{"id":14,"date":"2015-03-25T20:48:49","date_gmt":"2015-03-25T19:48:49","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/mathe\/wp\/?page_id=14"},"modified":"2020-06-26T09:03:19","modified_gmt":"2020-06-26T07:03:19","slug":"ableiten","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/ableiten\/","title":{"rendered":"Ableiten"},"content":{"rendered":"<br \/>\nIn diesem Artikel erkl\u00e4ren wir euch schnell und leicht verst\u00e4ndlich die Grundlagen f\u00fcrs Ableiten von Funktionen. <\/p>\n<p><strong>Inhalt auf dieser Seite<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#wichtigste-ableitungsregeln\">\u00dcberblick wichtiger Ableitungsregeln<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#ableitung\">Warum bilden wir eine Ableitung?<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#grundlagen-zum-ableiten\">Grundlagen zum Ableiten<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#grafisches-ableiten\">Grafisches Ableiten und Aufleiten<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#kettenregel\">Kettenregel<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#produktregel\">Produkteregel<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#quotientenregel\">Quotientenregel<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#ableitungsregeln\">Weitere Ableitungsregeln<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#e-und-ln-funktion-ableiten\">e- und ln-Funktion ableiten<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<hr>\n\n<h2 id=\"wichtigste-ableitungsregeln\" class=\"anchor\">\u00dcberblick wichtiger Ableitungsregeln<\/h2>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1714 \" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_ableiten.png\" alt=\"Allgemeine Ableitungsregeln\" width=\"372\" height=\"315\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_ableiten.png 472w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_ableiten-300x254.png 300w\" sizes=\"(max-width: 372px) 100vw, 372px\" \/><\/p>\n<hr>\n<h2 id=\"ableitung\" class=\"anchor\">Warum bilden wir eine Ableitung?<\/h2>\n<p>Im Kapitel Kurvendiskussion werden wir sehen, dass die erste Ableitung zum Beispiel ein notwendiges Kriterium zum Vorliegen von Extremwerten ist. Denn wenn die Tangentensteigung an einer Stelle gleich 0 ist, also $f'(x_0)=0$, wissen wir, dass an der Stelle $x_0$ (k\u00f6nnen auch mehrere Stellen sein) ein Hoch- oder Tiefpunkt (oder Sattelpunkt) vorliegt.<\/p>\n<p>Bevor wir uns jetzt die ganzen Ableitungsregeln anschauen, sollen die Zusammenh\u00e4nge der Ableitungen untereinander verst\u00e4ndlich gemacht werden. Wie diese zusammenh\u00e4ngen sehen wir im nachfolgenden Abschnitt.<\/p>\n<hr>\n<h2 id=\"grundlagen-zum-ableiten\" class=\"anchor\">Grundlagen zum Ableiten<\/h2>\n<p>Was du zun\u00e4chst zum Thema Ableiten wissen solltets: <strong>Geometrisch entspricht die Ableitung einer Funktion der Tangentensteigung<\/strong>. Wie du dir das vorstellen kannst, sehen wir in der Abbildung.<\/p>\n<p>Angenommen die Funktion lautet $f(x)=x^2$, dann lautet die zugeh\u00f6rige erste Ableitung $f'(x)=2x$, welche die Steigung der Tangente an jeder Stelle $x_0$ definiert.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3974 size-full\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_ableitung_tangente-1024x6081.png\" alt=\"Ableitung einer Funktion der Tangentensteigung\" width=\"433\" height=\"257\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_ableitung_tangente-1024x6081.png 433w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_ableitung_tangente-1024x6081-300x178.png 300w\" sizes=\"(max-width: 433px) 100vw, 433px\" \/><\/p>\n<p>Setzen wir f\u00fcr $x$ Zahlen ein, z.B. $x_0=2$, sehen wir, dass die Tangentensteigung an der Stelle 2 gleich $f'(2)=4$ ist. Wenn wir $x_0=-1$ einsetzen, erhalten wir mit $f'(-1)=-2$ die Steigung der Tangente an der Stelle -1.<\/p>\n<p>Es gilt (was sich leicht aus der obigen Grafik nachvollziehen l\u00e4sst):<\/p>\n<ul>\n<li>liegt $x_0$ in einem Bereich, in dem die Kurve steigt, gilt $f'(x)&gt;0$<\/li>\n<li>liegt $x_0$ in einem Bereich, in dem die Kurve f\u00e4llt, gilt $f'(x)&lt;0$<\/li>\n<\/ul>\n\n<hr>\n<h2 id=\"grafisches-ableiten\" class=\"anchor\">Grafisches Ableiten und Aufleiten<\/h2>\n<p>Anhand der folgenden Grafik kann man sch\u00f6n sehen, wie $f(x), f'(x)$ und $f&#8220;(x)$ miteinander verbunden sind. Vielleicht kennt ihr diese Eselsbr\u00fccke: N steht hierbei f\u00fcr die Nullstelle, E f\u00fcr Extrempunkt und W f\u00fcr den Wendepunkt.<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\begin{array}{|c|c|c|c|c|c}<br \/>\nf(x) &amp; N &amp; E &amp; W &amp; &amp; \\\\<br \/>\nf'(x) &amp; &amp; N &amp; E &amp; W &amp; \\\\<br \/>\nf&#8220;(x) &amp; &amp; &amp; N &amp; E &amp; W<br \/>\n\\end{array}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>Was soll uns diese Tabelle sagen?<\/strong><\/p>\n<p>Die Tabelle zeigt zusammenfassend, welche Funktion uns welchen Wert f\u00fcr die jeweilige Ableitung oder Aufleitung liefert.<\/p>\n<p><strong>Gucken wir uns dazu die Abbildung etwas genauer an:<\/strong><\/p>\n<p>Die Nullstelle der 2. Ableitung $f&#8220;(x)$ zeigt uns den $x$-Wert f\u00fcr den Extrempunkt der 1. Ableitung $f'(x)$. Dieser wiederum zeigt uns, wo die Ausgangsfunktion $f(x)$ seinen Wendepunkt hat.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-3976 size-full\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_grafischableiten1.png\" alt=\"Grafisches Ableiten und Aufleiten \" width=\"282\" height=\"511\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_grafischableiten1.png 282w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2015\/03\/bil_grafischableiten1-166x300.png 166w\" sizes=\"(max-width: 282px) 100vw, 282px\" \/><\/p>\n<p><strong>Daniel erkl\u00e4rt dir nochmal in seinem Lernvideo wie man graphisch ableitet!<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_vzhioccb0IY\"><div id=\"lyte_vzhioccb0IY\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Fvzhioccb0IY%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\"><\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/vzhioccb0IY\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Fvzhioccb0IY%2F0.jpg\" alt=\"YouTube-Video-Thumbnail\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr>\n<h2 id=\"kettenregel\" class=\"anchor\">Kettenregel<\/h2>\n<p>Wie der Name schon sagt, muss die Kettenregel immer dann angewendet werden, wenn wir zwei miteinander verkettete Funktionen vorliegen haben. Man spricht dann von einer inneren und von einer \u00e4u\u00dferen Funktion. Im Allgemeinen hat eine solche Funktion die folgende Form:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf(x)&amp;=g(h(x))<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Schauen wir uns dazu ein einfaches Beispiel an:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf(x)&amp;=(x^3+2)^2<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Jetzt versuchen wir die innere und die \u00e4u\u00dfere Funktion zu identifizieren. Die \u00e4u\u00dfere Funktion ist $g(h)=h^2$\u00a0und die innere Funktion lautet $h(x)=x^3+2$.<br \/>\nWenn wir diese Funktion nun ableiten m\u00fcssen, kommt die folgenden Regel zum Tragen:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf(x)&amp;=g(h(x))\\rightarrow h'(x)\\cdot g'(h(x))<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Einfacher formuliert kann man sagen, innere Ableitung multipliziert mit der \u00e4u\u00dferen Ableitung. Wenn wir diese Regel jetzt auf unser Beispiel anwenden, erhalten wir die folgende Ableitungsfunktion:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf'(x)&amp;=3x^2 \\ \\cdot 2 \\cdot(x^3+2)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>An dieser Stelle k\u00f6nnen wir unsere Ableitungsfunktion noch etwas vereinfachen:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf'(x)&amp;=6x^2\\cdot (x^3+2)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<h3><strong>Weiteres Beispiel Ableiten mit Kettenregel<\/strong><\/h3>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf(x)= (x^3+5x)^3<br \/>\n\\end{align*}<br \/>\nmit $u(v)=v^3 \\rightarrow u'(v)=3v^2$ und $v(x)=x^3+5x \\rightarrow v'(x)= 3x^2+5$ lautet die erste Ableitung:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf'(x)= 3\\cdot (x^3+5x)^2\\cdot (3x^2+5)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/ausklammern-und-ausmultiplizieren\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Klammersetzung<\/a> nicht vergessen bei $v'(x)$!<\/p>\n<p><strong>Schau dir zur Vertiefung der Kettenregel das passende Lernvideo an!<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_5XTyvEe70Fs\"><div id=\"lyte_5XTyvEe70Fs\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F5XTyvEe70Fs%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\"><\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/5XTyvEe70Fs\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F5XTyvEe70Fs%2F0.jpg\" alt=\"YouTube-Video-Thumbnail\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<h3>Regel f\u00fcr die Ableitung von komplizierteren Potenzausdr\u00fccken<\/h3>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\left((etwas)^p\\right)&#8217;=p\\cdot (etwas)^{p-1} \\cdot (etwas)&#8216;<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Das $etwas$ steht f\u00fcr eine beliebige Funktion, wie z.B. $x^3+5x$ oder $e^x$ etc.<\/p>\n\n<hr>\n<h2 id=\"produktregel\" class=\"anchor\">Produktregel<\/h2>\n<p>Die Produktregel wird immer dann angewendet, wenn es sich bei unserer vorhandenen Funktion um ein Produkt handelt. Dazu folgendes Beispiel:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n&amp;f(x) = 2x\\cdot e^x<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Unsere Funktion besteht aus den beiden einzelnen Faktoren $2x$ und $e^x$.<\/p>\n<p>Den ersten Faktor unseres Produkts nennen wir \u00a0und den zweiten Faktor unseres Produkts nennen wir . Die Produktregel lautet dann ganz allgemein:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n&amp;f(x)=u(x)\\cdot v(x)<br \/>\n\\rightarrow f'(x)=u'(x)\\cdot v(x) + u(x)\\cdot v'(x)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Also erster Faktor abgeleitet mal zweiter Faktor nicht abgeleitet plus erster Faktor nicht abgeleitet mal zweiter Faktor abgeleitet.<br \/>\nIm n\u00e4chsten Schritt wollen wir nun die Produktregel auf unser obenstehendes Beispiel anwenden:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n&amp;f(x)=2x \\cdot e^x \\quad mit \\quad u(x)=2x \\quad und \\quad v(x)=e^x<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Wir schreiben erstmal die vier ben\u00f6tigten Komponenten auf:<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n&amp;u(x)=2x \\\\<br \/>\n&amp;u'(x)=2 \\\\ \\\\<br \/>\n&amp;v(x)=e^x \\\\<br \/>\n&amp;v'(x)=e^x \\ \\textrm{(Die Ableitung von $e^x$ ist immer $e^x$)}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Jetzt setzen wir diese vier Komponenten nach der obenstehenden Regel wieder zusammen:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf'(x)=2\\cdot e^x+2x\\cdot e^x<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Abschlie\u00dfend fassen wir unseren Term noch zusammen und klammern den gemeinsamen Faktor $e^x$aus:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf'(x)=e^x\\cdot (2+2x)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Dieses Vorgehen ist absolut empfehlenswert, da wir jetzt wieder ein Produkt haben und problemlos erneut die Produktregel f\u00fcr die zweite Ableitung anwenden k\u00f6nnen.<\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_pi_q17XcEyI\"><div id=\"lyte_pi_q17XcEyI\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Fpi_q17XcEyI%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\"><\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/pi_q17XcEyI\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Fpi_q17XcEyI%2F0.jpg\" alt=\"YouTube-Video-Thumbnail\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr>\n<h2 id=\"quotientenregel\" class=\"anchor\">Quotientenregel<\/h2>\n<p>Die Quotientenregel wird angewendet, wenn ein Bruch abgeleitet werden soll. Sie hat die allgemeine Form:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\left( \\frac{u}{v} \\right)^{&#8218;} &amp;=\\frac{u&#8216; \\cdot v-u \\cdot v&#8216;}{v^2}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Schauen wir uns zum besseren Verst\u00e4ndnis folgendes Beispiel mit der Funktion $f(x)= \\frac{x^3+2}{x^5}$ an.<\/p>\n<p>Mit $u(x)=x^3+2 \\rightarrow u'(x)=3x^2$ und $v(x)=x^5 \\rightarrow v'(x)= 5x^4$ lautet die erste Ableitung:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf'(x)=\\frac{3x^2\\cdot x^5-(x^3+2)\\cdot 5x^4}{(x^5)^2}= \\frac{3x^7-5x^7-10x^4}{x^{10}} = \\frac{-2x^7-10x^4}{x^{10}}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/ausklammern-und-ausmultiplizieren\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Klammersetzung<\/a> nicht vergessen bei $u(x)$!<\/p>\n<div class=\"box info\">\n<p><strong>Tipp<\/strong>: Manchmal kann man einen Bruch umformen und ben\u00f6tigt gar nicht die Quotientenregel! Schreibt den Bruch einfach als Produkt und wendet die Produktregel an.<br \/>\n<\/div>\n<div class=\"lyte-wrapper\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_2onnK4cJuZI\"><div id=\"lyte_2onnK4cJuZI\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F2onnK4cJuZI%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\"><\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/2onnK4cJuZI\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F2onnK4cJuZI%2F0.jpg\" alt=\"YouTube-Video-Thumbnail\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr>\n<h2 id=\"ableitungsregeln\" class=\"anchor\">Ableitungsregeln<\/h2>\n<p>Um die Ableitung einer Funktion korrekt zu berechnen, muss man einige Ableitungsregeln kennen.<br \/>\nJe nach Aussehen der Funktion kommen dabei eine oder mehrere der nachfolgenden Regeln zum Einsatz:<\/p>\n<p><strong>Ableiten einer Konstanten: \u00a0$f(x)=C \\ \\rightarrow f'(x)=0$<\/strong><\/p>\n<p><strong>Beispiel:<\/strong> $f(x)=5 \\rightarrow f'(x)=0 \\quad$<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<strong>Ableiten von\u00a0x:<\/strong> \u00a0$f(x)=x \\ \\rightarrow f'(x)=1 $<\/p>\n<p><strong>Beispiel:<\/strong> $f(x)=x+5 \\rightarrow f'(x)=1 \\quad$<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<strong>Potenzregel:<\/strong> $ f(x)=x^p \\ \\rightarrow f'(x)=px^{p-1}$<\/p>\n<p><strong>Beispiel:<\/strong> $f(x)=x^3 \\rightarrow f'(x)=3x^2 \\quad$<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<strong>Faktorregel:<\/strong> $f(x)=c\\cdot g(x) \\ \\rightarrow f'(x)=c\\cdot g'(x)$<\/p>\n<p><strong>Beispiel:<\/strong>$f(x)=2 x^3 \\rightarrow f'(x)=6x^2 \\quad$<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<strong>Summen-\/Differenzregel:<\/strong> $f(x)=g(x) \\pm h(x) \\rightarrow f'(x)=g'(x)\\pm h'(x)$<\/p>\n<p><strong>Beispiel:<\/strong> $ f(x)=x^3 + 2x-5 \\rightarrow f'(x)=3x^2+2$.<\/p>\n<p>Neben Potenzfunktionen der Form $f(x)=x^p$ haben wir bereits weitere Funktionen kennengelernt, wie die <a href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/e-funktion\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Exponential- und Logarithmusfunktion<\/a>.<\/p>\n<p>Bei diesen beiden Funktionen m\u00fcssen wir uns die Ableitung einfach merken, denn die Ableitung von $f(x)=e^x$ ist z.B. $f'(x)=e^x$. Die Ableitung entspricht also der $e$-Funktion selbst.<\/p>\n<p><strong>Alle wichtigen Ableitungen nochmal im Lernvideo erkl\u00e4rt.<\/strong><\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_-sr3ccxGAnw\"><div id=\"lyte_-sr3ccxGAnw\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F-sr3ccxGAnw%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\"><\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/-sr3ccxGAnw\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2F-sr3ccxGAnw%2F0.jpg\" alt=\"YouTube-Video-Thumbnail\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<hr>\n<h2 id=\"e-und-ln-funktion-ableiten\" class=\"anchor\">e- und ln-Funktion ableiten<\/h2>\n<p>Eine $e$-Funktion wird folgenderma\u00dfen abgeleitet: Ihr verwendet &#8222;offiziell&#8220; die Kettenregel, aber es geht eigentlich um einiges einfacher. Wir betrachten daf\u00fcr die Funktion<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf(x)= e^{5x},<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>welche wir nach $x$ ableiten wollen. Daf\u00fcr schreiben wir einfach den Term mit der $e$-Funktion nochmal hin und multiplizieren das Ding mit dem abgeleiteten Exponenten.<\/p>\n<p>Der Exponent ist hier $5x$ und abgeleitet w\u00e4re das einfach $5$. Dann folgt f\u00fcr die Ableitung<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf'(x)= e^{5x} \\cdot 5.<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>&#8222;Regel&#8220; f\u00fcr die Ableitung von $e$-Funktionen:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\left(e^{etwas}\\right)&#8217;=e^{etwas}\\cdot (etwas)&#8216;<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Weitere Beispiele stehen in der Tabelle<br \/>\n\\begin{array}{c|c}<br \/>\nf(x) &amp; f'(x)\\\\ \\hline<br \/>\ne^x &amp; e^x\\\\ \\hline<br \/>\n2e^x &amp; 2e^x \\\\<br \/>\n3e^x &amp; 3e^x \\\\ \\hline<br \/>\ne^{2x} &amp; 2e^{2x} \\\\<br \/>\ne^{3x} &amp; 3e^{3x} \\\\<br \/>\ne^{x^2} &amp; 2xe^{x^2} \\\\<br \/>\ne^{2-4x} &amp; -4e^{2-4x} \\\\ \\hline<br \/>\n20e^{3x} &amp; 3 \\cdot 20 e^{3x} \\\\<br \/>\nx \\cdot e^{2x} &amp; Produktregel<br \/>\n\\end{array}<\/p>\n<p>Falls eine $e$-Funktion mit anderen Funktionen multipliziert wird, m\u00fcssen wir die bereits bekannte Produktregel anwenden.<\/p>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiel e-Funktion ableiten:<\/h3>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf(x)&amp;= \\underbrace{(x^2-2)}_{u(x)} \\cdot \\underbrace{e^{-2x}}_{v(x)} \\\\<br \/>\n\\textrm{mit} \\quad u(x)&amp;=x^2-2 \\quad u'(x)=2x \\\\<br \/>\n\\textrm{und} \\quad v(x)&amp;=e^{-2x} \\quad \\quad v'(x)= -2e^{-2x}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Somit ergibt sich f\u00fcr die erste Ableitung:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf'(x)=2xe^{-2x}+(x^2-2) \\cdot (-2e^{-2x})<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Oft ist es hilfreich, die Anteile mit $e$ auszuklammern. Gerade wenn dieser Ausdruck gleich 0 gesetzt wird, z.B. um die Extremstellen zu bestimmen. Vereinfacht folgt:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf'(x) &amp;= e^{-2x} (2x+(x^2-2)(-2)) \\\\<br \/>\n&amp;=e^{-2x}(2x-2x^2+4) \\\\<br \/>\n&amp;=e^{-2x}(-2x^2+2x+4)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Wird von uns die Ableitung der $\\ln$-Funktion verlangt, m\u00fcssen wir zun\u00e4chst wissen, dass die Ableitung von $f(x)=\\ln(x) \\rightarrow f'(x)=1\/x$ ist. Steht statt dem $x$ etwas anderes da, muss die Kettenregel verwenden.<br \/>\n&#8222;Regel&#8220; f\u00fcr die Ableitung von $\\ln$-Funktionen:<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\left(\\ln(etwas)\\right)&#8217;=\\frac{1}{etwas} \\cdot (etwas)&#8216;<br \/>\n\\end{align*}<br \/>\n<\/div>\n<div class=\"box exercise\">\n<h3>Beispiel Ableiten ln-Funktion<\/h3>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf(x)=\\ln(5x^2-3x) \\rightarrow f'(x)&amp;=\\frac{1}{5x^2-3x} \\cdot (5x^2-3x)&#8216; \\\\ &amp;=\\frac{1}{5x^2-3x} \\cdot (10x-3)<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Mit den eingef\u00fchrten &#8222;Regeln&#8220;\u00a0k\u00f6nnen wir $e$&#8211; und $\\ln$-Funktionen leicht ableiten.<br \/>\n<\/div>\n\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Artikel erkl\u00e4ren wir euch schnell und leicht verst\u00e4ndlich die Grundlagen f\u00fcrs Ableiten von Funktionen. Inhalt auf dieser Seite \u00dcberblick wichtiger Ableitungsregeln Warum bilden wir eine Ableitung? Grundlagen zum Ableiten Grafisches Ableiten und Aufleiten Kettenregel Produkteregel Quotientenregel Weitere Ableitungsregeln e- und ln-Funktion ableiten \u00dcberblick wichtiger Ableitungsregeln Warum bilden wir eine Ableitung? Im Kapitel Kurvendiskussion [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":5,"featured_media":0,"parent":6291,"menu_order":4,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"categories":[15],"tags":[],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v14.7 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Ableiten - Regeln, Beispiele und Erkl\u00e4rvideos \u2022 StudyHelp<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Wie berechne ich Ableitungen? 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