{"id":14027,"date":"2019-07-02T16:17:11","date_gmt":"2019-07-02T14:17:11","guid":{"rendered":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/?page_id=14027"},"modified":"2019-07-03T13:39:04","modified_gmt":"2019-07-03T11:39:04","slug":"nullstellen-numerisch-bestimmen","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/nullstellen-numerisch-bestimmen\/","title":{"rendered":"Nullstellen numerisch bestimmen"},"content":{"rendered":"<p>Bei Funktionen, die analytisch nicht nach $x$ aufzul\u00f6sen sind, z.B. $f(x)=\\text{e}^x+x=0$, ben\u00f6tigen wir numerische Verfahren, um N\u00e4herungsl\u00f6sungen zu bestimmen.<\/p>\n<h2>Newton-Verfahren<\/h2>\n<p>Das Newton-Verfahren wird genutzt, um Nullstellen von Funktionen numerisch zu bestimmen\/sich ihnen anzun\u00e4hern. Das Verfahren l\u00e4uft iterativ ab mit einem Startwert $x_0$. Mit Hilfe dieses Verfahrens l\u00e4sst sich die Nullstelle extrem schnell approximieren. Allerdings kann es auch passieren, dass der Algorithmus nicht terminiert bei ung\u00fcnstig gew\u00e4hltem $x_0$.<\/p>\n<div class=\"lyte-wrapper\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_xsk7IZsdR6Y\"><div id=\"lyte_xsk7IZsdR6Y\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Fxsk7IZsdR6Y%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\"><\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/xsk7IZsdR6Y\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2Fxsk7IZsdR6Y%2F0.jpg\" alt=\"YouTube-Video-Thumbnail\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<p><strong>Newtonverfahren &#8211; Vorgehen<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>$f'(x)$ bestimmen ($x_0$ gegeben)<\/li>\n<li>\\begin{align*}<br \/>\n\\text{1. Schritt: }x_1&amp;=x_0-\\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\\notag\\\\<br \/>\n\\text{allg. n-ter Schritt: } x_n&amp;=x_{n-1}-\\frac{f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})}\\quad(\\ \\ \\overset{n \\to \\infty}{\\longrightarrow}x \\ \\ )<br \/>\n\\end{align*}<\/li>\n<\/ul>\n<p>Grafisch: Bei $x_0$ starten; Tangente an den Graphen im Punkt $(x_0\\,|\\,f(x_0))$ zeichnen; Schnittpunkt mit der x-Achse ergibt $x_1$; usw&#8230;<\/p>\n<hr \/>\n<p><strong>Beispiele: Zwei Iterationsschritte<\/strong><\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf(x)&amp;=x^3+2x+8=0\\\\ \\\\<br \/>\nx_0&amp;=-1\\\\ \\\\<br \/>\nf'(x)&amp;=3x^2+2\\\\ \\\\<br \/>\nx_1&amp;=-1-\\frac{-1-2+8}{3+2}\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;=-1-\\frac{5}{5}=-2\\\\ \\\\<br \/>\nx_2&amp;=-2-\\frac{-8-4+8}{12+2}\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;=-2-\\frac{-4}{14}=-\\frac{24}{14}\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;\\approx -1{,}71<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-14041 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/07\/Newtonverfahren-300x233.png\" alt=\"\" width=\"502\" height=\"390\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/07\/Newtonverfahren-300x233.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/07\/Newtonverfahren-768x598.png 768w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/07\/Newtonverfahren.png 802w\" sizes=\"(max-width: 502px) 100vw, 502px\" \/><\/p>\n<h2>Bisektionsverfahren<\/h2>\n<div class=\"lyte-wrapper\" style=\"width:420px;max-width:100%;margin:5px;\"><div class=\"lyMe\" id=\"WYL_poOt34st_ao\"><div id=\"lyte_poOt34st_ao\" data-src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FpoOt34st_ao%2Fhqdefault.jpg\" class=\"pL\"><div class=\"tC\"><div class=\"tT\"><\/div><\/div><div class=\"play\"><\/div><div class=\"ctrl\"><div class=\"Lctrl\"><\/div><div class=\"Rctrl\"><\/div><\/div><\/div><noscript><a href=\"https:\/\/youtu.be\/poOt34st_ao\" rel=\"nofollow\"><img src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/plugins\/wp-youtube-lyte\/lyteCache.php?origThumbUrl=https%3A%2F%2Fi.ytimg.com%2Fvi%2FpoOt34st_ao%2F0.jpg\" alt=\"YouTube-Video-Thumbnail\" width=\"420\" height=\"216\" \/><br \/>Dieses Video auf YouTube ansehen<\/a><\/noscript><\/div><\/div><div class=\"lL\" style=\"max-width:100%;width:420px;margin:5px;\"><\/div><br \/>\n<\/p>\n<p>Das Bisektionsverfahren wird ebenfalls genutzt, um Nullstellen von Funktionen numerisch zu bestimmen. Das Verfahren l\u00e4uft iterativ ab mit einem Startintervall $[a,b]$ (bzw. $[a_0,b_0]$). Das Verfahren ist im Vergleich mit dem Newton-Verfahren relativ langsam, terminiert jedoch immer.<\/p>\n<h3>Bisektionsverfahren &#8211; Vorgehen<\/h3>\n<p>Voraussetzung: $f(a)&lt;0&lt;f(b)$, $f$ ist in $[a,b]$ stetig $\\Rightarrow$ Nullstelle existiert durch den ZWS<\/p>\n<ul>\n<li>$x_n := \\displaystyle{\\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2}}$ (Mittelwert des Intervalls)<\/li>\n<li>$f(x_n)=0 \\Rightarrow x_n$ ist die gesuchte Nullstelle.<\/li>\n<li>$f(x_n)&gt;0 \\Rightarrow a_n:=a_{n-1}$ und $b_n:=x_n$<\/li>\n<li>$f(x_n)&lt;0 \\Rightarrow a_n:=x_n$ und $b_n:=b_{n-1}$<\/li>\n<\/ul>\n<hr \/>\n<p><strong>Beispiele: Drei Iterationsschritte<\/strong><\/p>\n<p>\\begin{align*}<br \/>\nf(x)&amp;=x^3+2x+8=0\\\\ \\\\<br \/>\n[a,b]&amp;=[-2{,}5\\, ,\\, -1]\\\\ \\\\<br \/>\nf \\text{ stetig}&amp; \\text{ und} \\\\ \\\\<br \/>\nf(-2{,}5)&amp;&lt;0&lt;f(1) \\text{ erf\u00fcllt.}\\\\ \\\\<br \/>\n\\Rightarrow x_1 &amp;= \\frac{-2{,}5-1}{2}\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;=-1{,}75\\\\ \\\\<br \/>\nf(x_1)&amp;\\approx -0{,}86&lt;0\\\\ a_1 &amp;:=x_1\\\\ b_1 &amp;:=b\\\\ \\Rightarrow x_2 &amp;= \\frac{-1{,}75-1}{2}\\\\ &amp;=-1{,}375\\\\ f(x_2)&amp;\\approx 2{,}65&gt;0\\\\ \\\\<br \/>\na_2 &amp;:=a_1\\\\ \\\\<br \/>\nb_2 &amp;:=x_2\\\\ \\\\<br \/>\n\\Rightarrow x_3 &amp;= \\frac{-1{,}75-1{,}375}{2}\\\\ \\\\<br \/>\n&amp;=-1{,}5625<br \/>\n\\end{align*}<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-14043 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/07\/Bisektionsverfahren-300x240.png\" alt=\"\" width=\"566\" height=\"453\" srcset=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/07\/Bisektionsverfahren-300x240.png 300w, https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/wp-content\/uploads\/2019\/07\/Bisektionsverfahren.png 760w\" sizes=\"(max-width: 566px) 100vw, 566px\" \/><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Bei Funktionen, die analytisch nicht nach aufzul\u00f6sen sind, z.B. , ben\u00f6tigen wir numerische Verfahren, um N\u00e4herungsl\u00f6sungen zu bestimmen. 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Inkl. ausf\u00fchrlichen Beispielaufgaben und Erkl\u00e4rvideos.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow\" \/>\n<meta name=\"googlebot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<meta name=\"bingbot\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.studyhelp.de\/online-lernen\/mathe\/nullstellen-numerisch-bestimmen\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Nullstellen numerisch bestimmen - StudyHelp Online-Lernen\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"In diesem Artikel erkl\u00e4ren wir dir, mit welchen Verfahren du Nullstellen numerisch bestimmen kannst. 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