<\/p>\n<div class=\"box info\">\n<strong>Anmerkung<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>In der Regel wird $\\sum_{k=1}^{\\infty}{\\frac{1}{k}}$ bzw. die allg. harmonische Reihe als Minorante verwendet, wenn diese divergiert<\/li>\n<li>Bei Br\u00fcchen den Nenner vergr\u00f6\u00dfern und\/oder den Z\u00e4hler verkleinern, um die richtige Ungleichungsreihenfolge zu bekommen<\/li>\n<li>$\\sum{a_k} \\geq \\sum{b_k}$ darf so nicht notiert werden, da beide divergieren &#8212; in der Regel $\\infty$ sind &#8212; und $\\infty \\geq \\infty$ nicht korrekt ist ($\\infty$ ist keine Zahl!)<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<hr \/>\n<p><strong>Beispiel 1: Minorantenkriterium<\/strong><br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\sum_{k=1}^{\\infty}&amp;{\\frac{1}{\\sqrt[3]{k}}}\\ , \\quad \\text{da }\\frac{1}{\\sqrt[3]{k}}&gt;\\frac{1}{\\sqrt[3]{k^3}}=\\frac{1}{k}\\text{ gilt, ist }\\sum_{k=1}^{\\infty}{\\frac{1}{k}}\\text{ Minorante.}\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\Rightarrow \\sum_{k=1}^{\\infty}{\\frac{1}{\\sqrt[3]{k}}}\\text{ divergiert.}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<hr \/>\n<p><strong>Beispiel 2: Minorantenkriterium<\/strong><br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\sum_{k=1}^{\\infty}&amp;{\\frac{1}{2k-1}}\\ , \\quad \\text{da }\\frac{1}{2k-1}&gt;\\frac{1}{2k}\\text{ gilt, ist }\\sum_{k=1}^{\\infty}{\\frac{1}{2k}}\\text{ Minorante.}\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\Rightarrow \\sum_{k=1}^{\\infty}{\\frac{1}{2k-1}}\\text{ divergiert.}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<hr \/>\n<p>Hier eine Visualisierung der Vorgehensweise beim Majo- und Minorantenkriterium. Das ist rein mathematisch nicht wirklich pr\u00e4zise, aber es sollte dir helfen, die Verfahren besser zu verstehen.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"alignnone wp-image-13118 size-full\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/Visualisierung-Majoranten-Minorantenkriterium.png\" alt=\"Visualisierung Majoranten- Minorantenkriterium\" width=\"1220\" height=\"920\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/Visualisierung-Majoranten-Minorantenkriterium.png 1220w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/Visualisierung-Majoranten-Minorantenkriterium-300x226.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/Visualisierung-Majoranten-Minorantenkriterium-768x579.png 768w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/Visualisierung-Majoranten-Minorantenkriterium-1024x772.png 1024w\" sizes=\"(max-width: 1220px) 100vw, 1220px\" \/><\/p>\n<hr \/>\n<h3>Quotientenkriterium<\/h3>\n<p>Mit dem Wurzelkriterium das umfassendste (und f\u00fcr dich wahrscheinlich wichtigste) Kriterium zum Nachweis von Konvergenz\/Divergenz.<br \/>\n<strong>Quotientenkriterium &#8211; Verfahren<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Nachweis: absolute Konvergenz und Divergenz<\/li>\n<li>Einsatz: Quasi alles, au\u00dfer wenn $a_k$ nur Polynome, Wurzeln, sin, cos enth\u00e4lt<\/li>\n<\/ul>\n<p>\\begin{align}<br \/>\n\\text{Reihe }&amp;\\sum_{k=1}^{\\infty}{a_k}\\ ,\\quad \\left|\\frac{a_{k+1}}{a_k}\\right| \\overset{{k \\to \\infty}}{\\longrightarrow} q \\begin{cases}q&lt;1&amp;\\text{absolute Konvergenz}\\\\q&gt;1&amp;\\text{Divergenz}\\\\q=1&amp;\\text{keine Aussage m\u00f6glich}\\end{cases}<br \/>\n\\end{align}<\/p>\n<p><strong>Beispiel von Daniel zum Quotientenkriterium<\/strong><br \/>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Reihen auf Konvergenz untersuchen, Quotientenkriterium Teil 1 | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_pRHvwy8LNj4\"><div id=\"lyte_pRHvwy8LNj4\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FpRHvwy8LNj4%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Reihen auf Konvergenz untersuchen, Quotientenkriterium Teil 1 | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/pRHvwy8LNj4\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FpRHvwy8LNj4%2F0.jpg\" alt=\"Reihen auf Konvergenz untersuchen, Quotientenkriterium Teil 1 | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<hr \/>\n<p><strong>Beispiel 1: Quotientenkriterium<\/strong><br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\sum_{k=1}^{\\infty}&amp;{\\frac{3^{2k}}{k!}}\\ , \\quad \\left|\\frac{a_{k+1}}{a_k}\\right|=\\left|\\frac{\\frac{3^{2(k+1)}}{(k+1)!}}{\\frac{3^{2k}}{k!}}\\right|=\\frac{3^{2k+2}}{k!(k+1)}\\cdot \\frac{k!}{3^{2k}}=\\frac{3^2}{k+1}\\overset{{k \\to \\infty}}{\\longrightarrow} 0\\stackrel{\\ast^1}{&lt;}1\\\\<br \/>\n&amp;\\Rightarrow \\sum_{k=1}^{\\infty}{\\frac{3^{2k}}{k!}}\\text{ konvergiert (absolut) nach dem Quotientenkriterium.}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>$*^1:$ Das &lt; 1 muss hier auf jeden Fall notiert werden!<\/p>\n<hr \/>\n<p><strong>Beispiel 2: Quotientenkriterium<\/strong><br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\sum_{k=1}^{\\infty}&amp;{\\frac{1}{k^k}}\\ , \\quad \\left|\\frac{a_{k+1}}{a_k}\\right|=\\left|\\frac{\\frac{1}{(k+1)^{k+1}}}{\\frac{1}{k^k}}\\right|=\\frac{k^k}{(k+1)^{k+1}}=\\frac{k^k}{(k+1)(k+1)^k}\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;=\\frac{1}{k+1}\\cdot \\underbrace{\\left(\\frac{k}{k+1}\\right)^k}_{&lt; 1\\text{ f\u00fcr alle } k\\in\\mathbb{N}}\\overset{{k \\to \\infty}}{\\longrightarrow} 0&lt;1\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\Rightarrow \\sum_{k=1}^{\\infty}{\\frac{1}{k^k}}\\text{ konvergiert (absolut) nach dem Quotientenkriterium.}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<hr \/>\n<p><strong>Beispiel 3: Quotientenkriterium<\/strong><br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\sum_{k=0}^{\\infty}&amp;{\\frac{k^k}{(2k)!}}\\ , \\quad \\left|\\frac{a_{k+1}}{a_k}\\right|=\\left|\\frac{\\frac{(k+1)^{k+1}}{(2(k+1))!}}{\\frac{k^k}{(2k)!}}\\right|\\stackrel{\\ast^1}{=}\\frac{(k+1)(k+1)^k}{(2k)!(2k+1)(2k+2)}\\cdot \\frac{(2k)!}{k^k}\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;=\\frac{(k+1)^k}{2(2k+1)k^k}=\\frac{1}{4k+2}\\cdot \\left(\\frac{k+1}{k}\\right)^k=\\frac{1}{4k+2}\\cdot \\underbrace{\\left(1+\\frac{1}{k}\\right)^k}_{\\rightarrow\\ \\text{e}}\\overset{{k \\to \\infty}}{\\longrightarrow}0&lt;1\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\Rightarrow \\sum_{k=0}^{\\infty}{\\frac{k^k}{(2k)!}}\\text{ konvergiert (absolut) nach dem Quotientenkriterium.}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>$*^1:$ Hier muss darauf geachtet werden, dass die Fakult\u00e4t richtig umgeschrieben und anschlie\u00dfend richtig gek\u00fcrzt wird. Erfahrungsgem\u00e4\u00df passieren hierbei h\u00e4ufig Fehler!<\/p>\n<hr \/>\n<p><strong>Beispiel 4: Quotientenkriterium<\/strong><br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\sum_{k=0}^{\\infty}&amp;{\\frac{k^k}{k!}}\\ , \\quad \\left|\\frac{a_{k+1}}{a_k}\\right|=\\left|\\frac{\\frac{(k+1)^{k+1}}{(k+1)!}}{\\frac{k^k}{k!}}\\right|=\\frac{(k+1)(k+1)^k}{k!(k+1)}\\cdot \\frac{k!}{k^k}\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;=\\frac{(k+1)^k}{k^k}=\\left(1+\\frac{1}{k}\\right)^k \\overset{{k \\to \\infty}}{\\longrightarrow} \\text{e}&gt;1\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\Rightarrow \\sum_{k=0}^{\\infty}{\\frac{k^k}{k!}}\\text{ divergiert nach dem Quotientenkriterium.}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<hr \/>\n<p><strong>Beispiel 5: Quotientenkriterium<\/strong><br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\sum_{k=0}^{\\infty}&amp;{\\frac{1}{2k-1}}\\ , \\quad \\left|\\frac{a_{k+1}}{a_k}\\right|=\\left|\\frac{\\frac{1}{2(k+1)-1}}{\\frac{1}{2k-1}}\\right|=\\frac{2k-1}{2k+1}\\overset{{k \\to \\infty}}{\\longrightarrow} 1=1\\\\<br \/>\n&amp;\\Rightarrow \\text{Keine Aussage \u00fcber das Konvergenzverhalten m\u00f6glich.}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Bei dieser Reihe muss also ein anderes Kriterium verwendet werden als das Quotientenkriterium, um etwas \u00fcber das Konvergenzverhalten sagen zu k\u00f6nnen.<\/p>\n<div class=\"box info\">\n<p><strong>Merke:<\/strong><br \/>\nBesonders beim Quotientenkriterium f\u00e4llt anhand der vielen Beispiele auf, dass die Potenzgesetze quasi in jeder Rechnung angewendet werden m\u00fcssen, um auf die richtige L\u00f6sung zu kommen.<\/p>\n<\/div>\n<hr \/>\n<h3>Wurzelkriterium<\/h3>\n<p>Mit dem Quotientenkriterium das umfassendste (und f\u00fcr dich wahrscheinlich wichtigste) Kriterium zum Nachweis von Konvergenz\/Divergenz.<\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Reihen auf Konvergenz untersuchen, Wurzelkriterium | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_4_3RuskBREM\"><div id=\"lyte_4_3RuskBREM\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F4_3RuskBREM%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Reihen auf Konvergenz untersuchen, Wurzelkriterium | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/4_3RuskBREM\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F4_3RuskBREM%2F0.jpg\" alt=\"Reihen auf Konvergenz untersuchen, Wurzelkriterium | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<p><strong>Verfahren<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Nachweis: absolute Konvergenz und Divergenz<\/li>\n<li>Einsatz: Quasi alles, au\u00dfer wenn $a_k$ nur Polynome, Wurzeln, sin, cos enth\u00e4lt<\/li>\n<\/ul>\n<p>\\begin{align}<br \/>\n\\text{Reihe }&amp;\\sum_{k=1}^{\\infty}{a_k}\\ ,\\quad \\sqrt[k]{|{a_k}|} \\overset{k \\to \\infty}\\rightarrow q \\begin{cases}q&lt;1&amp;\\text{absolute Konvergenz}\\\\q&gt;1&amp;\\text{Divergenz}\\\\q=1&amp;\\text{keine Aussage m\u00f6glich}\\end{cases}<br \/>\n\\end{align}<\/p>\n<hr \/>\n<p><strong>Beispiel 1<\/strong><br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\sum_{k=1}^{\\infty}&amp;{\\left(\\frac{k+7}{2k+1}\\right)^k}\\ , \\quad \\sqrt[k]{|{a_k}|}=\\sqrt[k]{\\left|\\left(\\frac{k+7}{2k+1}\\right)^k\\right|}= \\frac{k+7}{2k+1} \\overset{k\\to\\infty}\\longrightarrow {\\frac{1}{2}} \\text{&lt;} 1<br \/>\n\\\\&amp;\\Rightarrow \\sum_{k=1}^{\\infty}{\\left(\\frac{k+7}{2k+1}\\right)^k}\\text{ konvergiert (absolut) nach dem Wurzelkriterium.}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<hr \/>\n<p><strong>Beispiel 2<\/strong><br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\sum_{k=1}^{\\infty}&amp;{\\frac{2^{k^2+1}}{3^{3k}}}\\ , \\quad \\sqrt[k]{|{a_k}|}=\\sqrt[k]{\\left|\\frac{2^{k^2+1}}{3^{3k}}\\right|}=\\sqrt[k]{\\frac{2^{k^2}\\cdot 2^1}{(3^3)^k}}=\\frac{2^k\\cdot\\sqrt[k]{2}}{27}\\overset{k \\to \\infty}\\longrightarrow \\infty&gt;1\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\Rightarrow \\sum_{k=1}^{\\infty}{\\frac{2^{k^2+1}}{3^{3k}}}\\text{ divergiert nach dem Wurzelkriterium.}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\sum_{k=1}^{\\infty}&amp;{\\frac{\\left(1+(-1)^k\\right)^{2k}}{5k+k^5+5^k}}\\ , \\quad \\sqrt[k]{|{a_k}|}=\\sqrt[k]{\\left|\\frac{\\left(1+(-1)^k\\right)^{2k}}{5k+k^5+5^k}\\right|}=\\frac{\\left(1+(-1)^k\\right)^{2}}{\\sqrt[k]{5k+k^5+5^k}}\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\stackrel{\\ast^1}{&lt;}\\frac{\\left(1+1\\right)^{2}}{\\sqrt[k]{5k+k^5+5^k}}=\\frac{4}{\\sqrt[k]{5k+k^5+5^k}}\\ \\ast^2\\overset{k \\to \\infty}\\longrightarrow {\\frac{4}{5}}&lt;1\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\Rightarrow \\sum_{k=1}^{\\infty}{\\frac{\\left(1+(-1)^k\\right)^{2k}}{5k+k^5+5^k}}\\text{ konvergiert (absolut) nach dem Wurzelkriterium.}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>$*^1$ Den Term $(-1)^k$ oben abzusch\u00e4tzen war erlaubt, da der Grenzwert von $\\sqrt[k]{|{a_k}|}$ &lt; 1 bleibt. Daher ist die Schlussfolgerung der absoluten Konvergenz korrekt<\/p>\n<p>$*^2$ Grenzwert von $\\sqrt[k]{5k+k^5+5^k}$ ist 5, zeigen z.B. durch Vergleichskriterium.<\/p>\n<hr \/>\n<h3>Leibnizkriterium<\/h3>\n<p>Mit dem Leibnizkriterium kann nur Konvergenz einer alternierenden Reihe nachgewiesen werden. Ausschlaggebend f\u00fcr die Verwendung des Leibnizkriteriums ist, dass die Folge $a_k$ mit jedem n\u00e4chstgr\u00f6\u00dferen k das Vorzeichen wechselt (sie alterniert):<\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" title=\"Reihen auf Konvergenz untersuchen, Leibniz-Kriterium | Mathe by Daniel Jung\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_GtDjTZCpsX0\"><div id=\"lyte_GtDjTZCpsX0\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FGtDjTZCpsX0%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\">Reihen auf Konvergenz untersuchen, Leibniz-Kriterium | Mathe by Daniel Jung<\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/GtDjTZCpsX0\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FGtDjTZCpsX0%2F0.jpg\" alt=\"Reihen auf Konvergenz untersuchen, Leibniz-Kriterium | Mathe by Daniel Jung\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<p>Leibnizkriterium &#8211; Verfahren<\/p>\n<ul>\n<li>Nachweis: ausschlie\u00dflich Konvergenz<\/li>\n<li>Einsatz: F\u00fcr alternierende Reihen<\/li>\n<\/ul>\n<p>\\begin{align}<br \/>\n&amp;\\text{Alternierende Reihe }\\sum_{k=1}^{\\infty}{a_k}\\quad\\text{mit}\\quad a_k=(-1)^k\\cdot(\\ldots)\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\quad\\text{1.} \\overset{k\\to \\infty}{\\longrightarrow}{|{a_k}|} = 0 \\quad \\text{und} \\quad \\text{2.} \\ |{a_k}|\\text{ monoton}\\ \\Rightarrow\\ \\text{Konvergenz}<br \/>\n\\end{align}<\/p>\n<div class=\"box info\">\n<ul>\n<li>$(-1)^k, (-1)^{k+1}, (-1)^{k+2},\\ldots$ ist f\u00fcr den Vorzeichenwechsel alles das Gleiche<\/li>\n<li>Die Umkehrung &#8222;Wenn die Reihe alternierend ist und dann nicht monoton f\u00e4llt, ist die Reihe divergent&#8220; gilt nicht!<br \/>\n<\/div>\n<hr \/>\n<p><strong>Beispiel: Leibnizkriterium<\/strong><br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\sum_{k=1}^{\\infty}&amp;{(-1)^k\\frac{k+1}{2k^2}}\\ ,\\quad \\text{alternierende Reihe:}\\quad \\text{1.}\\ \\ |{(-1)^k\\frac{k+1}{2k^2}}| \\ \\ 0 \\ \\ \\text{f\u00fcr} \\ \\ k \\ \\ \\rightarrow \\infty \\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\hspace{1cm}\\begin{array}{rrcl}<br \/>\n\\text{2.} &amp;|{a_{k+1}}|&amp;&lt;&amp;|{a_k}|\\\\ \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow&amp; \\frac{k+2}{2(k+1)^2}&amp;&lt;&amp;\\frac{k+1}{2k^2}\\\\ \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow&amp; 2k^2(k+2)&amp;&lt;&amp;2(k+1)^3\\\\ \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow&amp; k^3+2k^2&amp;&lt;&amp;k^3+3k^2+3k+1\\\\ \\\\<br \/>\n\\Leftrightarrow&amp; 0&amp;&lt;&amp;k^2+3k+1\\\\ \\\\<br \/>\n\\end{array}\\\\[3mm]<br \/>\n\\Rightarrow&amp; \\sum_{k=1}^{\\infty}{(-1)^k\\frac{k+1}{2k^2}} \\ \\ \\text{ konvergiert.}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<hr \/>\n<h2 id=\"konvergenzverhalten-zeigen\" class=\"anchor\">Konvergenzverhalten<\/h2>\n<p>Im vorherigen Kapitel sind die verschiedenen Konvergenzkriterien beschrieben worden. Jedoch fehlt bei vielen Studierenden in irgendeiner Art und Weise der Blick daf\u00fcr, bei gegebener Reihe ein funktionierendes Kriterium (vlt. sogar das am schnellsten funktionierende) auszuw\u00e4hlen. Es folgen zwei Unterkapitel, die dir den Weg dahin leichter machen sollen. Um das alles jedoch zu verinnerlichen, hilft es nur, sehr viele Reihen selbstst\u00e4ndig zu untersuchen, und so die beschriebenen Schritte nachzuvollziehen und zu verinnerlichen.<\/p>\n<p>Nachweis mit System<br \/>\nEin 100%ig funktionierendes Kochrezept hierf\u00fcr gibt es nicht, empfehlenswert ist f\u00fcr eine gegebene Reihe $\\sum_{k}^{\\infty}{a_k}$ die folgenden Punkte abzugehen:<\/p>\n<p><strong>Systematisches Vorgehen zum Konvergenz-\/Divergenznachweis von Reihen<\/strong><\/p>\n<ol>\n<li>Kann ein Wert ausgerechnet werden?$ \\quad \\text{ja} \\rightarrow \\text{Konvergenz}\\\\ \\text{nein} \\rightarrow \\text{weiter mit 2.}$<\/li>\n<\/ol>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<ol>\n<li>$a_k$ Nullfolge?$ \\quad \\text{ja} \\rightarrow \\text{weiter mit 3.} \\\\ \\text{nein} \\rightarrow \\text{Nullfolgenkrit.} \\rightarrow \\text{Divergenz} $<\/li>\n<\/ol>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<ol>\n<li>$a_k$ alternierend?$ \\quad \\text{ja} \\rightarrow \\text{Leibnizkrit. versuchen}\\\\ \\text{nein} \\rightarrow \\text{weiter mit 4.} $<\/li>\n<\/ol>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<ol>\n<li>Sind Fakult\u00e4ten in $a_k$?$ \\quad \\text{ja} \\rightarrow \\text{Quotientenkrit. versuchen}\\\\ \\text{nein} \\rightarrow \\text{weiter mit 5.} $<\/li>\n<\/ol>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<ol>\n<li>Sind Faktoren mit <em>k<\/em> im Exponenten in $a_k$?$ \\quad\\text{ja} \\rightarrow \\text{Wurzelkrit. versuchen}\\\\ \\text{nein} \\rightarrow \\text{weiter mit 6.} $<\/li>\n<\/ol>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<ol>\n<li>Enth\u00e4lt $a_k$ nur Polynome, Wurzeln, sin, cos Terme?$\\quad\\cdots$ $ \\text{ja} \\rightarrow \\text{Mino-\/Majorantenkrit. versuchen}\\\\ \\text{nein} \\rightarrow \\text{weiter mit 7.} $<\/li>\n<\/ol>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<ol>\n<li>Bel. Kriterium versuchen $\\ldots$ evtl. Annahmen + Widerspruchsbeweis<\/li>\n<\/ol>\n<hr \/>\n<h3>Konvergenz absch\u00e4tzen<\/h3>\n<p>Es ist m\u00f6glich, das Konvergenzverhalten von vielen Reihen &#8212; ohne jegliche Rechnung &#8212; im Vorfeld abzusch\u00e4tzen. Wir empfehlen dir an dieser Stelle erst weiter zu lesen, wenn du schon ein paar \u00dcbungsaufgaben zum Bestimmen von Konvergenzverhalten bearbeitet hast. Ansonsten k\u00f6nnte dich dieses Kapitel mehr verwirren als dir n\u00fctzen.<\/p>\n<div class=\"box info\">\nAchtung!<\/p>\n<p>Das Folgende stellt weder ein mathematisch fundiertes Verfahren dar, noch kannst du es in Pr\u00fcfungen als offizielle Begr\u00fcndung verwenden, das Konvergenzverhalten ermittelt zu haben. Das Ganze ist vielmehr eine Vor\u00fcberlegung f\u00fcr dich. Diese kann jedoch unglaublich n\u00fctzlich sein! Du festigst (oder entwickelst erst) damit dein Gesp\u00fcr daf\u00fcr, wann Reihen konvergieren oder divergieren.<\/p>\n<p>Im Falle des Majo- und Minorantenkriteriums ist diese Vor\u00fcberlegung aber meistens unbedingt notwendig!<br \/>\n<\/div>\n<p>Wie du bereits wissen solltest, kann eine Reihe nur dann konvergieren, wenn die zugeh\u00f6rige Folge eine Nullfolge ist. Doch wann konvergiert sie dann auch tats\u00e4chlich?<\/p>\n<p>Folgendes Schema kann als erste Anlaufstelle betrachtet werden, das Konvergenzverhalten abzusch\u00e4tzen (mit <em>n<\/em> als Laufvariable &#8211; also $\\sum_{n=\\ldots}^\\infty{\\ldots}$):<\/p>\n<p>\\begin{array}<br \/>\nFkt.-Typ &amp; Konstanten &amp; Polynome\/Potenzfkt. &amp; Exponentialfkt. &amp; Fakult\u00e4ten \\\\<br \/>\n&amp; a &amp; n^a &amp; a^n &amp; n!<br \/>\n\\end{array}<\/p>\n<p><strong>Faustregel<\/strong>: Die weiter rechts stehenden Tabellenspalten &#8222;dominieren&#8220; die weiter links stehenden. Damit ist gemeint: Wenn die Folge in der Reihe ein Bruch mit Ausdr\u00fccken aus der oben stehenden Tabelle ist (was aller meistens der Fall ist!), konvergiert\/divergiert die Reihe (h\u00f6chstwahrscheinlich), je nachdem welcher Fkt.-Typ im Z\u00e4hler und Nenner steht.<\/p>\n<p>Konstante Faktoren spielen \u00fcberhaupt keine Rolle, da sie immer aus der Reihe herausgezogen werden k\u00f6nnen.<\/p>\n<p>sin(&#8230;)- und cos(&#8230;)-Terme als Summanden werden, egal was als &#8222;&#8230;&#8220; steht, wie Konstanten behandelt, da sie das Intervall [-1,1] nie verlassen (sie sind beschr\u00e4nkt).<\/p>\n<p><strong>Achtung:<\/strong> Es gibt Ausnahmen (z. B. Spalte Polynome\/Potenzfkt. dominiert erst ab &#8222;h\u00f6chster Exponent&#8220; &gt; 1 die Konstanten<\/p>\n<p>\\begin{array}<br \/>\n\\\\<br \/>\n\\textbf{Fkt.-Typ} &amp; \\textbf{Konstanten} &amp; \\textbf{Polynome\/Potenzfkt.} &amp; \\textbf{Exponentialfkt.}\\ &amp; \\textbf{Fakult\u00e4ten} \\\\<br \/>\n\\#1 &amp; 2 &amp; n^2+1 &amp; 3^n &amp; n! \\\\<br \/>\n\\#2 &amp; 3 &amp; \\sqrt{n} &amp; 2\\cdot 4^n &amp; 3n! \\\\<br \/>\n\\#3 &amp; 13 &amp; 6n^5-2n^2+n &amp; 2^{n+1} &amp; (2n)!<br \/>\n\\end{array}<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><strong>Beispiele von Kombinationen aus #1<\/strong><br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\text{a}_1) \\ \\sum_{n=1}^\\infty{\\frac{2}{3^n}},\\quad \\text{b}_1)\\ \\sum_{n=1}^\\infty{\\frac{n!}{n^2+1}},\\quad \\text{c}_1)\\ \\sum_{n=1}^\\infty{\\frac{3^n}{n^2+1}}, \\quad \\text{d}_1)\\ \\sum_{n=1}^\\infty{\\frac{2}{n^2+1}}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>$a_1)$ wird konvergieren ($3^n$ im Nenner dominiert die Konstante)<br \/>\n$b_1)$ wird divergieren ($n!$ im Z\u00e4hler dominiert das Polynom)<br \/>\n$c_1)$ wird divergieren ($3^n$ im Z\u00e4hler dominiert das Polynom)<br \/>\n$d_1)$ wird konvergieren ($n^2+1$ im Nenner dominiert die Konstante, da h\u00f6chster Exponent =2&gt;1)<\/p>\n<hr \/>\n<p><strong>Beispiele von Kombinationen aus #2<\/strong><br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\text{a}_2) \\ \\sum_{n=1}^\\infty{\\frac{\\sqrt{n}}{2\\cdot 4^n}},\\quad \\text{b}_2)\\ \\sum_{n=1}^\\infty{\\frac{3}{\\sqrt{n}}},\\quad \\text{c}_2)\\ \\sum_{n=1}^\\infty{\\frac{3n!}{2\\cdot 4^n}}, \\quad \\text{d}_2)\\ \\sum_{n=1}^\\infty{\\frac{\\sqrt{n}}{3n!}}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>$a_2)$ wird konvergieren ($4^n$ im Nenner dominiert die Potenzfunktion $\\sqrt{n}$)<br \/>\n$b_2)$ wird divergieren ($\\sqrt{n}$ im Nenner dominiert nicht die Konstante 3, da h\u00f6chster Exponent $=\\frac{1}{2}\\leq 1$)<br \/>\n$c_2)$ wird divergieren ($n!$ im Z\u00e4hler dominiert die Exp.fkt. $4^n$)<br \/>\n$d_2)$ wird konvergieren ($n!$ im Nenner dominiert Potenzfunktion $\\sqrt{n}$)<\/p>\n<hr \/>\n<p><strong>Beispiele von Kombinationen aus #3<\/strong><br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\text{a}_3)\\ \\sum_{n=1}^\\infty{\\frac{6n^5-2n^2+n}{(2n)!}},\\ \\text{b}_3)\\ \\sum_{n=1}^\\infty{\\frac{13}{6n^5-2n^2+n}},\\ \\text{c}_3)\\ \\sum_{n=1}^\\infty{\\frac{13}{2^{n+1}}},\\ \\text{d}_3)\\ \\sum_{n=1}^\\infty{\\frac{(2n)!}{2^{n+1}}}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>$a_3)$ wird konvergieren ($(2n)!$ im Nenner dominiert das Polynom $6n^5-2n^2+n$)<br \/>\n$b_3)$ wird konvergieren ($6n^5-2n^2+n$ im Nenner dominiert die Konstante 13, da h\u00f6chster Exponent $=5 &gt; 1$)<br \/>\n$c_3)$ wird konvergieren ($2^n$ im Nenner dominiert die Konstante 13; beachte $2^{n+1}=2\\cdot 2^n$)<br \/>\n$d_3)$ wird divergieren ($(2n)!$ im Z\u00e4hler dominiert die Exp.fkt $2^n$)<\/p>\n<hr \/>\n<p>Was m\u00fcssen wir aber nun zur Vor\u00fcberlegung beachten, wenn mehrere Funktionstypen (gemischt) auftauchen?<\/p>\n<p><strong>Konstanten:<\/strong> Sind im Allgemeinen recht unwichtig, zumal sie eigentlich Polynome mit Grad 0 sind.<\/p>\n<p><strong>Polynome\/Potenzfkt.:<\/strong> Tauchen ausschlie\u00dflich Polynome\/Potenzfkt. in der Reihe auf, kommt es auf den Unterschied der h\u00f6chsten Exponenten im Z\u00e4hler und Nenner an! Dies ist wichtig zum korrekten Anwenden von Majo- und Minorantenkriterium, da die anderen Kriterien bei dieser Art Reihe versagen! Also:<br \/>\n\\begin{align}<br \/>\n\\text{&#8222;h\u00f6chst. Exp. Nenner&#8220; }-\\text{&#8222;h\u00f6chst. Exp. Z\u00e4hler&#8220;}<br \/>\n\\begin{cases} \\leq 1 &amp; \\text{Reihe div.} \\\\ &gt; 1 &amp; \\text{Reihe konv.} \\end{cases}<br \/>\n\\end{align}<\/p>\n<p><strong>Exponentialfunktionen:<\/strong> Kommen Exponentialfunktionen im Z\u00e4hler und Nenner (auch gemischt mit Polynomen\/Potenzfkt.) vor, kommt es auf die gr\u00f6\u00dfere Basis an (z. B. $3^n$ dominiert $2^n$).<\/p>\n<p><strong>Fakult\u00e4ten:<\/strong> Kommen Fakult\u00e4ten im Z\u00e4hler und Nenner (auch gemischt mit Exponentialfkt. und Polynomen\/Potenzfkt.) vor, kommt es auf den gr\u00f6\u00dferen Vorfaktor in der Fakult\u00e4t an (z. B. (4n)! dominiert (3n)!)<\/p>\n<p>Dabei spielt es keine Rolle, ob die jeweiligen Terme im Z\u00e4hler und im Nenner addiert oder multipliziert werden.<\/p>\n<p><strong>Beispiele zur Vor\u00fcberlegung zum Konvergenzverhalten<\/strong><br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{array}{*4{&gt;{\\displaystyle}l}}<br \/>\na)\\ \\sum_{n=1}^\\infty{\\frac{5n-1}{n^2+n+1}} &amp; b)\\ \\sum_{n=1}^\\infty{\\frac{3^n+n^2}{1+2^n}} &amp; c)\\ \\sum_{n=1}^\\infty{\\frac{3^{n+1}+1}{2^{2n}}} &amp; d)\\ \\sum_{n=1}^\\infty{\\frac{4^n\\cdot n!}{(2n)!}} \\\\[6mm]<br \/>\ne)\\ \\sum_{n=1}^\\infty{\\frac{n^6\\cdot 2^n}{2+n!}} &amp; f)\\ \\sum_{n=1}^\\infty{\\frac{\\sqrt{n^3}+n}{n^3+n^2+1}} &amp; g)\\ \\sum_{n=1}^\\infty{\\frac{3^{n^2}}{6^n+n}} &amp; h)\\ \\sum_{n=1}^\\infty{\\frac{(n!)^2}{(2n)!}}<br \/>\n\\end{array}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>a) Nur Polynome im Z\u00e4hler und Nenner! Aus Gl. (\\ref{eq:faustformelmajorantenminorantenkriterium}): &#8222;`H\u00f6chst. Exp. Nenner&#8220;&#8218; &#8211; &#8222;`h\u00f6chst. Exp. Z\u00e4hler&#8220;&#8218; $=2-1=1\\leq 1$. Also wird die Reihe divergieren.<\/p>\n<p>b) Exponentialfkt. dominieren! Da $3^n$ im Z\u00e4hler und $3&gt;2$, wird die Reihe divergieren.<\/p>\n<p>c) Exponentialfkt. dominieren! Achtung: $2^{2n}=(2^2)^n=4^n$ (und $3^{n+1}=3\\cdot 3^n[latex]). Da [latex]4^n$ im Nenner und $4&gt;3$, wird die Reihe konvergieren.<\/p>\n<p>d) Fakult\u00e4ten dominieren! Da $(2n)!$ im Nenner und Vorfaktor in der Fakult\u00e4t $2&gt;1$, wird die Reihe konvergieren.<\/p>\n<p>e) Fakult\u00e4t dominiert. Da $n!$ im Nenner, wird die Reihe konvergieren.<\/p>\n<p>f) Nur Polynome und Potenzfkt. im Z\u00e4hler und Nenner! Achtung: $\\sqrt{n^3}=n^{\\frac{3}{2}}$. &#8222;H\u00f6chst. Exp. Nenner&#8220;&#8218; &#8211; &#8222;h\u00f6chst. Exp. Z\u00e4hler&#8220; $=3-\\frac{3}{2}=\\frac{3}{2}&gt;1$. Also wird die Reihe konvergieren.<\/p>\n<p>g) Ohne weiteres mit den beschriebenen Vor\u00fcberlegungen keine Aussage treffbar, da nicht absch\u00e4tzbar, wie sich $3^{n^2}$ verhalten wird (Beachte: $3^{n^2}=3^{(n^2)}\\neq (3^n)^2=3^{2n}$).<\/p>\n<p>h) Ohne weiteres mit den beschriebenen Vor\u00fcberlegungen keine Aussage treffbar, da nicht absch\u00e4tzbar, wie sich $(n!)^2$ verhalten wird.<\/p>\n<p><strong>F\u00fcr die Interessierten: Warum funktioniert das Ganze?<\/strong><\/p>\n<p>Diese inoffiziellen &#8222;Regeln&#8220; zur Vor\u00fcberlegung zum Konvergenzverhalten von Reihen basieren auf der allgemeinen Anwendung des Quotientenkriteriums (alle Regeln mit Exponentialfunktion- und Fakult\u00e4tanteilen) und der allgemeinen harmonischen Reihe zum korrekten Absch\u00e4tzen. Was mit den Termen beim Quotientenkriterium passiert und warum sich daraus die &#8222;Regeln&#8220; ableiten, soll hier kurz gezeigt werden:<\/p>\n<p>Zur sp\u00e4teren Begriffsst\u00fctze: Mit<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\quad \\sum_{n=1}^\\infty{c_n}, \\quad |{\\frac{c_{n+1}}{c_n}}|=\\dots=\\widetilde{c_n}\\overset{n\\to\\infty}{\\longrightarrow} \\ \\underbrace{\\tilde{c}}_{\\textrm{GW des Quot.krit.}}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Was passiert mit Polynomen\/Potenzfkt. bei Anwendung des Quotientenkriteriums? Mit $a,b\\in\\mathbb{R}$:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\sum_{n=1}^\\infty{\\frac{n^a}{n^b}},\\quad|{\\frac{\\frac{(n+1)^a}{(n+1)^b}}{\\frac{n^a}{n^b}}}|=\\frac{(n+1)^a\\cdot n^b}{(n+1)^b\\cdot n^a}=\\frac{n^an^b+\\ldots}{n^bn^a+\\ldots}=\\frac{n^{a+b}+\\ldots}{n^{a+b}}\\overset{n\\to\\infty}{\\longrightarrow}1<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>V\u00f6llig egal, wie viele Summanden die Polynome\/Potenzfkt. in $c_n$ haben, beim Quotientenkriterium ist der h\u00f6chste Exponent (und der zugeh\u00f6rige Vorfaktor) im Z\u00e4hler und Nenner von $\\widetilde{c_n}$ derselbe. Nach bekannter Folge ist der Grenzwert also immer 1 und es l\u00e4sst sich so keine Aussage treffen. Also muss hier auf das Absch\u00e4tzen zur\u00fcckgegriffen werden.<\/p>\n<p>Was passiert mit Exponentialfkt. bei Anwendung des Quotientenkriteriums? Mit $a,b\\in\\mathbb{R}[\\latex]:<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\sum_{n=1}^\\infty{\\frac{a^n}{b^n}},\\quad|{\\frac{\\frac{a^{n+1}}{b^{n+1}}}{\\frac{a^n}{b^n}}}|=\\frac{a^{n+1}\\cdot b^n}{b^{n+1}\\cdot a^n}=\\frac{a}{b}\\overset{n\\to\\infty}{\\longrightarrow}\\frac{a}{b}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Aus Exponentialfkt. wird am Ende also ein Faktor (hier [latex]\\frac{a}{b}$). Bedeutet, bei $a&lt;b$ konvergiert und bei $a&gt;b$ divergiert die Reihe. Kommen Exponentialfkt. mit Polynomen gleichzeitig in der Reihe vor, haben die Polynome also keinen Einfluss auf den &#8222;`Grenzwert des Quotientenkriteriums&#8220; ($\\tilde{c}$).<\/p>\n<p>Was passiert mit Fakult\u00e4ten bei Anwendung des Quotientenkriteriums?<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\sum_{n=1}^\\infty{\\frac{(an)!}{(bn)!}},&amp;\\quad|{\\frac{\\frac{(a(n+1))!}{(b(n+1))!}}{\\frac{(an)!}{(bn)!}}}|=\\frac{(an+a)!\\cdot (bn)!}{(bn+b)!\\cdot (an)!}\\\\ \\\\<br \/>\n=\\ &amp;\\frac{{(an)!}(an+1)(an+2)\\cdots(an+(a-2))(an+(a-1))(an+a)\\cdot {(bn)!}}{{gray}{(bn)!}(bn+1)(bn+2)\\cdots(bn+(b-2))(bn+(b-1))(bn+b)\\cdot {(an)!}}\\\\ \\\\<br \/>\n=\\ &amp;\\frac{\\overbrace{(an+1)(an+2)\\cdots(an+(a-2))(an+(a-1))(an+a)}^{a~\\text{Linearfaktoren bzw. Polynom von Grad $a$}}}{\\underbrace{(bn+1)(bn+2)\\cdots(bn+(b-2))(bn+(b-1))(bn+b)}_{b~\\text{Linearfaktoren bzw. Polynom von Grad $b$}}}=\\frac{a^a\\cdot n^a+\\ldots}{b^b\\cdot n^b+\\ldots}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Aus Fakult\u00e4ten wird am Ende ($\\widetilde{c_n}$) also jew. ein Polynom vom Grad des Vorfaktors in der Fakult\u00e4t. Das ist der Grund, warum Fakult\u00e4ten die Exponentialfkt. und Polynome\/Potenzfkt. dominieren, denn als Folge (im Term $\\widetilde{c_n}$) dominiert das Polynom (von mindestens Grad 1) alle konstanten Faktoren im Grenzwert.<\/p>\n<hr \/>\n<p><strong>Beispiel &#8211; Komplett alle Gedankeng\u00e4nge mit Rechnungen:<\/strong><br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\text{Reihe }\\sum_{n=2}^\\infty{\\frac{6n\\cdot 3^n}{2^n\\cdot n!}}\\text{ gegeben.}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Vor\u00fcberlegung: Fakult\u00e4t dominiert! Da $n!$ im Nenner, wird diese Reihe konvergieren.<\/p>\n<p>Auswahl des Kriteriums: Quotientenkriterium, da eine Fakult\u00e4t auftritt.<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n|{\\frac{\\frac{6(n+1)\\cdot 3^{n+1}}{2^{n+1}\\cdot(n+1)!}}{\\frac{6n\\cdot 3^n}{2^n\\cdot n!}}}&amp;|=\\frac{6(n+1)\\cdot 3^{n+1}\\cdot 2^n\\cdot n!}{2^{n+1}\\cdot(n+1)!\\cdot 6n\\cdot 3^n}\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\stackrel{\\text{sortieren}}{=}\\frac{6(n+1)}{6n}\\cdot\\frac{3^1\\cdot 3^n\\cdot 2^n}{3^n\\cdot 2^1\\cdot 2^n}\\cdot \\frac{n!}{n!\\cdot(n+1)}=\\underbrace{\\frac{n+1}{n}}_{\\ast^1}\\cdot\\underbrace{\\frac{3}{2}}_{\\ast^2}\\cdot\\underbrace{\\frac{1}{n+1}}_{\\ast^3}\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\overset{n\\to\\infty}{\\longrightarrow}1\\cdot\\frac{3}{2}\\cdot 0=0&lt;1<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Also konvergiert die Reihe (absolut).<\/p>\n<p>$\\ast^1$: Resultat aus dem urspr\u00fcnglichen Polynom $6n$. In Z\u00e4hler und Nenner: Polynom von gleichem Grad und gleichem Leitkoeffizient, Grenzwert ist 1.<br \/>\n$\\ast^2$: Resultat aus den urspr\u00fcnglichen Exponentialfkt. $3^n$ und $2^n$. Es verbleiben die Basen.<br \/>\n$\\ast^2$: Resultat aus der urspr\u00fcnglichen Fakult\u00e4t $n!$ (im Nenner). Es verbleibt ein Polynom (im Nenner) mit Grad 1 (da $n!=(1\\cdot n)!$). Dieser Term ist ausschlaggebend f\u00fcr den Grenzwert 0 (vgl. auch &#8222;wichtige Grenzwerte&#8220; Formel).<\/p>\n<p>Alternative (f\u00fcr alle, die es sehen): Wert ausrechnen!<\/p>\n<hr \/>\n<h2 id=\"potenzreihen\" class=\"anchor\">Potenzreihen<\/h2>\n<p>Sogenannte Potenzreihen haben einen besonderen Aufbau:<\/p>\n<p>\\begin{align}<br \/>\n\\sum_{k=0}^{\\infty}{a_k}(x-x_0)^k<br \/>\n\\end{align}<\/p>\n<ul>\n<li>$x_0$: Entwicklungspunkt<\/li>\n<li>$x$: variable Zahl aus $\\mathbb{R}$<\/li>\n<li>wo $k$ beginnt ($k=0,1,2,\\ldots$) ist egal<\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"lyte-wrapper\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_CeEfXWalXeU\"><div id=\"lyte_CeEfXWalXeU\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FCeEfXWalXeU%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\"><\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/CeEfXWalXeU\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FCeEfXWalXeU%2F0.jpg\" alt=\"YouTube-Video-Thumbnail\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<p>Bei diesen Reihen geht es darum, den Konvergenzradius <em>R<\/em> und damit das Intervall f\u00fcr $x$ zu bestimmen, f\u00fcr das die Reihe noch konvergiert: $x\\in(x_0-R,x_0+R)$. Die Randbereiche m\u00fcssen dann noch separat untersucht werden. Der Konvergenzradius $R$ kann entweder mit dem Quotienten- oder dem Wurzelkriterium folgenderma\u00dfen berechnet werden:<\/p>\n<p>\\begin{align}<br \/>\n\\frac{1}{R} = \\limsup\\limits_{k\\rightarrow\\infty}{\\left|\\frac{a_{k+1}}{a_k}\\right|} \\quad \\text{oder} \\quad \\frac{1}{R} = \\limsup\\limits_{k\\rightarrow\\infty}{\\sqrt[k]{|{a_k}|}}<br \/>\n\\end{align}<\/p>\n<p>Der $\\limsup$ ist sehr \u00e4hnlich dem gew\u00f6hnlichen limes: Es bedeutet lediglich &#8222;der gr\u00f6\u00dfte H\u00e4ufungspunkt&#8220;. Im Fall eines eindeutigen Grenzwertes ist es also \u00e4quivalent zum limes.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\na_n&amp;=\\frac{2+(-1)^n}{4}\\quad\\quad\\text{ H\u00e4ufungspunkte sind } \\frac{1}{4} \\text{ und } \\frac{3}{4}\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;{n\\to\\infty}{a_n}\\text{ existiert nicht, aber }\\limsup\\limits_{n\\rightarrow\\infty} \\ {a_n}=\\frac{3}{4}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Die Reihen Exponentialreihe sowie die Reihen der trigonometrischen Funktionen sind Potenzreihen mit Entwicklungspunkt $x_0=0$, $R=\\infty$ und damit $x\\in(-\\infty,\\infty)$. Die geometrische Reihe und deren Partialsumme ist eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $x_0=0$, $R=1$ und damit $x\\in(-1,1)$ (bzw. $q\\in(-1,1)$).<\/p>\n<hr \/>\n<p><strong>Beispiel 1<\/strong><br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\sum_{k=1}^{\\infty}&amp;{\\left(\\frac{(k+2)(x-2)}{2k}\\right)^k}=\\sum_{k=1}^{\\infty}{\\left(\\frac{(k+2)}{2k}\\right)^k\\!\\cdot (x-2)^k}=\\sum_{k=1}^{\\infty}{a_k\\cdot (x-2)^k}\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;x_0=2 \\text{ ist Entwicklungspunkt.}\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\frac{1}{R}=\\sqrt[k]{|{a_k}|}=\\sqrt[k]{|{\\left(\\frac{k+2}{2k}\\right)^k}|}=\\frac{k+2}{2k}\\overset{k\\to\\infty}{\\frac{1}{2}}\\\\<br \/>\n\\Rightarrow\\ &amp; R=2\\ ,\\quad x\\in(2-2,2+2)=(0,4)\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\text{Randbereich: }x=0: \\text{ Da }\\left(\\frac{(k+2)(-2)}{2k}\\right)^k=(-1)^k\\cdot\\left(\\frac{k+2}{k}\\right)^k\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\text{ und } \\left(\\frac{k+2}{k}\\right)^k\\overset{k\\to\\infty}e^2 \\text{ keine Nullfolge ist, divergiert die Reihe f\u00fcr }x=0\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\text{Randbereich: }x=4: \\text{ Da }\\left(\\frac{(k+2)(2)}{2k}\\right)^k=\\left(\\frac{k+2}{k}\\right)^k\\overset{k\\to\\infty}{\\longrightarrow}e^2\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\text{keine Nullfolge ist, divergiert die Reihe f\u00fcr }x=4\\\\ \\\\<br \/>\n\\Rightarrow &amp; \\text{ F\u00fcr} x\\in(0,4) \\text{konvergiert die Reihe.}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\sum_{k=0}^{\\infty}&amp;{\\frac{kx^k}{k!}}=\\sum_{k=0}^{\\infty}{\\frac{k}{k!}\\cdot x^k}=\\sum_{k=0}^{\\infty}{a_k\\cdot x^k}\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;x_0=0 \\text{ ist Entwicklungspunkt.}\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\frac{1}{R}=|{\\frac{a_{k+1}}{a_k}|}=|{\\frac{\\frac{k+1}{(k+1)!}}{\\frac{k}{k!}}}=\\frac{(k+1)}{(k+1)!}\\cdot \\frac{k!}{k}=\\frac{(k+1)\\cdot 1}{(k+1)\\cdot k}=\\frac{1}{k}\\overset{k\\to\\infty}{\\longrightarrow}{0}\\\\ \\\\<br \/>\n\\Rightarrow\\ &amp; R=\\infty\\ ,\\quad x\\in(- \\infty,\\infty) \\ \\Rightarrow \\ \\text{F\u00fcr jedes } x\\in\\mathbb{R} \\text{ konvergiert die Reihe.}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<hr \/>\n<p><strong>Beispiel 2<\/strong><br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\sum_{k=0}^{\\infty}&amp;{\\frac{k^k(x+10)^k}{k!}}=\\sum_{k=0}^{\\infty}{\\frac{k^k}{k!}\\cdot (x+10)^k}=\\sum_{k=0}^{\\infty}{a_k\\cdot (x+10)^k}\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;x_0=-10 \\text{ ist Entwicklungspunkt.}\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\frac{1}{R}= | {\\frac{a_{k+1}}{a_k}}| = | \\frac{ \\frac{(k+1)^{k+1}}{(k+1)!}}{\\frac{k^k}{k!}}| = \\frac{(k+1)^1(k+1)^k}{(k+1)!} \\cdot \\frac{k}{k^k} = \\frac{(k+1)^k}{k^k}=\\left(1+\\frac{1}{k}\\right)^k\\overset{k\\to\\infty}{\\longrightarrow}{e}\\\\ \\\\<br \/>\n\\Rightarrow\\ &amp; R=e^{-1} ,\\quad x\\in(-10-\\text{e}^{-1},-10+e^{-1})\\\\ \\\\<br \/>\n\\Rightarrow\\ &amp; \\text{F\u00fcr } x \\in(-10-e^{-1},-10+e^{-1}) \\text{ konvergiert die Reihe.}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<hr \/>\n<p><strong>Beispiel 3<\/strong><br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\sum_{k=1}^{\\infty}&amp;\\frac{k^{2k}(x+1)^k}(k+1)!=\\sum_{k=1}^{\\infty}{\\frac{k^{2k}}{(k+1)!}\\cdot (x+1)^k}=\\sum_{k=1}^{\\infty}{a_k\\cdot (x+1)^k}\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;x_0=-1 \\text{ ist Entwicklungspunkt.}\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\frac{1}{R}= | \\frac{a_{k+1}}{a_k}| = | \\frac{ \\frac{(k+1)^{2k+2}}{(k+2)!}}{\\frac{k^{2k}}{(k+1)!}}| = \\frac{(k+1)^{2k+2}}{(k+2)!}\\cdot \\frac{(k+1)!}{k^{2k}}= \\left(\\frac{k+1}{k}\\right)^{\\!\\!2k}\\cdot\\frac{(k+1)^2}{k+2}\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\phantom{\\frac{1}{R}}=\\underbrace{\\left(1+\\frac{1}{k}\\right)^{\\!\\!2k}}_{&gt;1} \\cdot \\ \\frac{k^2+2k+1}{k+2}\\overset{k\\to\\infty}{\\longrightarrow}{\\infty}\\\\<br \/>\n\\Rightarrow\\ &amp; R=0 ,\\quad x\\in(-1,-1)=\\{\\}\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\text{Randbereich: }x=-1: \\text{ Da } \\sum_{k=1}^{\\infty}{\\frac{k^{2k}(-1+1)^k}{(k+1)!}}=\\sum_{k=1}^{\\infty}{\\frac{k^{2k}0^k}{(k+1)!}}=0\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\text{konvergiert die Reihe f\u00fcr }x = -1 \\\\ \\\\<br \/>\n\\Rightarrow\\ &amp; \\text{Nur f\u00fcr x=-1 konvergiert die Reihe.}<br \/>\n\\end{align*}<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Eine Reihe ist der Grenzwert der Partialsummen () einer Folge (hier ), sprich die Aufsummierung aller Folgenglieder von : \\begin{align*} \\text{Erste Partialsumme}\\quad s_1 &amp;=\\sum_{k=1}^{1}{a_k} = a_1\\\\ s_2 &amp;=\\sum_{k=1}^{2}{a_k} = a_1 + a_2\\\\ \\vdots &amp; \\\\ \\text{n-te Partialsumme}\\quad s_n &amp;=\\sum_{k=1}^{n}{a_k} = a_1 + a_2 + \\ldots + a_n\\\\ \\Rightarrow\\quad\\lim\\limits_{n\\to\\infty}{s_n} &amp;= \\sum_{k=1}^{n}{a_k} = \\sum_{k=1}^{\\infty}{a_k} \\end{align*} ist die [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"parent":6291,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"categories":[64],"tags":[],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v14.7 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Reihen verst\u00e4ndlich erkl\u00e4rt (Mathematik) - StudyHelp Online-Lernen<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Eine Reihe ist der Grenzwert der Partialsummen einer Folge. 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