Beispiel 1<\/strong><\/p>\n Ist $f$ injektiv?<\/p>\n$f:{\\mathbb{R}\\setminus\\{0\\}}{\\mathbb{R}}{\\frac{x^2+3x+3}{x^3}}$\n <\/p>\n $f$ ist differenzierbar auf $\\mathbb{R}\\setminus\\{0\\}$, da es eine gebrochenrationale Funktion ist.<\/p>\n$f'(x)=\\frac{(2x+3)x^3-(x^2+3x+3)\\cdot 3x^2}{x^6}=\\frac{(2x+3)x-(x^2+3x+3)\\cdot 3}{x^4}$\n$=\\frac{-x^2-6x-9}{x^4}=-\\frac{x^2+6x+9}{x^4}$\n <\/p>\n Nenner $x^4$ ist f\u00fcr alle $x\\in\\mathbb{R}\\setminus\\{0\\}$ gr\u00f6\u00dfer Null,<\/p>\n Z\u00e4hler $x^2+6x+9$ stellt als Funktion eine nach oben ge\u00f6ffnete Parabel dar.<\/p>\n <\/p>\n Nullstellen: $x_{1,2}=-3\\pm\\sqrt{3^2-9}=-3$ (doppelte Nullstelle). Also liegt der Scheitelpunkt auf der $x$-Achse.<\/p>\n Also ist auch $x^2+6x+9$ f\u00fcr alle $x\\in\\mathbb{R}\\setminus\\{-3,0\\}$ gr\u00f6\u00dfer Null und f\u00fcr $x=-3$ gleich Null (vereinzelte Stelle darf Null sein ($f$ hat hier eine Sattelstelle)). Damit also $-\\frac{x^2+6x+9}{x^4}<0$ f\u00fcr alle $x\\in\\mathbb{R}\\setminus\\{0\\}$.<\/p>\n $f$ f\u00e4llt also jeweils streng monoton auf den Teilintervallen $(-\\infty,0)$ und $(0,\\infty)$.<\/p>\n <\/p>\n Wenn jetzt $\\lim\\limits_{x \\to -\\infty}{f(x)}\\leq \\lim\\limits_{x \\to \\infty}{f(x)}$ gilt und die Funktion die Grenzwerte f\u00fcr kein $x$ annimmt (so schlie\u00dfen wir das $„=“$ im $„\\leq“$ f\u00fcr angenommene Funktionswerte aus, denn das darf bei Injektivit\u00e4t f\u00fcr Funktionswerte nicht gelten; f\u00fcr den Grenzwert ist das aber egal), muss $f$ injektiv sein.<\/p>\n $\\lim\\limits_{x \\to -\\infty}{f(x)}=0$ und $\\lim\\limits_{x \\to \\infty}{f(x)}=0$ (Nennergrad $>$ Z\u00e4hlergrad)<\/p>\n $f(x)=0\\ \\Leftrightarrow\\ x^2+3x+3=0\\ \\Leftrightarrow\\ x_{1,2}=-\\frac{3}{2}\\pm\\sqrt{\\frac{9}{4}-\\frac{12}{4}}$, negativer Term unter der Wurzel, also keine L\u00f6sung in $\\mathbb{R}$.<\/p>\n Damit ist $f$ injektiv!<\/p>\n F\u00fcr die Surjektivit\u00e4t gibt es kein allgemein g\u00fcltiges Kochrezept.<\/p>\n Falls nicht explizit auf $x$ umgeformt werden kann „basteln“ wir uns den Nachweis \u00fcber die Stetigkeit und dem Grenzverhalten der Funktion zusammen.<\/p>\n Um das Grenzverhalten festzustellen wird oft die Regel von l’hospital angewendet. Ebenfalls wird, wenn z.B. das Grenzverhalten einer Funktion $\\infty$ f\u00fcr $x\\rightarrow\\pm\\infty$ ist auf die Extremstellenberechnung zur\u00fcckgreifen. Wo liegt dann der tiefste Punkt?<\/p>\n $f {:} \\ \\ \\mathbb{R}\\text{ \\ {0}} \\longrightarrow \\mathbb{R}, \\ f(x)={x^2\\sin\\left(\\frac{1}{x}\\right)} \\quad \\quad \\text{ Ziel: Zeige, dass } f(\\mathbb{R}\\text{ \\ {0}})=\\mathbb{R}$ gilt.<\/p>\n $f$ ist auf ganz $\\mathbb{R}\\text{ \\ {0}}$ stetig, da es aus stetigen Funktionen zusammengesetzt ist und kein unbestimmter Ausdruck auftreten kann (z.B. durch 0 teilen etc.)<\/p>\n Grenzverhalten: Wir wissen zu diesem Zeitpunkt schon, dass f auf jeden Fall alle Werte aus $(-\\infty,0)\\cup(0,\\infty)$ annimmt:<\/p>\n $\\quad$ Intervall $(-\\infty,0)$ aufgrund von $\\lim\\limits_{x \\to – \\infty}{f(x)}, \\lim\\limits_{x \\to 0}{f(x)}$ und Stetigkeit, Den Grenzwert 0 f\u00fcr $x\\rightarrow 0$ k\u00f6nnen wir nat\u00fcrlich nicht als Funktionswert verwenden, da $x=0$ nicht im Definitionsbereich liegt. Jetzt k\u00f6nnen wir versuchen, einen $x$-Wert zu finden, f\u00fcr den $f(x)=0$ gilt: $x=\\frac{1}{\\pi}$ liefert das Gew\u00fcnschte:<\/p>\n <\/p>\n$f\\left(\\frac{1}{\\pi}\\right)=\\frac{1}{\\pi^2}\\cdot\\sin\\left(\\frac{1}{\\frac{1}{\\pi}}\\right)=\\frac{1}{\\pi^2}\\cdot\\sin(\\pi)=0$\n (Wie kommen wir auf $\\sin(\\pi)=0$? $x^2$ wird nie Null, falls $x\\neq 0$. Also muss der Sinus herhalten: Nullstellen des Sinus sind $\\ldots-\\pi, 0, \\pi, 2\\pi,\\ldots$ und da im Sinus ein Kehrbruch steht, m\u00fcssen wir die Nullstelle auch in einen Kehrbruch schreiben.)<\/p>\n Also gilt $f(\\mathbb{R}\\text{ \\ {0}})=\\mathbb{R}$ und damit ist $f$ surjektiv!<\/p>\n Wenn Bijektivit\u00e4t nachgewiesen wurde, kann ebenfalls die Umkehrvorschrift $f^{-1}(x)$ bestimmt werden (Achtung: nicht bei allen bijektiven Funktionen ist dies m\u00f6glich!). Daf\u00fcr muss $f(y)=x$ gesetzt und auf $y$ umgeformt werden:<\/p>\n \\begin{align*} Kombiniertes Beispiel:<\/strong><\/p>\n$f: \\ \\mathbb{R} \\longrightarrow {(0,\\infty)}\\ f(x) \\ =\\frac{e^x}{e^{-x}+2}$\n <\/p>\n Injektivit\u00e4t<\/strong><\/p>\n $f'(x)>0$ f\u00fcr alle $x\\in\\mathbb{R}$. Damit ist $f$ streng monoton steigend und deshalb injektiv.<\/p>\n <\/p>\n Surjektivit\u00e4t<\/strong><\/p>\n Der ganze Wertebereich wird von $f(x)$ erreicht und damit ist $f$ surjektiv.<\/p>\n $f$ ist also bijektiv und besitzt daher eine Umkehrfunktion $f^{-1}$<\/p>\n${f^{-1}}{x}{(0,\\infty)}\\mathbb{R}{\\ldots}$\n \\begin{align*} Die Umkehrfunktion zur Funktion wird mit notiert. (!). Definitions- und Wertebereich drehen sich um. ordnet folglich jeder Zahl aus sein Urbild aus zu! Es gilt: Geometrisch ist deswegen auch der Graph von die Spiegelung des Graphen von an der Winkelhalbierenden des ersten Quadranten im Koordinatenkreuz (die Winkelhalbierende entspricht dem Graphen der Identit\u00e4tsfunktion , die […]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"parent":6291,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"categories":[64],"tags":[],"yoast_head":"\n![\"Umkehrfunktion](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/06\/Umkehrfunktion-Beispiel-300x124.png\")
<\/p>\nNachweis Surjektivit\u00e4t<\/h2>\n
\n\\begin{align*}
\n&\\lim\\limits_{x \\to \\infty}{x^2\\sin\\left(\\frac{1}{x}\\right)}=“\\infty\\cdot 0″‚\\ \\Rightarrow\\ \\lim\\limits_{x \\to \\infty}{\\frac{\\sin\\left(\\frac{1}{x}\\right)}{\\frac{1}{x^2}}}=“\\frac{0}{0}“\\\\
\n\\text{(l.’h.)}\\Rightarrow\\ &\\lim\\limits_{x \\to \\infty}{\\frac{\\cos\\left(\\frac{1}{x}\\right)\\cdot\\left(-\\frac{1}{x^2}\\right)}{-2\\cdot\\frac{1}{x^3}}}=\\frac{1}{2}\\lim\\limits_{x \\to \\infty}{\\frac{\\cos\\left(\\frac{1}{x}\\right)}{\\frac{1}{x}}}=\\frac{1}{2}\\lim\\limits_{x \\to \\infty}{x\\cdot\\cos\\left(\\frac{1}{x}\\right)}=\\infty\\text{ („$\\infty\\cdot 1$„)}\\\\[4mm]
\n&\\lim\\limits_{x \\to – \\infty}{x^2\\sin\\left(\\frac{1}{x}\\right)}=\\ldots=\\frac{1}{2}\\lim\\limits_{x \\to – \\infty}{x\\cdot\\cos\\left(\\frac{1}{x}\\right)}=-\\infty\\text{ („$-\\infty\\cdot 1$“)}\\\\[4mm]
\n&\\lim\\limits_{x \\to 0}{x^2\\sin\\left(\\frac{1}{x}\\right)}{=}0\\text{ (da } x^2 \\text{ gegen Null l\u00e4uft und der Sinus beschr\u00e4nkt ist)}
\n\\end{align*}<\/p>\n
\n$\\quad$ Intervall $(\\infty,0)$ aufgrund von $\\lim\\limits_{x \\to \\infty}{f(x)}, \\lim\\limits_{x \\to 0}{f(x)}$ und Stetigkeit.<\/p>\n![\"Nachweis](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/06\/Nachweis-Surjektivit\u00e4t-300x132.png\")
<\/p>\nBestimmung Umkehrfunktion<\/h2>\n
\n\\begin{array}{rrcl}
\n&f(y) = y^2+1&=&x\\\\
\n\\Leftrightarrow\\ &\\quad y^2&=& x-1\\\\
\n\\Leftrightarrow\\ &\\quad y&=&\\sqrt{x-1} =: f^{-1}(x)\\\\
\n\\Rightarrow\\ &{f^{-1}} \\ : \\ {[1,\\infty)}\\longrightarrow {[0,\\infty)}, \\ f^{-1}(x)={\\sqrt{x-1}}
\n\\end{array}
\n\\end{align*}<\/p>\n![\"\"](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/06\/Umkehrfunktion-bestimmen-300x239.png\")
<\/p>\n\n
\n\\begin{align*}&f'(x)=\\frac{\\exp^{x}(\\exp^{-x}+2)-\\text{e}^{x}(-\\exp^{-x})}{(\\exp^{-x}+2)^2}=\\frac{1+2\\exp^{x}+1}{(\\exp^{-x}+2)^2}=2\\cdot\\frac{\\exp^{x}+1}{(\\exp^{-x}+2)^2}
\n\\end{align*}<\/li>\n<\/ul>\n\n
![\"Surjektivit\u00e4t\"](\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/06\/Surjektivit\u00e4t-300x243.png\")
<\/p>\n
\n&&f(y) = \\frac{\\exp^y}{\\exp^{-y}+2}&=x\\quad\\left|\\right.\\text{ Bruch erweitern mit }\\exp^y\\\\ \\\\
\n\\Leftrightarrow\\ &&\\quad \\frac{\\exp^{2y}}{1+2\\exp^y}&= x\\\\ \\\\
\n\\Leftrightarrow\\ &&\\quad \\exp^{2y}-2x\\exp^y-x&= 0\\\\ \\\\
\n\\Leftrightarrow\\ &&\\quad \\exp^y_{1,2}&= x\\pm\\sqrt{x^2+x}\\stackrel{!}{>}0\\quad \\text{da} \\exp^y>0\\ \\forall y\\in\\mathbb{R}\\\\ \\\\
\n\\Leftrightarrow\\ &&\\quad \\exp^y&= x+\\sqrt{x^2+x}\\\\ \\\\
\n\\Leftrightarrow\\ &&\\quad y&= \\ln\\left(x+\\sqrt{x^2+x}\\right)=:f^{-1}(x)\\\\ \\\\ \\\\
\n\\Rightarrow\\ &&\\quad {f^{-1}}:{(0,\\infty)}\\rightarrow\\mathbb{R}, {f^{-1}}(x)={\\ln\\left(x+\\sqrt{x^2+x}\\right)}
\n\\end{align*}<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"