{"id":14000,"date":"2019-07-01T16:26:35","date_gmt":"2019-07-01T14:26:35","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/?page_id=14000"},"modified":"2019-07-02T13:26:44","modified_gmt":"2019-07-02T11:26:44","slug":"regel-von-lhospital","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/regel-von-lhospital\/","title":{"rendered":"Regel von L&#8217;Hospital"},"content":{"rendered":"\n<p>\nWill man einen Grenzwert ($x$ gegen H\u00e4ufungspunkt $x_0$) einer Funktion berechnen und erh\u00e4lt ein Ergebnis von &#8222;$\\frac{0}{0}$&#8220; oder &#8222;$\\frac{\\pm\\infty}{\\pm\\infty}$&#8222;, darf unter folgenden Voraussetzungen die Regel von l&#8217;hospital verwendet werden.\n<\/p>\n<p><strong>Anwendung von l&#8217;hospital<\/strong><\/p>\n<p>Wir bilden die Ableitung von Z\u00e4hler und Nenner (die beiden separaten Funktionen m\u00fcssen differenzierbar sein). Nach der Regel von l&#8217;hospital erhalten wir anschlie\u00dfend den identischen Grenzwert:<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\lim\\limits_{x \\rightarrow x_0}{\\frac{f(x)}{g(x)}}=&#8220;\\frac{0}{0}&#8220;\\text{ oder }&#8220;\\frac{\\pm\\infty}{\\pm\\infty}&#8220;\\quad\\Rightarrow\\quad\\lim\\limits_{x \\rightarrow x_0}{\\frac{f(x)}{g(x)}}=\\lim\\limits_{x \\rightarrow x_0}{\\frac{f'(x)}{g'(x)}}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>Achtung: Keine Quotientenregel bei diesem Bruch!<\/p>\n<p>Weitere kritische Grenzwerte sind &#8222;$0\\cdot \\infty$&#8222;, &#8222;$1^\\infty$&#8222;, &#8222;$\\infty^0$&#8220; und &#8222;$0^0$&#8222;. Diese m\u00fcssen erst umgeformt werden, bevor l&#8217;hospital angewendet werden darf!<\/p>\n<p>\n<strong>Schau dir zur Einf\u00fchrung in das Thema l&#8217;Hospital folgendes Erkl\u00e4rvideo an!<\/strong><br \/>\n<div class=\"lyte-wrapper\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_RsqeDCDT6Kg\"><div id=\"lyte_RsqeDCDT6Kg\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FRsqeDCDT6Kg%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\"><\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/RsqeDCDT6Kg\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FRsqeDCDT6Kg%2F0.jpg\" alt=\"YouTube-Video-Thumbnail\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<p><strong>Beispiel:<\/strong> $&#8222;\\frac{\\pm\\infty}{\\pm\\infty}&#8220;$<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n\\lim\\limits_{x \\to \\infty}{\\frac{\\text{e}^x}{x}}=\\lim\\limits_{x \\to \\infty}{\\frac{f(x)}{g(x)}}\\stackrel{l&#8217;h.}{=}\\lim\\limits_{x \\to \\infty}{\\frac{f'(x)}{g'(x)}}\\lim\\limits_{x \\to \\infty}{\\frac{\\text{e}^x}{1}}=\\infty\\\\<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><strong>Weiteres Beipsiel<\/strong><\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\lim\\limits_{x \\to \\infty}{\\frac{x^2}{(3x+1)^2}}\\stackrel{l&#8217;h.}{=}\\lim\\limits_{x \\to \\infty}{\\frac{2x}{2(3x+1)\\cdot 3}}=\\lim\\limits_{x \\to \\infty}{\\frac{x}{9x+3}}\\stackrel{l&#8217;h.}{=}\\lim\\limits_{x \\to \\infty}{\\frac{1}{9}}=\\frac{1}{9}<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<hr>\n<p><strong>Beispiel<\/strong> $&#8222;\\frac{0}{0}&#8220;$<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n&#038;\\lim\\limits_{x \\to 1}{\\frac{3\\ln(x)}{x-1}}\\stackrel{l&#8217;h.}{=}\\lim\\limits_{x \\to 1}{\\frac{3\\cdot \\frac{1}{x}}{1}}=3\\\\<br \/>\n&#038;\\lim\\limits_{x \\to 0}{\\frac{\\text{e}^x-1}{-x^2}}\\stackrel{l&#8217;h.}{=}\\lim\\limits_{x \\to 0}{\\frac{\\text{e}^x}{-2x}}=-\\infty<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<hr>\n<p><strong>Beispiele<\/strong> $&#8222;0\\cdot \\pm\\infty&#8220; \\rightarrow$ umformen zu &#8222;$\\frac{0}{0}$&#8220; oder &#8222;$\\frac{\\pm\\infty}{\\pm\\infty}$&#8220;<\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\n\\phantom{\\,}&#038;\\lim\\limits_{x \\to 0}{x\\cdot \\ln(x)}=\\lim\\limits_{x \\to 0}{\\frac{\\ln(x)}{\\frac{1}{x}}}=\\mbox{&#8222;}\\frac{-\\infty}{\\infty}\\mbox{&#8222;}\\ \\rightarrow\\ \\lim\\limits_{x \\to 0}{\\frac{\\ln(x)}{\\frac{1}{x}}}\\stackrel{l&#8217;h.}{=}\\lim\\limits_{x \\to 0}{\\frac{\\frac{1}{x}}{-\\frac{1}{x^2}}}=\\lim\\limits_{x \\to 0}{-x}=0<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<hr>\n<p>Bei den F\u00e4llen &#8222;$1^\\infty$&#8222;, &#8222;$\\infty^0$&#8220; und &#8222;$0^0$&#8220; immer den Trick anwenden und mit e-Funktion und Logarithmus arbeiten\/zu $\\text{e}^{\\text{&#8222;Exponent&#8220;}\\cdot\\ln(\\text{&#8222;Basis&#8220;})}$ umschreiben. Danach den Exponenten in eine der beiden Formen bringen, die f\u00fcr die Regel von l&#8217;hospital zul\u00e4ssig sind (&#8222;$\\frac{0}{0}$&#8220; oder &#8222;$\\frac{\\pm\\infty}{\\pm\\infty}$&#8222;):<\/p>\n<p><strong>Beispiel<\/strong> &#8222;$1^\\infty$&#8222;: Die e-Fkt. als Grenzwert einer Folge:<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n&#038;\\lim\\limits_{x \\to \\infty}{\\left(1+\\frac{1}{x}\\right)^x}\\stackrel{\\ast^1}{=}\\exp^{\\lim\\limits_{x \\to \\infty}{\\ln\\left(1+\\frac{1}{x}\\right)^x}}=\\exp^{\\lim\\limits_{x \\to \\infty}{x\\ln\\left(1+\\frac{1}{x}\\right)}}=\\exp^{\\lim\\limits_{x \\to \\infty}{\\frac{\\ln\\left(1+\\frac{1}{x}\\right)}{\\frac{1}{x}}}}=\\exp^{\\mbox{&#8222;}\\frac{0}{0}\\mbox{&#8222;}}\\\\ \\\\<br \/>\n&#038;\\text{Exponent: } \\lim\\limits_{x \\to \\infty}{\\frac{\\ln\\left(1+\\frac{1}{x}\\right)}{\\frac{1}{x}}}\\stackrel{l&#8217;h.}{=}\\lim\\limits_{x \\to \\infty}{\\frac{\\frac{1}{1+\\frac{1}{x}}\\left(-\\frac{1}{x^2}\\right)}{-\\frac{1}{x^2}}}=\\lim\\limits_{x \\to \\infty}{\\frac{1}{1+\\frac{1}{x}}}=1\\\\ \\\\<br \/>\n\\Rightarrow&#038;\\lim\\limits_{x \\to \\infty}{\\left(1+\\frac{1}{x}\\right)^x}=\\text{e}^1=\\text{e}\\qquad<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>$\\ast^1$: Der Limes durfte in den Exponenten gezogen werden, weil die e-Funktion stetig ist.<\/p>\n<hr>\n<p><strong>Beispiel<\/strong> &#8222;$\\infty^0$&#8220;<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n&#038;\\lim\\limits_{x \\to \\infty}{\\sqrt[x]{2x^2+x+1}}=\\lim\\limits_{x \\to \\infty}{(2x^2+x+1)^{\\frac{1}{x}}}\\stackrel{\\ast^1}{=}\\exp^{\\lim\\limits_{x \\to \\infty}{\\frac{1}{x}\\ln(2x^2+x+1)}}=\\exp^{\\mbox{&#8222;}\\frac{\\infty}{\\infty}\\mbox{&#8222;}}\\\\ \\\\<br \/>\n&#038;\\text{Exponent: } \\lim\\limits_{x \\to \\infty}{\\frac{\\ln(2x^2+x+1)}{x}}\\stackrel{l&#8217;h.}{=}\\lim\\limits_{x \\to \\infty}{\\frac{\\frac{1}{2x^2+x+1}\\cdot (4x+1)}{1}}=\\lim\\limits_{x \\to \\infty}{\\frac{4x+1}{2x^2+x+1}}\\\\ \\\\<br \/>\n&#038;\\qquad\\qquad\\stackrel{l&#8217;h.}{=}\\lim\\limits_{x \\to \\infty}{\\frac{4}{4x+1}}=0\\\\ \\\\<br \/>\n\\Rightarrow&#038;\\lim\\limits_{x \\to \\infty}{\\sqrt[x]{2x^2+x+1}}=\\text{e}^0=1<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p>$\\ast^1$: Der Limes durfte in den Exponenten gezogen werden, weil die e-Funktion stetig ist.<\/p>\n<hr>\n<p><strong>Beispiel<\/strong> &#8222;$0^0$&#8220;<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n&#038;\\lim\\limits_{x \\downarrow 0}{(2x)^{3x}}=\\text{e}^{\\lim\\limits_{x \\downarrow 0}{3x\\ln(2x)}}=\\text{e}^{\\lim\\limits_{x \\downarrow 0}{3\\cdot\\frac{\\ln(2x)}{\\frac{1}{x}}}}=\\text{e}^{\\mbox{&#8222;}\\frac{-\\infty}{\\infty}\\mbox{&#8222;}}\\\\<br \/>\n&#038;\\text{Exponent: } \\lim\\limits_{x \\downarrow 0}{3\\cdot\\frac{\\ln(2x)}{\\frac{1}{x}}}\\stackrel{l&#8217;h.}{=}\\lim\\limits_{x \\downarrow 0}{3\\cdot\\frac{\\frac{1}{2x}\\cdot 2}{-\\frac{1}{x^2}}}=\\lim\\limits_{x \\downarrow 0}{3\\cdot (-x)}=0\\\\<br \/>\n\\Rightarrow&#038;\\lim\\limits_{x \\downarrow 0}{(2x)^{3x}}=\\text{e}^0=1<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Will man einen Grenzwert ( gegen H\u00e4ufungspunkt ) einer Funktion berechnen und erh\u00e4lt ein Ergebnis von &#8222;&#8220; oder &#8222;&#8220;, darf unter folgenden Voraussetzungen die Regel von l&#8217;hospital verwendet werden. 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