Beispiel 1<\/strong><\/p>\n${f}{x}{\\mathbb{R}\\setminus\\{2\\}}{\\mathbb{R}}{\\frac{x^3+3x^2-6x-8}{x-2}},\\quad x_0=2$\n <\/p>\n$\\stackrel{\\text{per HS}}{\\Rightarrow} f(x) = x^2+5x+4\\ ,\\quad x\\neq 2$\n
<\/p>\n$\\phantom{\\stackrel{\\text{per HS}}{\\Rightarrow}}\\lim\\limits_{x \\uparrow 2}{f(x)}=4+10+4=18$\n
<\/p>\n$\\phantom{\\stackrel{\\text{per HS}}{\\Rightarrow}}\\lim\\limits_{x \\downarrow 2}{f(x)}=4+10+4=18$\n
<\/p>\n
Die Funktion $f$ l\u00e4sst sich an der Stelle $x_0=2$ stetig erweitern:<\/p>\n$\\Rightarrow \\tilde{f}:\\mathbb{R} \\rightarrow \\mathbb{R}, \\tilde{f}(x){x^2+5x+4}=
\n\\begin{cases} \\frac{x^3+3x^2-6x-8}{x-2} & x\\neq 2 \\\\ 18 & x=2\\end{cases}$\n
![\"stetigkeit](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/06\/stetigkeit-Beispiel-4-300x240.png\")
<\/p>\n
\nBeispiel 2<\/strong><\/p>\n${g}:\\mathbb{R}\\setminus\\{-1\\}\\longrightarrow{\\mathbb{R}},\\ \\ g(x){\\frac{2x|{x+1}|}{x+1}},\\quad x_0=-1$\n <\/p>\n$\\lim\\limits_{x \\uparrow -1}{g(x)}=\\lim\\limits_{x \\uparrow -1}{\\frac{2x(-(x+1))}{x+1}}=\\lim\\limits_{x \\uparrow -1}{-2x}=2$\n
<\/p>\n$\\lim\\limits_{x \\downarrow -1}{g(x)}=\\lim\\limits_{x \\downarrow -1}{\\frac{2x(x+1)}{x+1}}=\\lim\\limits_{x \\downarrow -1}{2x}=-2$\n
<\/p>\n
Die Funktion $g$ l\u00e4sst sich an der Stelle $x_0=-1$ nicht stetig erweitern (Sprungstelle).<\/p>\n
![\"stetigkeit](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/06\/stetigkeit-Beispiel-5-300x231.png\")
<\/p>\n
\nBeispiel 3<\/strong><\/p>\nExistieren Zahlen $t\\in\\mathbb{R}$, sodass die Funktion $h$ in $x=0$ stetig fortsetzbar wird? Falls ja, gib $t$ an und setze $h$ stetig fort.<\/p>\n
\\begin{align*}
\n&{h}:{\\mathbb{R}\\setminus\\{1\\}}{\\mathbb{R}}{\\begin{cases} -2t\\exp^{\\exp^{\\frac{1}{x-1}}} & x<1 \\\\ -\\left(\\frac{x-t}{\\sqrt{t}-\\sqrt{x}}\\right)^2& x>1\\end{cases}}
\n\\end{align*}<\/p>\n
<\/p>\n
Linksseitig:<\/strong>
\n$\\lim\\limits_{x \\uparrow 1}{h(x)}=\\lim\\limits_{x \\uparrow 1}{-2t\\exp^{\\exp^{\\frac{1}{x-1}}}}=-2t,\\quad\\text{da (hier mal ganz ausf\u00fchrlich):}$<\/p>\n <\/p>\n$\\lim\\limits_{x \\uparrow 1}{x-1}=0 \\text{ (n\u00e4hert sich negativ der 0), daraus folgt:}$\n
<\/p>\n$\\lim\\limits_{x \\uparrow 1}{\\frac{1}{x-1}}=-\\infty (\\frac{1}{0}=\\pm\\infty \\text{ da Nenner neg.: } -) \\infty, \\text{ daraus folgt: }$\n
<\/p>\n$\\lim\\limits_{x \\uparrow 1}{\\exp^{\\frac{1}{x-1}}}=0 \\text{ („$\\exp^{-\\infty}=0$“), daraus folgt dann:}$\n
<\/p>\n$\\lim\\limits_{x \\uparrow 1}{\\exp^{\\exp^{\\frac{1}{x-1}}}}=1 \\text{ ($\\exp^0=1$), daraus folgt dann der obenstehende Grenzwert.}$\n
<\/p>\n
Rechtsseitig:<\/strong>
\n$\\lim\\limits_{x \\downarrow 1}{h(x)}=\\lim\\limits_{x \\downarrow 1}{-\\left(\\frac{x-t}{\\sqrt{t}-\\sqrt{x}}\\right)^2}=\\lim\\limits_{x \\downarrow 1}{-\\left(\\frac{(\\sqrt{x}-\\sqrt{t})(\\sqrt{x}+\\sqrt{t})}{\\sqrt{t}-\\sqrt{x}}\\right)^2}$<\/p>\n <\/p>\n$\\lim\\limits_{x \\downarrow 1}{-\\left(-\\frac{(-\\sqrt{x}+\\sqrt{t})(\\sqrt{x}+\\sqrt{t})}{\\sqrt{t}-\\sqrt{x}}\\right)^2}=\\lim\\limits_{x \\downarrow 1}{-\\left(-(\\sqrt{x}+\\sqrt{t})\\right)^2}\\\\
\n=\\lim\\limits_{x \\downarrow 1}{-\\left(\\sqrt{x}+\\sqrt{t}\\right)^2}=-\\left(1+\\sqrt{t}\\right)^2=-(1+2\\sqrt{t}+t)=-1-2\\sqrt{t}-t$\n
<\/p>\n
Grenzwerte gleichsetzen, um die $t$ auszurechnen, bei denen die Grenzwerte tats\u00e4chlich gleich sind:<\/p>\n
<\/p>\n$-1-2\\sqrt{t}-t=-2t$\n
<\/p>\n$\\Leftrightarrow t-2\\sqrt{t}-1=0\\quad t \\text{ substituieren, um quadratische Gleichung zu bekommen}$\n
<\/p>\n$z:=\\sqrt{t},\\ z^2=t,\\quad \\Rightarrow z\\geq 0\\text{ (wegen der Wurzel)}$\n
<\/p>\n$\\Rightarrow z^2-2z-1=0$\n
<\/p>\n$\\Rightarrow z_{1,2}=1\\pm\\sqrt{1+1}=1\\pm\\sqrt{2} \\ \\stackrel{z\\geq 0}{\\Rightarrow} z=1+\\sqrt{2}$\n
<\/p>\n$\\stackrel{t=z^2}{\\Rightarrow} t =1+\\sqrt{2}^2=1+2\\sqrt{2}+2=3+2\\sqrt{2}$\n
<\/p>\n
F\u00fcr $t=3+2\\sqrt{2}$ ist $h$ in $x=1$ stetig fortsetzbar. Nun das $t$ in einen der beiden Grenzwerte einsetzen, um den Funktionswert zu bestimmen, mit dem stetig fortgesetzt werden soll:<\/p>\n$\\tilde h(1)=-2(3+2\\sqrt{2})=-6-4\\sqrt{2}$\n
<\/p>\n$\\tilde{h}:\\mathbb{R} \\longrightarrow \\mathbb{R}{\\begin{cases} -2(3+2\\sqrt{2})\\exp^{\\exp^{\\frac{1}{x-1}}} & x<1 \\\\ -6-4\\sqrt{2} & x=1 \\\\ -\\left(\\sqrt{x}+\\sqrt{3+2\\sqrt{2}}\\right)^2& x>1\\end{cases}}$\n
\nEpsilon-Delta-Kriterium f\u00fcr Stetigkeit<\/h2>\n
Wie schon erw\u00e4hnt, ist das offizielle und mathematisch allgemeine Verfahren f\u00fcr einen Stetigkeitsnachweis in einem Punkt $x_0$ das $\\epsilon – \\delta$-Kriterium, das formal so aussieht:<\/p>\n
\\begin{align}
\n&\\forall\\epsilon>0\\ \\exists\\delta>0\\ \\forall x\\in\\ D:\\ {|x-x_0|}<\\delta\\ \\Rightarrow\\ {|f(x)-f(x_0)|}<\\epsilon
\n\\end{align}<\/p>\n
Wenn wir uns diese Definition\/dieses Kriterium ansehen, k\u00f6nnten wir meinen, hier wird sprichw\u00f6rtlich mit Kanonen auf Spatzen geschossen oder im studentischen Fachjargon „Man kann es nicht komplizierter ausdr\u00fccken!“.<\/p>\n
Wie ist das zu lesen und was ist zu tun? Es \u00e4hnelt im Aufbau dem $\\epsilon$-Kriterium aus dem Thema Folgen; daher ist die Vorgehensweise\/der strukturelle Ablauf sehr \u00e4hnlich, im Allgemeinen aber leider „stressiger“. In Worten ist:<\/p>\n
„F\u00fcr alle (vorgegebenen) Epsilons gr\u00f6\u00dfer Null gibt es ein positives Delta, sodass f\u00fcr alle $x$ aus dem Definitionsbereich der Funktion die folgende Implikation gilt: Wenn der Abstand von $x$ zu $x_0$ kleiner Delta ist, dann ist auch der Abstand der zugeh\u00f6rigen Funktionswerte kleiner Epsilon.“<\/p>\n
![\"epsilon-delta-kriterium\"](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/06\/epsilon-delta-kriterium-300x242.png\")
<\/p>\n
Deine Aufgabe ist, das $\\delta$ in Abh\u00e4ngigkeit von (einem vorgegebenen) $\\epsilon$ auszudr\u00fccken. Auch wenn kein fester Zahlenwert f\u00fcr $\\epsilon$ in der Fragestellung angegeben ist, ist dies die vorgegebene Gr\u00f6\u00dfe. Du bist am Ziel, wenn du am Ende eine „Funktionsvorschrift“ $\\delta(\\epsilon)$ gefunden hast, die immer erf\u00fcllt ist. <\/p>\n
Wenn $\\epsilon$ kleiner wird (gegen Null l\u00e4uft), dann muss passend dazu auch $\\delta$ kleiner werden (gegen Null laufen). Das „passend dazu“ dr\u00fcckst du mathematisch durch das $\\delta(\\epsilon)$ aus:<\/p>\n${|f(x)-f(x_0)|}=\\ldots\\leq\\ldots\\cdot {|x-x_0|}<\\underbrace{\\ldots\\cdot\\delta<\\epsilon}_{\\ast^1} \\qquad \\ast^1\\ \\Rightarrow\\ \\delta(\\epsilon)=\\ldots$\n
Oft ist bei der Absch\u00e4tzung die von Mathematikern geliebte Dreiecksungleichung zu benutzen, denn du darfst in dem Ausdruck am Ende nur $\\delta$, $\\epsilon$ und Zahlen aus $\\mathbb{R}$ stehen haben. Sind noch weitere $x$ im Term enthalten, m\u00fcssen diese geschickt umgeschrieben\/nach oben abgesch\u00e4tzt werden (Dreiecksungleichung), zu Ausdr\u00fccken $|{x-x_0}|$, die dann wieder durch $\\delta$ ersetzt werden k\u00f6nnen.<\/p>\n
${f}:{\\mathbb{R}}{(0,1]}{\\frac{1}{x^2+1}},\\quad$ Zeige mit dem $\\epsilon – \\delta$-Kriterium: $f$ ist in $x_0=2$ stetig. Sei $\\epsilon>0$, dann existiert zu jedem $\\epsilon$ ein $\\delta := -2+\\sqrt{4+\\epsilon}$, sodass:<\/p>\n
\\begin{align*}
\n|f(x)-f(x_0)|&=|\\frac{1}{x^2+1}-\\frac{1}{5}|=|\\frac{5-(x^2+1)}{5(x^2+1)}|=|\\frac{-x^2+4}{5(x^2+1)}|<|-x^2+4|\\\\ \\\\
\n&=|x^2-4|=|(x+2)(x-2)|<|(x+2)\\cdot\\delta| = |(x-2+4)|\\cdot\\delta\\\\ \\\\
\n&\\leq \\left(|x-2|+|4|\\right)\\cdot\\delta < \\left(\\delta+4\\right)\\cdot\\delta=\\epsilon
\n\\end{align*}<\/p>\n
mit $\\left(\\delta+4\\right)\\cdot\\delta=\\epsilon \\Leftrightarrow \\delta^2+4\\delta-\\epsilon=0\\ \\Rightarrow\\ \\delta_{1,2}=-2\\pm\\sqrt{4+\\epsilon}$, da $\\delta>0$ folgt:<\/p>\n$\\delta=-2+\\sqrt{4+\\epsilon}$\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Eine Funktion ist stetig, wenn der Graph der Funktion im Definitionsbereich nahtlos gezeichnet werden kann. Anders ausgedr\u00fcckt: Der Graph muss in jedem zusammenh\u00e4ngenden Teilintervall aus dem Definitionsbereich nahtlos gezeichnet werden k\u00f6nnen. Allgemein ist Stetigkeit \u00fcber das -Kriterium definiert, mit dem wir uns am Ende dieser Seite noch besch\u00e4ftigen werden. F\u00fcr Funktionen in lediglich einer Ver\u00e4nderlichen […]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"parent":6291,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"categories":[64],"tags":[],"yoast_head":"\n
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